Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

La funzione L(n) è definita come la somma dei primi n valori della funzione λ di Liouville: Formula per la definizione della funzione L.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

L(n)

1

1

2

0

3

–1

4

0

5

–1

6

0

7

–1

8

–2

9

–1

10

0

11

–1

12

–2

13

–3

14

–2

15

–1

16

0

17

–1

18

–2

19

–3

20

–4

 

Pólya suppose nel 1919 che per n > 1 L(n) non diventi mai positiva e la congettura fu ritenuta a lungo vera, ma nel 1958 Colin Brian Haselgrove dimostrò che esistono infiniti valori di n che rendono positiva la funzione. Nel 1962 Robert S Lehman trovò che 906180359 è uno di essi e M. Tanaka nel 1980 dimostrò che il minimo è 906150256.

In seguito fu dimostrato che Valore che la funzione supera infinite volte per infiniti valori di nValore sotto il quale la funzione si mantiene infinite volte per infiniti valori di n.

 

Una successiva congettura, comunemente (ma erroneamente) attribuita a Pàl Turàn, è che una funzione simile, definita come Formula per la definizione della funzione T, non assuma valori negativi per n sufficientemente grande. Nel 1958 Haselgrove dimostrò che anche questa è falsa: la funzione assume valori negativi infinite volte. Un vero peccato, perché Turàn aveva dimostrato che se la congettura fosse stata vera, ne sarebbe seguita la dimostrazione dell’ipotesi di Riemann.

Peter Borwein, Ron Ferguson e Michael J. Mossinghoff dimostrarono nel 2008 che il minimo valore di n che rende T(n) negativo è 72185376951205.

Turàn aveva dimostrato che se Somma per k da 1 a n di 1 / k^s non si annulla se Re(s) > 1, T(n) non assume valori negativi, ma Robert Spira dimostrò che anche l’ipotesi è falsa, perché per n = 19 esiste uno zero con Re(s) > 1 e Hugh L. Montgomery dimostrò nel 1983 che per n sufficientemente grande esistono zeri con Re(s) > 1 + log(log(n) / (4 * log(n)), rendendo di fatto inutile un’altra dimostrazione più debole dello stesso Turàn, che avrebbe permesso di dimostrare l’ipotesi di Riemann se nessuno zero fosse stato maggiore di Re(s) > 1 / n^(1 / 2 + ε).

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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