Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Come conseguenza del teorema di Dirichlet, esistono infiniti primi che terminano con una qualsiasi sequenza di cifre che termini con 1, 3, 7 o 9. Per esempio, esistono infiniti primi che terminano con 54321, perché appartengono alla progressione aritmetica 10000n + 54321.

Sierpiński dimostrò che esistono anche infiniti primi che iniziano con una qualsiasi sequenza di cifre.

 

Tra le curiosità legate alla rappresentazione dei primi in base 10 segnalo le seguenti:

  • il massimo primo con cifre distinte tutte prime tra loro è 95471;

  • il massimo primo con cifre distinte e tutte dispari è 95731;

  • il minimo primo contenente esattamente una volta tutte le cifre non prime è 104869;

  • il massimo primo contenente esattamente una volta tutte le cifre non prime è 984061;

  • il massimo primo noto che contenga tutte le cifre prime (ossia 2, 3, 5 e 7) ha 82000 cifre (che vi risparmio); altri primi enormi del genere sono Primo enorme, formato da sole cifre prime (dove Numero formato da n cifre 1 indica un numero formato dalla ripetizione di 1 n volte), che ha 26088 cifre, il numero che si ottiene ripetendo 1560 volte la sequenza 2255725272 e sommando 1, per un totale di 15600 cifre e Primo enorme, formato da sole cifre prime (Harvey Dubner 1992);

  • il massimo primo noto che contenga solo le cifre 0 e 1 è scritto con 2700 uno, seguiti da 3155 zeri e da un uno (Harvey Dubner 1991);

  • il massimo primo noto non contenente zeri è 1050103 – 4 • 1050097 – 1, che è anche il massimo primo noto contenente solo cifre dispari;

  • il minimo primo pandigitale è 10123457689;

  • il minimo primo pandigitale palindromo è 1023456987896543201 (Harry L. Nelson, 1980);

  • il massimo primo palindromo pandigitale noto è 1(0)2469976543282345679(0)24691, per un totale di 4955 cifre (Harvey Dubner);

  • il minimo primo che termini con le cifre da 1 a 9 in ordine è 28123456789;

  • il minimo primo che contenga le cifre da 0 a 9 in ordine è 100123456789;

  • il minimo primo che contenga le cifre da 0 a 9 in ordine inverso è 198765432101;

  • il minimo primo palidromo che contenga le cifre da 1 a 9 in ordine diretto e inverso, ossia che contenga la sequenza 12345678987654321, è 212345678987654321;

  • a partire da 26460346024426922096587598498580390201381951306930145595901871467050717839 vi sono 9 primi consecutivi formati dalle stesse cifre, in ordine diverso; le 4 cifre finali sono: 7839, 7893, 7983, 8379, 8397, 8739, 8793, 8937 e 8973;

  • il primo 723121327 è il minimo tale che per ogni cifra n che contiene, vi sono n cifre tra ogni coppia di occorrenze della cifra n; vale a dire che vi è una cifra tra i due 1, ve ne sono due tra i 2, tre tra i 3 e sette tra i 7;

  • il massimo primo tale che ogni coppia di cifre adiacenti formi un differente primo è 619737131179;

  • il minimo intero che non possa essere reso primo cambiando una delle sue cifre è 200; con 202, 204, 206 e 208 forma una progressione aritmetica di 5 interi con la stessa proprietà;

  • il minimo primo che diviene composto se una qualsiasi cifra viene cambiata, inserita o cancellata in qualsiasi posizione è 40144044691;

  • il minimo insieme di primi (minimo nel senso di minima somma degli elementi) scritti usando, tra tutti, le cifre da 1 a 9 è { 2, 5, 7, 43, 61, 89 };

  • l’unico primo noto formato dalla concatenazione di sequenze di 1 e 0 di lunghezza crescente è 1011001110001111;

  • il massimo primo noto tale che il numero rappresentato dalle prime n cifre sia divisibile per l’n-esimo primo, per tutti i possibili valori di n (ossia fino al numero di cifre) è 8757193191.

 

Per altre informazioni su primi pandigitali o palindromi v. numeri pandigitali e numeri palindromi.

