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Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Vi sono moltissime congetture, e ben pochi risultati certi, sulla possibilità di rappresentare un numero come somma di primi.

 

La congettura più nota sulla rappresentazione di interi come somma di numeri primi è quella di Goldbach, che nella sua forma forte, non ancora dimostrata, afferma che ogni intero pari maggiore di 2 può essere espresso come somma di due numeri primi.

Il risultato più importante per ora è la dimostrazione della forma debole della congettura: ogni numero dispari maggiore di 1 si può esprimere come somma di al massimo 3 numeri primi, e quindi ogni numero pari si può esprimere come somma di al massimo 4 numeri primi.

 

Selfridge mostrò che tra i modi di esprimere un intero come somma di numeri primi, quella col massimo prodotto delle parti non è necessariamente quella col maggior numero di parti. Il minimo controesempio è 319 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 47 + 53 (14 parti, con prodotto 39888810865593690) e 319 = 3 + 5 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31 + 37 + 41 + 43 + 47 (13 parti, con prodotto 43920698756320815).

 

Se non poniamo limiti al numero di primi utilizzati, vi sono alcuni risultati interessanti:

  • Richert dimostrò nel 1949 che ogni intero maggiore di 6 è esprimibile come somma di primi distinti;

  • nel 1978 Stefan Porubský dimostrò che se f(p) è un polinomio a coefficienti interi, tale che per ogni intero d maggiore di 1 esistano infiniti primi p per i quali f(p) non è divisibile per d, allora ogni intero abbastanza grande si può rappresentare come somma di valori distinti f(p) con p primo;

  • esiste una costante c tale che ogni intero maggiore di cp, con p primo qualsiasi, è esprimibile come somma di primi distinti non inferiori a p;

  • R.E. Dressler e S.T. Packer dimostrarono nel 1975 che ogni intero maggiore di 94 è esprimibile come somma di primi distinti con indice primo, come p2 = 3, p3 = 5, p5 = 11, p7 = 11 ecc..

 

In particolare:

  • ogni intero tranne 1, 4 e 6 è somma di primi distinti (Richert 1949);

  • ogni intero tranne 1, 2, 4, 6 e 9 è somma di primi dispari distinti;

  • ogni intero maggiore di 11 è somma di almeno due primi distinti;

  • ogni intero maggiore di 45 è somma di primi distinti maggiori di 10;

  • ogni intero maggiore di 57 è somma di primi distinti maggiori di 12;

  • ogni intero maggiore di 75 è somma di primi distinti maggiori di 16;

  • ogni intero maggiore di 81 è somma di primi distinti maggiori di 18;

  • ogni intero maggiore di 87 è somma di primi distinti maggiori di 22;

  • ogni intero maggiore di 105 è somma di primi distinti maggiori di 28;

  • ogni intero maggiore di 23867 è somma di primi distinti maggiori di 7926;

  • ogni intero maggiore di 121 è somma di primi distinti della forma 4n + 1 (A. Makowski, 1960);

  • ogni intero maggiore di 55 è somma di primi distinti della forma 4n + 3 (A. Makowski, 1960).

  • ogni intero maggiore di 205 è somma di primi distinti della forma 6n + 1 (A. Makowski, 1960);

  • ogni intero maggiore di 161 è somma di primi distinti della forma 6n + 5 (A. Makowski, 1960);

  • ogni intero maggiore di 1969 è somma di primi distinti della forma 12n + 1 (R.E. Dressler, A. Makowski e T. Parker, 1974);

  • ogni intero maggiore di 1349 è somma di primi distinti della forma 12n + 5 (R.E. Dressler, A. Makowski e T. Parker, 1974);

  • ogni intero maggiore di 1387 è somma di primi distinti della forma 12n + 7 (R.E. Dressler, A. Makowski e T. Parker, 1974);

  • ogni intero maggiore di 1475 è somma di primi distinti della forma 12n + 11 (R.E. Dressler, A. Makowski e T. Parker, 1974);

  • ogni intero maggiore di 17 si può ottenere sommando o sottraendo tutti i primi inferiori, o tutti tranne il maggiore (Chris Nash 2000);

  • ogni intero maggiore di 5 si può ottenere sommando o sottraendo alcuni primi consecutivi inferiori (Chris Nash 2000);

  • ogni intero maggiore di 11 si può ottenere sommando o sottraendo alcuni primi consecutivi dispari inferiori (Chris Nash 2000).

