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Mersenne doppi (numeri di)

Teoria dei numeri 

Sono i numeri di Mersenne che hanno un numero di Mersenne come indice, ossia gli interi della forma 22n – 1.

I primi sono: 0, 1, 7, 127, 32767, 2147483647, 9223372036854775807, 170141183460469231731687303715884105727, 57896044618658097711785492504343953926634992332820282019728792003956564819967.

 

Possono essere primi solo se n è primo e Mn = 2n – 1 è primo, ovvero è un primo di Mersenne; si sa che sono primi per n = 2, 3, 5 e 7, composti per gli altri valori di n fino a 61, il primo caso irrisolto. Dato che questo numero è 22305843009213693951 − 1 ≈ 1.695 • 10694127911065419641, non disponiamo oggi di nessun metodo numerico per stabilirne la primalità; è però possibile che si riesca a dimostrare che è composto, identificandone un fattore primo, come è stato fatto per altri valori di n:

  • per n = 13 un fattore è 338193759479 (Wilfrid Keller, 1976);

  • per n = 17 un fattore è 231733529 (Raphael Robinson, 1957);

  • per n = 19 un fattore è 62914441, Raphael Robinson, 1957);

  • per n = 31 i fattori noti sono 295257526626031 (Guy Haworth, 1983), 87054709261955177 (Keller, 1994), 242557615644693265201 (Keiser and Forbes, 1999) e 178021379228511215367151 (Mayer, 2005).

Per i numeri successivi il compito non sembra facile: nel caso di n = 61, i fattori fino a 4 • 1033 sono già stati esclusi, mentre per n = 127 sono stati esclusi i fattori inferiori a 1051.

 

I primi di Mersenne doppi noti sono quindi solo i 4 numeri di Catalan – Mersenne: 7, 127, 2147483647 (Eulero, 1772) e 170141183460469231731687303715884105727 (Lucas, 1876).

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