 

Tra le curiosità legate alla misura del tempo, sempre in base 10, segnalo le seguenti:

  • il minimo numero primo che potete leggere su un orologio digitale, con ore, minuti e secondi maggiori di zero, 01:01:03;

  • il minimo numero primo che potete leggere su un orologio digitale, tale che ore, minuti e secondi siano primi è 02:02:19; il massimo è 11:59:31, se l’orologio mostra le ore fino a 12, 23:59:19, se le mostra fino a 24;

  • il massimo numero primo che potete leggere su un orologio digitale che mostri le ore fino a 12 è 12:59, o 12:59:59 se mostra anche i secondi;

  • il massimo numero primo che potete leggere su un orologio digitale che mostri le ore fino a 24 è 23:57, o 23:59:51 se mostra anche i secondi;

  • su un orologio digitale che mostri le ore fino a 24 e i secondi potete leggere 7669 numeri primi in una giornata e in commercio si trova un orologio che mostra solo questi; anziché passare da un secondo al successivo, passa solamente da un numero primo al successivo, al momento giusto (PrimeTime Clock di David MacQuarrie);

  • l’unico numero primo privo di zeri che potete leggere su un orologio digitale, tale che ore, minuti e secondi siano primi e che eliminando progressivamente le cifre da sinistra resti primo è 19:23:47 (M. Fiorentini, 2015);

  • quando un bambino ha 1259 giorni, la sua età è un numero primo sia espressa in giorni, sia in settimane (179), sia in mesi (41), sia in anni (3); sfortunatamente, è troppo inesperto per notarlo;

  • chi nascerà nel 5246 (e in nessun anno pari precedente) potrà vivere sino a 100 anni senza che la sua età e l’anno siano contemporaneamente primi;

  • la prima occorrenza di 4 giorni primi consecutivi, nella forma gg/mm/aaaa, iniziò il 29/06/1379; la successiva iniziera il 29/11/3327;

  • la prima decade che non contenne anni con numero primo iniziò nel 200 (sia 199 che 211 sono primi);

  • il primo secolo che non conterrà anni con numero primo inizierà nel 1671801 (gli anni con numeri composti sono compresi tra i primi 1671781 e 1671907);

  • la prima coppia di secoli consecutivi che non conterranno anni con numero primo inizierà nel 47326701 (gli anni con numeri composti sono compresi tra i primi 47326693 e 47326913);

  • il primo millennio che non conterrà anni con numero primo inizierà nel 13893290219204001; aspettate con pazienza.

 

In ogni base il numero di primi con cifre distinte è finito; in base 2 vi è solo 102 = 2; in base 10 sono 283086, che trovate qui.

 

Il minimo primo che resta tale se convertito nelle basi da 2 a 9 e interpretato poi come numero in base 10 è 50006393431:

50006393431 = 1011101001001001110100000010010101112,

50006393431 = 112100020002112222021213,

50006393431 = 2322102131000211134,

50006393431 = 13044031140422115,

50006393431 = 345500303204116,

50006393431 = 34201302213317,

50006393431 = 5644472011278,

50006393431 = 1530607586779.

Infatti 101110100100100111010000001001010111, 11210002000211222202121, 232210213100021113, 1304403114042211, 34550030320411, 3420130221331, 564447201127 e 153060758677 sono primi (in base 10).

 

Le uniche sequenze di fino a 10 cifre che rappresentino numeri primi sia in notazione binaria che decimale sono:

112 = 3,

1012 = 5,

101112 = 23,

1011112 = 47,

10110012 = 89,

11001012 = 101,

100101012 = 149,

100111012 = 157,

101000112 = 163,

101011012 = 173,

101100112 = 179,

110001112 = 199,

111001012 = 229,

1001110012 = 313,

1010010112 = 331,

1011011112 = 367,

1011110112 = 379,

1011111112 = 383,

1101110112 = 443,

1110010012 = 457,

10000010112 = 523,

10010010112 = 587,

10011101112 = 631,

10100000112 = 643,

10100001112 = 647,

10100011012 = 653,

10100100112 = 659,

10110001012 = 709,

11011100112 = 883,

11101100112 = 947,

11111001012 = 997,

11111100012 = 1009.