Gli ultimi tre punti costituiscono una generalizzazione della congettura di Sherk, che aveva supposto che ogni primo si potesse rappresentare sommando o sottraendo tutti i primi inferiori, raddoppiando l’ultimo nel caso di primi di indice dispari. J.J. Brown dimostrò la congettura nel 1967 e C. Nash dimostrò che non serve raddoppiare alcun primo, anzi volendo si può omettere l’ultimo.

 

Molti numeri possono essere scritti come somma di primi consecutivi, talvolta in più modi. Mentre 9 non può essere espresso in questo modo, 41 può essere espresso in ben 3 modi diversi: 11 + 13 + 17, 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13, 41. Se definiamo f(n) come il numero di modi per rappresentare n come somma di primi consecutivi (per esempio, f(41) = 3), Leo Moser dimostrò nel 1963 che Limite per n tendente a infinito della somma di f(k), per k da 1 a n, divisa per n.

 

Gli unici interi che non si possono rappresentare come somma di tre interi maggiori di 1 e primi tra loro sono 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13 e 17.

 

Le somme dei primi n primi a partire da 2 costituiscono una sequenza che cresce come n^2 * (2 * log(n) – 1) / 4; i termini fino a 10000 sono: 2, 5, 10, 17, 28, 41, 58, 77, 100, 129, 160, 197, 238, 281, 328, 381, 440, 501, 568, 639, 712, 791, 874, 963, 1060, 1161, 1264, 1371, 1480, 1593, 1720, 1851, 1988, 2127, 2276, 2427, 2584, 2747, 2914, 3087, 3266, 3447, 3638, 3831, 4028, 4227, 4438, 4661, 4888, 5117, 5350, 5589, 5830, 6081, 6338, 6601, 6870, 7141, 7418, 7699, 7982, 8275, 8582, 8893, 9206, 9523, 9854.

Qui trovate le somme dei primi a partire da 2 minori di 109.

 

I primi uguali alla somma di primi consecutivi a partire da 2 minori di 106 sono (tra parentesi il massimo primo sommato):

2 (2),

5 (3),

17 (7),

41 (13),

197 (37),

281 (43),

7699 (281),

8893 (311),

22039 (503),

24133 (541),

25237 (557),

28697 (593),

32353 (619),

37561 (673),

38921 (683),

43201 (733),

44683 (743),

55837 (839),

61027 (881),

66463 (929),

70241 (953),

86453 (1061),

102001 (1163),

109147 (1213),

116533 (1249),

119069 (1277),

121631 (1283),

129419 (1307),

132059 (1321),

263171 (1949),

287137 (2029),

325019 (2161),

329401 (2203),

333821 (2213),

338279 (2237),

342761 (2243),

360979 (2297),

379667 (2357),

393961 (2393),

398771 (2411),

581921 (2957),

642869 (3137),

681257 (3251),

687767 (3257),

700897 (3301),

754573 (3413),

768373 (3461),

782263 (3491),

868151 (3671),

935507 (3821),

958577 (3863).

Qui trovate i primi uguali alla somma di primi consecutivi a partire da 2 minori di 1012 (tra parentesi il massimo primo sommato).

 

Dato che la somma contiene un numero pari, i restanti termini devono essere in numero dispari (tranne che nel caso di 2); poiché una somma di un numero pari di primi consecutivi sarebbe pari, questi sono anche gli unici primi uguali alla somma di un numero pari di primi consecutivi. Per esempio, l’unico primo uguale alla somma di 4 primi consecutivi è 17 = 2 + 3 + 5 + 7. Vi sono invece molti casi di primi uguali alla somma di un numero dispari di primi consecutivi, non iniziando da 2. Per esempio, i minimi casi di primi uguali alla somma di 5 primi consecutivi sono: 53 = 5 + 7 + 11 + 13 + 17, 67 = 7 + 11 + 13 + 17 + 19 e 83 = 11 + 13 + 17 + 19 + 23.

