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Espansione di Engel

Rappresentazione dei numeri 

L’espansione di Engel è una rappresentazione dei numeri reali positivi tramite la sequenza (unica per ogni numero reale) non decrescente di interi positivi a1, a2, a3, … come Formula per l'espansione di Engel. La sequenza può iniziare con un numero arbitrario di 1, quindi si possono rappresentare numeri grandi a piacere.

Per numeri minori di 1 si tratta di un caso particolare di rappresentazione tramite frazioni continue.

 

Il numero di termini è finito se e solo se x è razionale.

 

Troncando le espansioni si ottengono eccellenti approssimazioni razionali

 

Kraaikamp e Wu osservarono nel 2004 che un’espansione di Engel equivale a una sorta di frazione continua capovolta: Formula per l'espansione di Engel.

 

Le espansioni di e, delle sue radici e di alcune costanti collegate a e sono particolarmente regolari, come mostra la tabella seguente.

 

x

Valore approssimato

Primi termini dell’espansione

sinh(1 / 3)

0.3395405573

a1 = 3, an = 18(2n2 – 3n + 1) per n > 1

1 / e

0.3678794412

a1 = 3, an = 2(2n + 1)(n – 1) per n > 1

sinh(1 / 2)

0.5210953055

a1 = 2, an = 4(n – 1)(4n – 2) per n > 1

cosh(1 / 3)

1.0560718678

a1 = 1, an = 18(n – 1)(2n – 3) per n > 1

2cosh1 – 2

1.0861612696

a1 = 1, an = 2n(2n – 1) per n > 1

cosh(1 / 2)

1.1276259652

a1 = 1, an = 8(n – 1)(2n – 3) per n > 1

sinh1

1.1752011936

a1 = 1, an = 2(n – 1)(2n – 1) per n > 1

cosh1

1.5430806348

a1 = 1, an = 2(n – 1)(2n – 3) per n > 1

e

2.7182818284

a1 = 1, an = n – 1 per n > 1

radice k-esima di e

 

a1 = 1, an = k(n – 1) per n > 1

 

La tabella seguente riporta l’elenco delle costanti delle quali sono disponibili i primi termini dell’espansione di Engel nella tabella raggiungibile da questa pagina.

x

Valore approssimato

Numero di Champernowne

0.1234567891

1 / e^2

0.1353352832

Costante di Mertens

0.2614972128

1 / π

0.3183098862

γ2

0.3331779238

–log(log2)

0.3665129206

Costante di Artin

0.3739558136

Costante di Thue – Morse

0.4124540336

Soluzione dell’equazione Equazione nell’intervallo [ 0 .. 1 )

0.4280110380

1 / log(10)

0.4342944819

log(π / 2)

0.4515827053

cos1

0.5403023059

tan(1 / 2)

0.5463024898

log(1 / γ)

0.5495393130

γ

0.5772156649

Costante dei primi gemelli

0.6601618158

log2

0.6931471806

Numero di Dottie

0.7390851332

Costante di Rényi

0.7475979203

tanh1

0.7615941560

Costante di Landau – Ramanujan

0.7642236536

sin1

0.8414709848

sin2

0.9092974268

Costante di Catalan

0.9159655942

Differenza tra la costante di Ramanujan e l'intero più vicino v. costante di Ramanujan

1 – 0.7499274028 • 10–12

ζ(10)

1.0009945751

ζ(9)

1.0020083928

ζ(8)

1.0040773562

ζ(7)

1.0083492774

ζ(6)

1.0173430620

ζ(5)

1.0369277551

ζ(4)

1.0823232337

log3

1.0986122887

logπ

1.1447298858

Radice quadrata di 2 per log(2)

1.1774100225

Costante di Apéry

1.2020569032

Radice quadrata di 3 / 2

1.2247448714

Γ(3 / 4)

1.2254167025

Radice quadrata di π mezzi

1.2533141373

Radice cubica di 2 (v. costante di Delo)

1.2599210499

log(e + 1)

1.3132616875

 Limite

1.3327473824

Γ(2 / 3)

1.3541179394

Radice quadrata di 2, costante di Pitagora

1.4142135624

Radice cubica di 3

1.4422495703

1 / log(2)

1.4426950409

Reciproco della costante delle frazioni continue, reciproco della costante delle frazioni continue

1.4331274267

Argomento reale positivo che rende minima la funzione Γ

1.4616321450

tan1

1.5574077247

log5

1.6094379124

φ

1.6180339887

ζ(2)

1.6449340668

Radice quadrata di 3

1.7320508076

1 / γ

1.7324547146

Costante di Madelung M3 con segno invertito

1.7475645946

Radice quadrata di π

1.7724538509

eγ

1.7810724180

Costante β dell’altezza media degli alberi binari

1.9530257034

Radice quadrata di 5

2.2360679775

log10

2.3025850930

Costante di Sierpiński, moltiplicata per π

2.5849817596

Radice quadrata di 7

2.6457513111

Γ(1 / 3)

2.6789385347

Costante di Khinchin

2.6854520011

log23

3.1354942159

π

3.1415926536

Radice quadrata di 10

3.1622776602

Costante di Magata

3.4070691656

Γ(1 / 4)

3.6256099082

Costante α dell’altezza media degli alberi binari

4.3110704070

Radice quadrata di e elevato a π

4.8104773810

e2

7.3890560989

π2

9.8696044011

ee

15.1542622415

πe

22.4591577184

eπ

23.1406926328

ππ

36.4621596072

 

Vedi anche

Espansione di Pierce.

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