 

La tabella seguente riporta la minima sequenza di cifre che rappresenti un numero primo in tutte le basi da 2 a un limite superiore (Phil Carmody, Richard FitzHugh, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Massima base

Sequenza di cifre

Valore nelle varie basi

2

10

2

3

10

2, 3

4

101111

47, 283, 1109

5

10010111

151, 2281, 16661, 78781

6

111110100001

4001, 264871, 5587969, 61018751, 435308257

7

111110100001

4001, 264871, 5587969, 61018751, 435308257, 2306760751

8

11000011101101111

100207, 57481933, 5370090581, 183117597031, 3291367170211, 37980820808057, 316660573831753

9

10011110011011110110110011

41532851, 893838834787, 1149269986854149, 300998872373519381, 28588115509550020087, 1345628215831602944711, 37863239565269044072457, 719005688162114974333849

10

110100000010101111110001010011001110001

447045215857, 1851193010400469453, 95627998214513466021121, 439467878714199097912128751, 434924918653560794391998440369, 148875746530003785625335312352057, 23405900702264469207686840135749633, 2030059115079417390663329544965264491, 110100000010101111110001010011001110001

11

1000000010000011110100010001000101001010110111001

282607273285049, 79778625518755688566231, 79229371832366624481423213889, 3552722774474136829853851572738251, 22452271075192681829172827769361612489, 36703374584162999724319518312214797399919, 22300746527764412640615739824336532064473601, 6362685588945084624279669878873489108009248579, 1000000010000011110100010001000101001010110111001, 97017234237464999090723789551739711663815588649159

 

Tra le curiosità legate alla somma delle cifre dei primi segnalo le seguenti:

  • l’unico primo con somma delle cifre uguale a quella del suo quadrato e del suo cubo è 5851; infatti, 58512 = 34234201, 58513 = 200304310051 e la somma delle cifre dei tre numeri è 19;

  • l’unico primo noto uguale alla somma delle cifre del suo cubo è 17 (173 = 4913 e 17 = 4 + 9 + 1 + 3) (v. numeri di Dudeney).

 

Vi sono numerosi numeri primi la cui somma delle cifre è un primo (v. primi additivi) e primi per i quali la somma dei quadrati delle cifre è un primo (v. primi padre (II)); esistono anche casi nei quali di primi appartenenti a entrambe le categorie, per i quali anche le somme dei cubi, biquadrati e potenze con esponente superiore sono primi; In particolare, se un primo si scrive con un numero primo di 1 e un qualsiasi numero di 0, le somme di qualsiasi potenza delle cifre sono tutte uguali e prime.

 

La tabella seguente mostra i primi che abbiano le somme delle cifre, dei loro quadrati, dei cubi e delle potenze successive prime, fino a 105 per i cubi, fino a 106 per i biquadrati e le quinte potenze, fino a 107 per le seste e settime potenze, fino a 108 per le ottave e none potenze, fino a 109 per le potenze successive.

