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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Frazioni egizie con limitazioni sui denominatori

Si chiamano frazioni egizie le frazioni con 1 a numeratore, cioè le frazioni della forma 1 / n.

 

Il nome deriva dal fatto che gli antichi Egizi utilizzavano somme formate esclusivamente da tali frazioni per rappresentare numeri razionali positivi inferiori all’unità. Le uniche abbreviazioni concesse sembrano essere i simboli per la frazione 2 / 3 e, in qualche antichissimo papiro, 3 / 4. Per esempio, 4 / 5 era rappresentato come Rappresentazione di 4 / 5 come somma di frazioni egizie11 / 12 come Rappresentazione di 11 / 12 come somma di frazioni egizie.

Inoltre non utilizzavano mai due volte la stessa frazione, quindi, per esempio, 2 / 5 non era rappresentato come 1 / 5 + 1 / 5, ma come Rappresentazione di 2 / 5 come somma di frazioni egizie.

Il vincolo di non ripetere i termini nella somma non fa aumentare il numero di addendi, perché applicando ripetutamente le identità Identità che permette di trasformare una somma di frazioni egizie uguali in una somma di frazioni egizie diverse per n dispari eIdentità che permette di trasformare una somma di frazioni egizie uguali in una somma di frazioni egizie diverse per n pari (e semplificando poi le frazioni ottenute) si può trasformare una somma di frazioni egizie con addendi ripetuti in una senza addendi ripetuti, con un numero di addendi uguale o inferiore. Nelle rappresentazioni senza ripetizione degli addendi però il denominatore massimo è spesso molto superiore a quello della rappresentazione con ripetizione.

 

Simboli speciali, ricavati da parti dell’occhio di Horus, geroglifico che significava potere reale, protezione e buona salute, erano usati per le frazioni con potenze di 2 a denominatore, da 1 / 2 a 1 / 64, anticipando una sorta di rappresentazione binaria dei numeri razionali.

 

Le operazioni tra numeri rappresentati in tal modo sono, naturalmente, estremamente complesse ed esistevano tabelle per le operazioni e le semplificazioni più comuni. Il papiro di Rhind (datato intorno al 1650 a.C.) contiene per esempio una tabella delle rappresentazioni delle frazioni della forma 2 / n, per n dispari fino a 101.

 

Schroeder sostiene che la macchinosità del loro utilizzo potrebbe aver ostacolato lo sviluppo della matematica egizia. Considerate per esempio che un banale confronto per stabilire se due frazioni siano uguali può diventare un’operazione molto complessa, perché la rappresentazione non è unica: ogni frazione può essere rappresentata in infiniti modi differenti.

Nonostante gli evidenti svantaggi (già notati da Tolomeo nell’Almagesto) le frazioni egizie furono impiegate per rappresentare numeri razionali e approssimare numeri reali fin nel Medio Evo.

 

Sebbene non più utilizzate per rappresentare numeri, le frazioni egizie pongono numerosi problemi, alcuni dei quali tuttora irrisolti.

 

Per cominciare, si può rappresentare qualsiasi frazione minore di 1 come somma di frazioni egizie distinte? Sì, come dimostrò Fibonacci nel Liber Abaci (ma naturalmente gli antichi Egizi lo sapevano benissimo).

Il metodo di Fibonacci consiste nel sottrarre dal numero da rappresentare la massima frazione egizia possibile, ripetendo il procedimento sulla differenza finché necessario, ossia fino a restare con una frazione egizia. Per esempio, per rappresentare, 7 / 9, si sottrae la massima frazione egizia possibile, ossia 1 / 2, e si resta con 5 / 18; la massima frazione egizia che si può sottrarre da 5 / 18 è 1 / 4: si sottrae e si resta con 1 / 36, ottenendo la rappresentazione voluta: Rappresentazione di 7 / 9 come somma di frazioni egizie.

Non è difficile dimostrare che il procedimento si arresta dopo un numero finito di passi. Nel 1880 Sylvester dimostrò che la rappresentazione di p / q ottenuta in questo modo ha non più di p frazioni, se p < q.

