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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Frazioni egizie con limitazioni sui denominatori

Se si richiede che i denominatori abbiano forme particolari, in generale non tutte i numeri razionali sono rappresentabili e le rappresentazioni spesso richiedono denominatori enormi o un gran numero di termini. Quest’area è stata esaminata solo in tempi relativamente recenti, di solito grazie all’aiuto di calcolatori elettronici, e si conoscono solo pochi teoremi generali.

 

Se si aggiunge la condizione che i denominatori siano tutti dispari e distinti, si possono ancora rappresentare tutte le frazioni con denominatore dispari (come dimostrato indipendentemente da R. Breusch e Stewart nel 1954), ma servono molti più termini: per esempio 1 può essere rappresentato come Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte, ma servono almeno 9 frazioni se ci si limita a denominatori dispari. Vi sono cinque possibili rappresentazioni con 9 frazioni (S. Yamashita 1976): Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari, Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari, Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari, Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari, Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari.

John Leech dimostrò che 9 è il minimo possibile, che non vi sono altre rappresentazioni con 9 addendi e che quella col minimo denominatore massimo è Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore dispari.

L’algoritmo di Fibonacci in questo caso produce una somma di 13 frazioni, con denominatori: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 23, 721, 979007, 661211444787, 622321538786143185105739, 511768271877666618502328764212401495966764795565, 209525411280522638000804396401925664136495425904830384693383280180439963265695525939102230139815.

Non è stato dimostrato che l’algoritmo di Fibonacci termini sempre se si usano solo frazioni con denominatore dispari, ma non sono state trovate eccezioni.

E’ facile dimostrare che qualsiasi numero dispari, incluso 1, non può essere rappresentato con un numero pari di frazioni con denominatore dispari.

 

E’ stato dimostrato che qualsiasi intero può essere rappresentato come somma di frazioni egizie con denominatori presi da una qualsiasi progressione aritmetica.

 

Se ci si limita a denominatori che siano quadrati distinti, si possono rappresentare tutti e soli i numeri compresi tra 0 e π^2 / 6 – 1 e tra 1 e π^2 / 6, come dimostrò R.L. Graham nel 1964. In questo caso si ottengono spesso rappresentazioni ben poco economiche quanto a numero di frazioni usate. Per esempio, servono ben 10 addendi per rappresentare 1 / 2: Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie distinte con denominatore quadrato.

 

Sierpiński dimostrò che le rappresentazioni di questo tipo sono infinite, come pure le rappresentazioni dei numeri razionali tra 0 e 1, ad eccezione di 1, come somma di reciproci di numeri triangolari.

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