n

Primi con somme delle potenze delle cifre fino alla n-esima prime

3

199, 337, 373, 449, 463, 643, 733, 829, 919, 991, 1499, 1949, 2089, 2333, 2441, 2557, 3037, 3307, 3323, 3583, 3637, 3673, 3853, 4049, 4111, 4241, 4409, 4421, 4481, 4603, 4663, 4919, 5503, 5527, 6043, 6337, 6373, 6733, 8209, 8353, 8887, 9091, 9109, 9419, 9491, 9901, 9941, 10099, 10141, 10499, 10909, 10949, 11113, 11117, 11131, 11159, 11171, 11173, 11243, 11261, 11311, 11317, 11399, 11423, 11443, 11489, 11519, 11621, 11731, 11777, 11821, 11939, 12143, 12161, 12211, 12347, 12413, 12437, 12451, 12473, 12541, 12583, 12611, 12743, 12853, 13171, 13241, 13313, 13331, 13339, 13421, 13441, 13487, 13711, 13933, 14011, 14143, 14251, 14321, 14327, 14341, 14387, 14431, 14543, 14723, 14783, 14891, 15241, 15443, 15823, 16361, 16631, 17483, 17627, 17977, 18121, 18149, 18211, 18253, 18523, 18743, 19009, 19139, 19319, 19333, 19391, 19777, 19841, 19913, 20089, 20333, 20441, 20809, 21121, 21143, 21211, 21341, 21347, 21611, 21767, 22027, 22111, 22229, 22447, 22481, 22483, 23417, 23581, 23741, 24113, 24137, 24151, 24247, 24281, 24317, 24371, 24443, 24821, 24977, 25057, 25183, 25253, 25411, 25453, 25523, 26111, 26177, 26399, 26717, 26993, 27143, 27431, 27479, 27527, 27617, 27749, 27947, 28111, 28351, 28513, 29989, 30307, 30323, 30367, 30637, 30703, 30763, 30853, 31247, 31333, 31393, 31847, 31991, 32141, 32303, 32411, 32969, 33023, 33113, 33203, 33311, 33331, 33353, 33391, 33533, 33863, 33931, 34127, 34141, 34211, 34217, 34439, 34721, 34781, 34871, 35083, 35281, 35803, 36037, 36073, 36161, 36299, 36307, 36383, 36389, 36697, 36833, 36929, 37003, 38053, 38639, 38693, 39119, 39133, 39191, 39313, 39443, 39667, 39863, 40063, 40111, 40241, 40841, 41011, 41143, 41189, 41213, 41231, 41341, 41387, 41413, 41453, 41521, 41543, 41981, 42131, 42221, 42281, 42283, 42443, 42461, 42641, 42797, 42821, 43271, 43411, 43451, 43541, 43721, 43781, 43943, 44021, 44131, 44201, 44351, 44531, 44621, 44797, 45121, 45341, 45413, 45523, 45541, 46643, 47123, 47279, 47297, 47381, 47497, 47947, 48119, 48221, 48281, 48371, 48449, 48731, 48821, 49019, 49109, 49277, 49433, 49477, 49727, 49747, 49811, 50053, 50383, 50503, 50527, 50833, 51241, 51283, 51421, 52057, 52183, 52253, 52453, 52543, 52727, 52813, 53281, 53441, 53777, 54121, 54413, 54541, 54581, 54851, 55207, 55243, 55441, 57557, 57737, 57773, 58231, 58321, 58451, 58789, 58897, 59887, 59999, 60337, 60373, 60647, 60733, 61121, 61211, 61613, 61631, 62939, 63073, 63299, 63389, 63611, 63697, 63703, 63839, 63929, 64063, 64067, 66047, 66403, 66683, 66739, 66863, 66973, 67033, 67217, 67271, 67369, 68881, 69239, 69383, 69763, 69833, 71483, 71777, 71843, 72167, 72341, 72431, 72497, 72617, 72671, 73063, 73421, 73757, 74231, 74279, 74297, 74381, 74729, 74831, 75227, 75377, 75557, 75577, 75773, 76303, 76369, 76963, 77171, 77249, 77261, 77557, 77573, 77621, 77711, 77719, 78341, 79427, 79999, 80209, 82009, 82153, 82241, 82351, 82421, 82487, 82531, 82847, 83417, 83471, 83639, 84137, 84191, 84221, 84223, 84317, 84401, 84449, 84551, 84713, 84731, 84827, 85213, 85303, 85451, 87589, 88241, 88427, 88681, 88807, 88861, 89363, 89633, 90019, 90149, 90901, 91009, 91139, 91151, 91193, 91841, 92369, 92639, 92693, 92899, 93133, 93629, 93683, 93911, 94109, 94343, 94433, 94477, 94727, 94747, 94811, 95111, 95959, 96293, 96329, 96763, 97177, 97771, 98299, 98411, 98929, 99041, 99131, 99289, 99401, 99559, 99623, 99829

