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Espansione di Pierce

Rappresentazione dei numeri 

L’espansione di Pierce è una rappresentazione dei numeri reali tra 0 e 1 analoga all’espansione di Engel, ma a segni alternati. Ovvero, è la rappresentazione (unica) di un numero reale 0 < x < 1 tramite la sequenza non decrescente di interi positivi a1, a2, a3, … come Formula per l'espansione di Pierce.

 

Il numero di termini è finito se e solo se x è razionale.

 

Troncando le espansioni si ottengono eccellenti approssimazioni razionali.

 

Se Formula per la definizione di x, i termini sono: k0 – 1, k0 + 1, k1 – 1, k1 + 1, k2 – 1, k2 + 1, …, dove k0 = k e Formula per la definizione di k(n), ovvero Formula per la definizione di k(n) (Shallit, 1984).

Nel caso particolare k = 3, Formula per la definizione di x e Formula per la definizione di k(n).

 

Le espansioni di alcune costanti sono particolarmente regolari, come mostra la tabella seguente.

x

Valore approssimato

Primi termini dell’espansione

 1 / e

0.3678794412

an = n + 1

cos1

0.5403023059

a1 = 1, an = 2(n – 1)(2n – 3) per n > 1

sin1

0.8414709848

a1 = 1, an = 2(2n – 1)(n – 1) per n > 1

 

La tabella seguente mostra alcuni esempi dei primi termini dell’espansione di varie costanti (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

x

Valore approssimato

Primi termini dell’espansione

1 / e^2

0.1353352832

18, 19, 136, 349, 357, 1354, 6996, 7135, 9531, 11558, 15996, 17432, 52118, 151048, 427802, 821834, 877819, 972918, 1046690, 1540789, 3653077, 8200738, 9628573, 164153335, 5607624822, 86457467082, 141885251873, 151882622551

1 / π

0.3183098862

3, 22, 118, 383, 571, 635, 70529, 375687, 399380, 575584, 699357, 1561065, 1795712, 194445473, 253745996, 3199003690, 3727084011, 6607433185, 16248462801

γ

0.5772156649

1, 2, 6, 13, 21, 24, 225, 615, 17450, 23228, 57774, 221361, 522377, 793040, 1706305, 8664354, 19037086, 51965160, 56870701, 124645388, 784244500, 792809072, 3675221276, 42108268014, 53633289500, 56827261536, 67080647365

1 / ζ(2)

0.6079271019

2, 4, 7, 22, 29, 51, 173, 210, 262, 417, 746, 12341, 207220, 498538, 1286415, 2351289, 3702952, 7664494, 54693034, 75971438, 269954954, 6674693008, 13449203581, 59799655308, 98912303039, 948887634688, 3557757020909, 5898230078743

1 / φ

0.6180339887

1, 2, 4, 17, 19, 5777, 5779, 192900153617, 192900153619, 7177905237579946589743592924684177, 7177905237579946589743592924684179

2 / π

0.63661977248

1, 2, 3, 5, 10, 71, 868, 1788, 7455, 44266, 54626, 74153, 224166, 390471, 1489304, 3737961, 22277163, 37201631, 113275744, 165029426, 2642368758, 3362202939, 5191046363, 8438525012, 36226438506, 40174126779, 125336047846

1 / cosh(1)

0.6480542737

1, 2, 3, 8, 9, 24, 37, 85, 1115, 29153, 423233, 2208087, 5102497, 9813637, 15922076, 19204759, 106559540, 120015709, 1493877142, 2199074984, 32818755269, 1505298832166, 1507229768977, 2841536357911, 14805574584765

log2

0.6931471806

1, 3, 12, 21, 51, 57, 73, 85, 96, 1388, 4117, 5268, 9842, 11850, 16192, 19667, 29713, 76283, 460550, 1333597, 1462506, 9400189, 13097390, 30254851, 190193800, 201892756, 431766247, 942050077, 6204785761, 16684400052, 23762490104

radice quadrata di 2 diviso due

0.7071067812

1, 3, 8, 33, 35, 39201, 39203, 60245508192801, 60245508192803, 218662352649181293830957829984632156775201, 218662352649181293830957829984632156775203

Uno diviso radice cubica di 2

0.7937005260

1, 4, 5, 7, 8, 18, 384, 7958, 14304, 16623, 18610, 20685, 72923, 883177, 1516692, 2493788, 2504069, 22881179, 110219466, 2241255405, 34982468090, 64356019489, 110512265214, 1142808349967, 3550630472116, 5238523454726, 7129035664265

4 – π

0.8584073464

1, 7, 112, 115, 157, 372, 432, 1340, 7034, 8396, 9200, 18846, 29558, 34050, 89754, 101768, 1361737, 48461857, 81164005, 145676139, 163820009, 182446527, 5021656281, 8401618827, 22255558907, 28334352230, 127113921970, 310272097461, 782301280193, 5560255100022, 9925600136870, 85169484256928, 2542699818508737, 3145584963639199, 397021758001902006, 467746771316089905

Costante di Catalan

0.9159655942

1, 11, 13, 59, 582, 12285, 127893, 654577, 1896651, 2083263, 3828867, 6195679, 22339606, 43877386, 209882043, 269091773, 1585394894, 2614512078, 3726537414, 4487682121, 6296491774, 8648456991, 23933983277, 174313954158, 367633382556

 

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