 

I quadrati noti uguali alla somma di primi consecutivi a partire da 2 sono (Jud McCranie, Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

100 = 102 (somma fino a p9 = 23),

25633969 = 50632 (somma fino a p2474 = 22073),

212372329 = 145732 (somma fino a p6694 = 67187),

292341604 = 170982 (somma fino a p7785 = 79427),

3672424151449 = 19163572 (somma fino a p709838 = 10729219),

219704732167875184222756 = 4687267137342 (somma fino a p126789311423 = 3531577135439).

Javier Cilleruelo e Florian Luca dimostrarono nel 2007 che i valori di n minori di m, tali che la somma dei primi n primi sia un quadrato sono meno di m / exp(m / (c * (log(m)^3 / log(log(m)))^(1 / 5)) per una costante c, quindi hanno densità asintotica nulla.

 

Non si conosce alcuna potenza con esponente maggiore di 2 uguale alla somma di primi consecutivi a partire da 2; se esistono, sono maggiori della somma dei primi fino a 109, ossia 24739512092254535 (M. Fiorentini, 2020).

 

Esistono varie potenze uguali alla somma di primi consecutivi.

 

La tabella seguente riporta i quadrati minori di 10000, i cubi minori di 106 e i biquadrati minori di 109 uguali alla somma di primi consecutivi (tra parentesi il minimo primo sommato e il numero di primi).

Esponente

Potenze

2

36 = 62 (5, 4), 36 = 62 (17, 2), 49 = 72 (13, 3), 100 = 102 (2, 9), 100 = 102 (47, 2), 121 = 112 (37, 3), 144 = 122 (71, 2), 169 = 132 (13, 7), 324 = 182 (73, 4), 484 = 222 (11, 14), 576 = 242 (137, 4), 576 = 242 (283, 2), 625 = 252 (73, 7), 841 = 292 (73, 9), 841 = 292 (277, 3), 900 = 302 (37, 14), 961 = 312 (3, 23), 961 = 312 (181, 5), 961 = 312 (313, 3), 1089 = 332 (199, 5), 1156 = 342 (5, 24), 1369 = 372 (3, 27), 1444 = 382 (163, 8), 1681 = 412 (317, 5), 1764 = 422 (433, 4), 1764 = 422 (881, 2), 1849 = 432 (3, 31), 1849 = 432 (613, 3), 2116 = 462 (37, 24), 2209 = 472 (227, 9), 2209 = 472 (293, 7), 2304 = 482 (163, 12), 2304 = 482 (569, 4), 2304 = 482 (1151, 2), 2916 = 542 (173, 14), 3249 = 572 (11, 37), 3600 = 602 (587, 6), 3844 = 622 (1913, 2), 4225 = 652 (3, 45), 4900 = 702 (1217, 4), 5184 = 722 (2591, 2), 5329 = 732 (67, 35), 6241 = 792 (661, 9), 6889 = 832 (269, 21), 7056 = 842 (197, 26), 7056 = 842 (397, 16), 7056 = 842 (3527, 2), 7396 = 862 (149, 32), 7744 = 882 (43, 48), 8100 = 902 (4049, 2), 8649 = 932 (89, 43), 8836 = 942 (439, 18), 9025 = 952 (653, 13)