4

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19107391, 19109371, 19113097, 19117093, 19117309, 19130179, 19130197, 19130791, 19131709, 19137109, 19137901, 19139017, 19170391, 19171093, 19173019, 19190713, 19191037, 19191307, 19191703, 19193071, 19301197, 19310197, 19310719, 19310791, 19310971, 19311079, 19370119, 19371019, 19379011, 19397011, 19701193, 19701391, 19701931, 19703191, 19703911, 19709311, 19710139, 19710193, 19710319, 19710913, 19711093, 19711309, 19711903, 19719013, 19719103, 19731091, 19790131, 19791301, 19793101, 19901173, 19903171, 19910173, 19913017, 19913071, 19970131, 19971013, 19971031, 30111799, 30171199, 30197191, 30711199, 30711991, 30719911, 30911791, 30917119, 30917191, 30919117, 30919711, 30971119, 30991171, 31011979, 31017199, 31017991, 31019179, 31071199, 31071991, 31079911, 31091197, 31091719, 31091917, 31091971, 31097191, 31101979, 31107919, 31109719, 31170199, 31170991, 31179091, 31190197, 31190917, 31197109, 31199071, 31709191, 31709911, 31711909, 31799101, 31901971, 31907119, 31907191, 31910971, 31911709, 31917901, 31991107, 37011199, 37019119, 37091191, 37101919, 37109119, 37119091, 37190191, 37191109, 37199011, 37901911, 37910911, 37990111, 37991011, 39011179, 39017119, 39019171, 39071119, 39079111, 39091711, 39101197, 39101917, 39101971, 39107911, 39119071, 39119701, 39171091, 39171109, 39191071, 39701119, 39710191, 39711019, 39719011, 39917011, 70139119, 70139911, 70191931, 70199113, 70311919, 70391119, 70391911, 70913191, 70939111, 71011939, 71013919, 71039191, 71091931, 71093119, 71099113, 71101399, 71109193, 71130919, 71130991, 71190193, 71190319, 71191093, 71199301, 71310919, 71311909, 71390119, 71390911, 71399101, 71901391, 71903119, 71909113, 71913091, 71919103, 71930119, 71931019, 73019119, 73091911, 73101991, 73111099, 73119019, 73909111, 73910119, 73910911, 73911091, 73991011, 79011193, 79013911, 79031191, 79039111, 79101193, 79101931, 79103911, 79109311, 79110139, 79110931, 79113091, 79113901, 79119031, 79130911, 79131901, 79190113, 79191103, 79193011, 79310191, 79311109, 79311901, 79901113, 79910113, 79911031, 79913101, 79931011, 90111793, 90113971, 90117319, 90131719, 90171931, 90173191, 90311197, 90311791, 90317191, 90371119, 90371191, 90379111, 90711193, 90713911, 90719131, 90731119, 90731191, 90791131, 90911173, 90913117, 90917311, 90931117, 91011793, 91013719, 91017931, 91031179, 91031197, 91031971, 91039171, 91073119, 91073911, 91079113, 91091137, 91091731, 91093117, 91097311, 91101739, 91101937, 91103179, 91103791, 91107193, 91107931, 91110379, 91130719, 91131097, 91131709, 91139071, 91170193, 91171039, 91179031, 91190371, 91190713, 91193017, 91193107, 91301179, 91301719, 91307191, 91309171, 91310917, 91310971, 91311907, 91317091, 91370119, 91371109, 91391701, 91701319, 91701913, 91701931, 91703119, 91709311, 91710391, 91731091, 91731109, 91739101, 91790131, 91791103, 91793101, 91901317, 91901731, 91903711, 91907131, 91910173, 91910317, 91911073, 91913071, 91930711, 91937011, 91971031, 93011197, 93071119, 93097111, 93109171, 93110197, 93110917, 93110971, 93111097, 93190711, 93191017, 93191107, 93197101, 93701119, 93709111, 93710191, 93901711, 97011319, 97031191, 97093111, 97101139, 97101391, 97101931, 97103119, 97110193, 97111039, 97111093, 97111309, 97113091, 97119031, 97130119, 97139011, 97139101, 97190113, 97190311, 97191013, 97191103, 97309111, 97310911, 99011173, 99031711, 99037111, 99071131, 99073111, 99101137, 99110173, 99111703, 99113071, 99113701, 99130117, 99130711, 99131107, 99170131, 99171103, 99171301, 99311701, 99371101, 99701131, 99710311, 99711013, 99711301

11, 101, 101111, 10011101, 10101101, 10110011, 10111001, 11000111, 11100101, 11110111, 11111101, 100100111, 100111001, 101001011, 101100011, 101101111, 101111011, 110010101, 110101001, 110111011, 111000101, 111001001, 111010111

 

La tabella seguente mostra i minimi interi tali che la somma delle loro cifre nelle basi da 1 a n sia un numero primo, per n da 1 a 20 (M. Fiorentini, 2020).

