Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Ω(n) è la funzione Omega, ossia il numero di fattori primi di n. Per esempio, 12 = 2 • 2 • 3 e Ω(12) = 3.

 

La funzione Ω(n) cresce in media come loglogn.

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione Ω:

Formula che coinvolge la funzione Ω, per s > 1 e |z| < 2s (Robert E. Dressler e Jan Van de Lune, 1973);

Formula che coinvolge la funzione Ω, per ogni intero n e ogni z (Robert E. Dressler e Jan Van de Lune, 1973) e in particolare Formula che coinvolge la funzione Ω;

Formula che coinvolge la funzione Ω (v. costante di Mertens);

Formula che coinvolge la funzione Ω, dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

Il minimo intero n tale che Ω(n) = k è 2k.

 

Ω(n) tende a Limite asintotico cui tende Ω(n), dove γn è l’n-esima costante di Stieltjes e per B2 v. costante di Mertens.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice della funzione Ω.

 

La tabella seguente riporta i valori della funzione Ω(n), per n fino a 20.

n

Ω(n)

1

0

2

1

3

1

4

2

5

1

6

2

7

1

8

3

9

2

10

2

11

1

12

3

13

1

14

2

15

2

16

4

17

1

18

3

19

1

20

3

 

Esistono coppie di interi consecutivi con lo stesso valore della funzione Ω; la tabella seguente riporta i minimi valori di n per i quali Ω(n) = Ω(n + 1) = k (Martin Fuller, Donovan Johnson e Reinhard Zumkeller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

n

Scopritore e anno

1

2

 

2

10

 

3

27

 

4

135

Reinhard Zumkeller, 2006

5

944

Reinhard Zumkeller, 2006

6

5264

Reinhard Zumkeller, 2006

7

29888

Reinhard Zumkeller, 2006

8

50624

Reinhard Zumkeller, 2006

9

203391

Reinhard Zumkeller, 2006

10

3290624

Reinhard Zumkeller, 2006

11

6082047

Reinhard Zumkeller, 2006

12

32535999

Reinhard Zumkeller, 2006

13

326481920

Martin Fuller, 2006

14

3274208000

Martin Fuller, 2006

15

6929459199

Martin Fuller, 2006

16

72523096064

Donovan Johnson, 2008

17

37694578688

Donovan Johnson, 2008

18

471672487935

Donovan Johnson, 2009

19

11557226700800

Donovan Johnson, 2009

20

54386217385983

Donovan Johnson, 2009

21

50624737509375

Donovan Johnson, 2009

22

275892612890624

Donovan Johnson, 2009

23

4870020829413375

Donovan Johnson, 2013

24

68091093855502335

Donovan Johnson, 2013

25

2280241934368767

Donovan Johnson, 2013

 

Esistono sequenze di interi consecutivi tali che Ω(n) abbia valori crescenti a partire da 1, tali cioè che Ω(n) = 1, Ω(n + 1) = 2, Ω(n + 2) = 3 ecc..

La tabella seguente mostra il minimo valore di n a partire dal quale si trovi una sequenza di lunghezza k (Jens Kruse Andersen, Mark W. Lewis e Rick L. Shepherd, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

n

Scopritore

1

2

 

2

3

 

3

61

 

4

193

 

5

15121

 

6

838561

 

7

807905281

Mark W. Lewis

8

19896463921

Jens Kruse Andersen

9

3059220303001

Jens Kruse Andersen

10

3931520917431241

Jens Kruse Andersen

 

La somma dei reciproci dei numeri con Ω(n) fissato diverge, ma cresce con estrema lentezza.

Per Ω(n) = 1 v. numeri primi e per Ω(n) = 2 v. numeri semiprimi.

La tabella seguente mostra il minimo valore m tale che Somma degli interi non superiori a m e con esattamente tre fattori primi maggiore o uguale a n (M. Fiorentini, 2017).

n

m

1

402

2

19767

3

1023587

4

63710789

 

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Dressler, Robert E.;  van de Lune, Jan;  "Some Remarks concerning the Number Theoretical Functions ω(n) e Ω(n)" in Proceeding of the American Mathematical Society, Vol. 41, n. 2, dicembre 1973.

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