 

La rappresentazione ottenuta non è però in generale la migliore possibile, né come numero di addendi, né come denominatore massimo: applicando la tecnica di Fibonacci a 3 / 25 otteniamo Rappresentazione di 3 / 25 come somma di frazioni egizie, ma la stessa frazione si può rappresentare con due sole frazioni come Rappresentazione di 3 / 25 come somma di frazioni egizie. Nel caso di 5 / 1444613 l’algoritmo produce 37 termini, l’ultimo dei quali ha un denominatore di 384122451172 cifre, mentre vi sono rappresentazioni con soli tre termini e denominatori inferiori: Rappresentazione di 5 / 1444613 come somma di frazioni egizie.

 

Anche Fibonacci del resto sapeva che l’algoritmo non produce sempre le rappresentazioni migliori e preferiva utilizzare un arsenale di identità, come Identità che permette rappresentare frazioni come somma di frazioni egizie diverse e Identità che permette rappresentare frazioni come somma di frazioni egizie diverse, ricorrendo all’algoritmo sopra descritto solo quando le alternative non erano applicabili. Tra i vari metodi per rappresentare una frazione a / b suggeriva di cercare un numero c con molti divisori (anticipando la definizione di numeri pratici), e tale che c compreso tra b / 2 e b, per poi trasformare la frazione in ac / bc e rappresentare ac come somma di divisori di bc. E’ possibile che alcune delle rappresentazioni trovate nelle tabelle egizie siano state ricavate in questo modo.

 

Un’altra tecnica, già usata dagli Egizi, era l’utilizzo dell’identità Identità che permette rappresentare frazioni come somma di frazioni egizie diverse, con a pari e divisibile per 2an (i numeri pratici sono particolarmente adatti allo scopo), per poi esprimere 2an come somma di interi che dividono a. Per esempio, nel caso di 1 / 89 si può utilizzare a = 60 per esprimere 2an = 31 come 15 + 10 + 6, arrivando alla scomposizione Rappresentazione di 2 / 89 come somma di frazioni egizie, che non è la rappresentazione di 1 / 89 col minimo denominatore massimo, che è Rappresentazione di 2 / 89 come somma di frazioni egizie col minimo denominatore massimo, ma è comunque abbastanza buona.

 

Sostituendo ripetutamente un termine 1 / n con Rappresentazione di 1 / n come somma di frazioni egizie o con Rappresentazione di 1 / n come somma di frazioni egizie(o con infinite sostituzioni analoghe), si possono ottenere infinite rappresentazioni per lo stesso numero razionale. In particolare, esistono infinite rappresentazioni di ogni numero razionale minore di 1 come somma di reciproci di interi, il minimo dei quali sia un numero fissato k, purché la frazione non sia minore di 1 / k.

Volendo, il numero di termini e il massimo denominatore usati per rappresentare una frazione data possono quindi essere fatti crescere senza limiti e di solito ci si interessa alle rappresentazioni col minimo numero di termini, col minimo denominatore massimo o con altre proprietà particolari.

In particolare, il problema più studiato è quale sia il minimo numero di frazioni egizie necessarie per rappresentare qualunque numero razionale tra 0 e 1.

 

Gli algoritmi noti per determinare la rappresentazione col minimo numero di termini o col minimo denominatore massimo si basano su una ricerca esaustiva e sono piuttosto inefficienti, richiedendo nei casi peggiori un tempo che cresce esponenzialmente col denominatore. E’ tuttora un problema aperto se esista un algoritmo del genere che richieda un numero di passi che non cresca più velocemente di una potenza fissata del denominatore.

 

Una frazione k / n con k e n primi tra loro può essere rappresentata come somma di due frazioni egizie se e solo se esistono due divisori di n tali che la loro somma sia multiplo di k, perché se n è multiplo di ab, e a + b, = mk, allora mn = abc per qualche intero c (a e b non possono avere fattori comuni che non siano contenuti in m, altrimenti k e n non sarebbero primi tra loro) e Rappresentazione di k / n come somma di frazioni egizie.