n

Numero

2

3 = 112

3

5 = 1012 = 123

4

5 = 1012 = 123 = 114

5

6 = 1102 = 203 = 124 = 115

6

17 = 100012 = 1223 = 1014 = 325 = 256

7

17 = 100012 = 1223 = 1014 = 325 = 256 = 237

8

17 = 100012 = 1223 = 1014 = 325 = 256 = 237 = 218

9

55 = 1101112 = 20013 = 3134 = 2105 = 1316 = 1067 = 678 = 619

10

131 = 100000112 = 112123 = 20034 = 10115 = 3356 = 2457 = 2038 = 1559

11

131 = 100000112 = 112123 = 20034 = 10115 = 3356 = 2457 = 2038 = 1559 = 10A11

12

2663 = 1010011001112 = 101221223 = 2212134 = 411235 = 201556 = 105237 = 51478 = 35789 = 266310 = 200111 = 165B12

13

2663 = 1010011001112 = 101221223 = 2212134 = 411235 = 201556 = 105237 = 51478 = 35789 = 266310 = 200111 = 165B12 = 129B13

14

132481 = 1000000101100000012 = 202012012013 = 2001120014 = 132144115 = 25012016 = 10611467 = 4026018 = 2216519 = 13248110 = 9059811 = 6480112 = 483111113 = 363CD14

15

237593 = 1110100000000110012 = 1100012202023 = 3220001214 = 301003335 = 50315456 = 20064567 = 7200318 = 4018229 = 23759310 = 15256411 = B55B512 = 841B513 = 6282D14 = 4A5E815

16

237593 = 1110100000000110012 = 1100012202023 = 3220001214 = 301003335 = 50315456 = 20064567 = 7200318 = 4018229 = 23759310 = 15256411 = B55B512 = 841B513 = 6282D14 = 4A5E815 = 3A01916

17

984943 = 111100000111011011112 = 12120010021013 = 33001312334 = 2230042335 = 330355316 = 112413617 = 36035578 = 17610719 = 98494310 = 61300311 = 3B5BA712 = 28640B13 = 1B8D3114 = 146C7D15 = F076F16 = BD81E17

18

9188111 = 1000110000110011000011112 = 1220212102011023 = 2030030300334 = 43230044215 = 5245333156 = 1410453327 = 430314178 = 182536429 = 918811110 = 520618911 = 30B123B12 = 1B9916A13 = 131261914 = C1760B15 = 8C330F16 = 6802D217 = 4F986B18

19

68433401 = 1000001010000110101111110012 = 112022022022221023 = 100110031133214 = 1200043321015 = 104424331456 = 14604502017 = 4050327718 = 1526828729 = 6843340110 = 356A103311 = 1AB027B512 = 1124074A13 = 913540114 = 601B86B15 = 41435F916 = 2E360D317 = 203G23B18 = 18C233I19

20

68433401 = 1000001010000110101111110012 = 112022022022221023 = 100110031133214 = 1200043321015 = 104424331456 = 14604502017 = 4050327718 = 1526828729 = 6843340110 = 356A103311 = 1AB027B512 = 1124074A13 = 913540114 = 601B86B15 = 41435F916 = 2E360D317 = 203G23B18 = 18C233I19 = 117E3A120

 

Nel 2003 Amarnath Murthy avanzò la congettura che partendo da un qualsiasi intero e aggiungendo all’inizio e alla fine due identiche sequenze di cifre uguali si possa sempre ottenere un numero primo. Per esempio, per ottenere un primo partendo da 6 si può usare una sequenza di quattro 7, ottenendo il numero primo 777767777. Nel 2015 Chai Wah Wu dimostrò che la congettura è falsa: esistono infiniti interi a partire dai quali non si possono ottenere primi in questo modo. In particolare il matematico cinese dimostrò che non si possono ottenere primi iniziando da tutti i numeri con un numero pari di cifre e multipli di 11, come 6336 e da vari altri numeri, come 231, 420, 759, 10815. La dimostrazione si adatta a qualsiasi base: in base b non si possono ottenere primi iniziando dai numeri con un numero pari di cifre e multipli di b + 1.

 

Per finire, guardate il seguente quadrato magico di numeri primi, il minimo nel suo genere.

17207

18731

16493

16763

17477

18191

18461

16223

17747

Che ha di particolare? I 9 numeri che lo compongono restano primi se letti da destra a sinistra, formando un altro quadrato magico.

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