3

8 = 23 (3, 2), 216 = 63 (107, 2), 1331 = 113 (439, 3), 6859 = 193 (199, 25), 10648 = 223 (1753, 6), 12167 = 233 (131, 47), 12167 = 233 (373, 27), 21952 = 283 (1033, 20), 21952 = 283 (10973, 2), 32768 = 323 (523, 48), 39304 = 343 (797, 42), 42875 = 353 (809, 45), 50653 = 373 (823, 51), 68921 = 413 (4001, 17), 68921 = 413 (6221, 11), 74088 = 423 (37039, 2), 79507 = 433 (997, 65), 85184 = 443 (2089, 38), 97336 = 463 (6899, 14), 103823 = 473 (34603, 3), 110592 = 483 (3847, 28), 157464 = 543 (3407, 44), 175616 = 563 (17509, 10), 195112 = 583 (24359, 8), 205379 = 593 (41051, 5), 226981 = 613 (211, 233), 250047 = 633 (22697, 11), 262144 = 643 (2473, 92), 287496 = 663 (1787, 126), 314432 = 683 (1013, 186), 343000 = 703 (18959, 18), 373248 = 723 (5563, 64), 373248 = 723 (11491, 32), 373248 = 723 (186619, 2), 389017 = 733 (29863, 13), 421875 = 753 (2593, 135), 512000 = 803 (8263, 60), 531441 = 813 (35353, 15), 531441 = 813 (75869, 7), 551368 = 823 (13619, 40), 636056 = 863 (3881, 142), 658503 = 873 (10499, 61), 704969 = 893 (761, 345), 729000 = 903 (8089, 86), 912673 = 973 (6983, 121)

4

625 = 54 (73, 7), 20736 = 124 (5171, 4), 130321 = 194 (1511, 73), 160000 = 204 (971, 116), 234256 = 224 (1093, 144), 390625 = 254 (563, 263), 390625 = 254 (3313, 105), 331776 = 244 (55249, 6), 531441 = 274 (35353, 15), 531441 = 274 (75869, 7), 707281 = 294 (235747, 3), 1679616 = 364 (9377, 166), 1679616 = 364 (59791, 28), 1874161 = 374 (3121, 393), 1874161 = 374 (7309, 225), 1874161 = 374 (208207, 9), 2560000 = 404 (16069, 152), 2560000 = 404 (319967, 8), 3748096 = 444 (109987, 34), 4100625 = 454 (13121, 283), 5308416 = 484 (663529, 8), 5764801 = 494 (94153, 61), 7890481 = 534 (7283, 739), 7890481 = 534 (8017, 701), 9150625 = 554 (538159, 17), 12960000 = 604 (215587, 60), 13845841 = 614 (4615267, 3), 14776336 = 624 (351529, 42), 22667121 = 694 (35201, 591), 28398241 = 734 (1670399, 17), 28398241 = 734 (1893131, 15), 37015056 = 784 (1850573, 20), 65610000 = 904 (8201197, 8), 65610000 = 904 (10934939, 6), 65610000 = 904 (16402481, 4), 71639296 = 924 (74363, 902), 92236816 = 984 (1280561, 72), 108243216 = 1024 (1229369, 88), 116985856 = 1044 (154067, 738), 116985856 = 1044 (885397, 132), 121550625 = 1054 (1038047, 117), 126247696 = 1064 (900797, 140), 136048896 = 1084 (22674779, 6), 141158161 = 1094 (15684191, 9), 181063936 = 1164 (456899, 394), 187388721 = 1174 (1177529, 159), 193877776 = 1184 (705829, 274), 200533921 = 1194 (7426963, 27), 207360000 = 1204 (34559971, 6), 236421376 = 1244 (360803, 648), 244140625 = 1254 (2280911, 107), 276922881 = 1294 (92307617, 3), 268435456 = 1284 (7063741, 38), 332150625 = 1354 (949427, 349), 352275361 = 1374 (3870499, 91), 373301041 = 1394 (41477837, 9), 429981696 = 1448 (2192423, 196), 466948881 = 1474 (93389741, 5), 506250000 = 1504 (253124999, 2), 562448656 = 1544 (35152927, 16), 562448656 = 1544 (93741407, 6), 577200625 = 1554 (192400171, 3), 688747536 = 1624 (10128109, 68), 723394816 = 1644 (90424253, 8), 759333136 = 1664 (4037731, 188), 855036081 = 1714 (65771879, 13), 875213056 = 1724 (13260253, 66), 981506241 = 1774 (2153993, 455),

 

La tabella seguente riporta le potenze con esponente maggiore di 4 uguali alla somma di fino a 1000 primi consecutivi a partire da un primo minore di 109; tra parentesi il minimo primo sommato e il numero di primi (M. Fiorentini, 2020).