 

Qualsiasi frazione con numeratore 2 e denominatore dispari si può esprimere come somma di 2 frazioni egizie distinte, sfruttando identità (già note agli Egizi), nelle quali i termini della somma si semplificano, diventando frazioni egizie:

  • Rappresentazione di 2 / p come somma di frazioni egizie;

  • Rappresentazione di 2 / p come somma di frazioni egizie;

  • Rappresentazione di 2 / pq come somma di frazioni egizie;

  • Rappresentazione di 2 / pq come somma di frazioni egizie.

Il numero di modi per esprimere 2 / n come somma di due frazioni egizie differenti è uguale al numero di terne pitagoriche con un cateto uguale a n (v. numeri pitagorici (I)).

 

Qualsiasi frazione con numeratore 3 si può esprimere come somma di al massimo 3 frazioni egizie e quindi, come spiegato sopra, come somma di al massimo 3 frazioni egizie distinte.

Nel 2000 Thomas R. Hagedorn dimostrò che ogni frazione con numeratore 3 può essere rappresentata come somma di esattamente 3 frazioni egizie distinte.

 

Paul Erdös e Ernst G. Straus supposero nel 1948 che ogni frazione con numeratore 4 possa essere rappresentata come somma di tre frazioni egizie. La congettura è stata verificata per tutti i denominatori sino a 1014 (A. Swett, 1999).

Dato che se n = pq una rappresentazione per 4 / n si può ottenere a partire da quelle per 4 / p o 4 / q, perché se Rappresentazione di 4 / p come somma di frazioni egizie, allora Rappresentazione di 4 / n come somma di frazioni egizie; di conseguenza il minimo controesempio, se esiste, ha denominatore primo.

Alcune identità, come Rappresentazione di 4 / (3k + 2) come somma di frazioni egizie, permettono di risolvere il problema per denominatori di varie forme particolari. Mordell (1967) elencò identità simili per n = 4k + 3, n = 5k + 2, n = 5k + 3, n = 7k + 3, n = 7k + 5, n = 7k + 6 e n = 8k + 5, e quindi provò che se esiste un controesempio, n deve essere primo e congruente a 1, 121, 169, 289, 361, o 529 modulo 840.

Sono state in seguito trovate molte altre identità.

 

Wacław Franciszek Sierpiński suppose nel 1956 che ogni frazione con numeratore 5 possa essere rappresentata come somma di tre frazioni egizie; Bonnie M. Stewart confermò la congettura per tutti i denominatori sino a 1057438801.

 

Andrzej Schinzel estese nel 1964 la congettura alle frazioni con qualsiasi numeratore, per denominatori abbastanza grandi, ossia con un numero finito di eccezioni per ogni numeratore. In questa versione è stata dimostrata per tutti i denominatori non della forma 278460k + 1 e verificata sin oltre un miliardo.

 

E’ comunque sicuro che esistono frazioni non rappresentabili con meno di 4 frazioni egizie, come Rappresentazione di 8 / 11 come somma di frazioni egizie e Rappresentazione di 18 / 23 come somma di frazioni egizie. Inoltre Rappresentazione di 16 / 17 come somma di frazioni egizie ne richiede 5 e Rappresentazione di 77 / 79 come somma di frazioni egizie ne richiede 6; non è noto se qualche frazione ne richieda 7 o più.

 

Il numero di termini di una rappresentazione come somma di frazioni egizie distinte di un numero razionale con denominatore n è inferiore a Limite superiore per il numero di termini di una rappresentazione di un numero razionale con denominatore n come somma di frazioni egizie distinte, per una costante K (G. Tenenbaum e H. Yokota, 1990), e il minimo denominatore massimo è inferiore a Limite superiore per il minimo denominatore massimo di una rappresentazione di un numero razionale con denominatore n come somma di frazioni egizie distinte, per una costante K diversa dalla precedente (M. Vose, 1985).

 

Per quanto riguarda altri valori, con un numero finito di addendi sono rappresentabili solo i numeri razionali, mentre la rappresentazione di numeri irrazionali richiede infiniti addendi.

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