Esponente

Potenze

5

243 = 35 (41, 5), 3125 = 55 (257, 11), 32768 = 85 (523, 48), 59049 = 95 (839, 57), 161051 = 115 (3251, 47), 537824 = 145 (541, 320), 5153632 = 225 (14717, 318), 5153632 = 225 (2576801, 2), 6436343 = 235 (18149, 325), 9765624 = 255 (149873, 65), 17210368 = 285 (782147, 22), 24300000 = 305 (165541, 146), 28629151 = 315 (336263, 85), 33554432 = 325 (2097031, 16), 45435424 = 345 (53233, 790), 52521875 = 355 (3501331, 15), 130691232 = 425 (870211, 150), 164916224 = 445 (10307137, 16), 229345007 = 475 (1355917, 169), 229345007 = 475 (12070651, 19), 380204032 = 525 (63367303, 6), 380204032 = 525 (95050981, 4), 503284375 = 555 (29604791, 17), 601692057 = 575 (24067481, 25), 601692057 = 575 (85955953, 7), 777600000 = 605 (1503499, 516), 777600000 = 605 (32399789, 24), 844596301 = 615 (2679041, 315), 992436543 = 635 (24205523, 41), 1453933568 = 685 (14253389, 102), 1934917632 = 725 (967458809, 2), 2219006624 = 745 (2898947, 764), 2535525376 = 765 (18109733, 140), 2706784157 = 775 (27340351, 99), 3939040643 = 835 (5613611, 701), 3939040643 = 835 (77235667, 51), 12762815625 = 1055 (20883383, 611), 13382255776 = 1065 (290918231, 46), 14025517307 = 1075 (46905473, 299), 14025517307 = 1075 (168981557, 83), 19254145824 = 1145 (57301133, 336), 20113571875 = 1155 (221027327, 91), 30517578125 = 1255 (359029499, 85), 57735339232 = 1425 (412393997, 140), 126049300576 = 1665 (398887109, 316)

6

262144 = 86 (2473, 92), 1000000 = 106 (4999, 174), 1291467969 = 336 (3049951, 423), 1291467969 = 336 (14843849, 87), 1291467969 = 336 (258293551, 5), 1291467969 = 336 (430489307, 3), 148035889 = 236 (656389, 225), 148035889 = 236 (1873231, 79), 1771561 = 116 (104119, 17), 1771561 = 116 (354301, 5), 22164361129 = 536 (418195013, 53), 243087455521 = 796 (405816559, 599), 2565726409 = 376 (366532289, 7), 34012224 = 186 (5668673, 6), 3518743761 = 396 (3528857, 995), 46656 = 66 (397, 74), 4826809 = 136 (10079, 403), 594823321 = 296 (198274423, 3), 6321363049 = 436 (6529519, 967), 729000000 = 306 (33136157, 22), 729000000 = 306 (91124939, 8), 782757789696 = 966 (983356061, 796), 85766121 = 216 (146309, 573), 887503681 = 316 (38587001, 23), 68719476736 = 646 (365527499, 188), 90458382169 = 676 (262195223, 345)

7

128 = 27 (61, 2), 16384 = 47 (11, 80), 78125 = 57 (8647, 9), 823543 = 77 (16561, 49), 279936 = 67 (139967, 2), 268435456 = 167 (7063741, 38), 410338673 = 177 (24137459, 17), 1280000000 = 207 (2210189, 578), 1280000000 = 207 (159999941, 8), 137231006679 = 397 (322892159, 425), 435817657216 = 467 (716799241, 608)

8

390625 = 58 (563, 263), 390625 = 58 (3313, 105), 1679616 = 68 (9377, 166), 1679616 = 68 (59791, 28), 5764801 = 78 (94153, 61), 429981696 = 128 (2192423, 196), 2562890625 = 158 (11700889, 219), 54875873536 = 228 (114320369, 480)

9

262144 = 49 (2473, 92), 134217728 = 89 (16777141, 8), 10604499373 = 139 (10714643, 989), 68719476736 = 169 (365527499, 188)

10

59049 = 310 (839, 57), 9765624 = 510 (149873, 65)

11

8589934592 = 811 (858993367, 10)

12

531441 = 312 (35353, 15), 531441 = 312 (75869, 7), 244140625 = 512 (2280911, 107), 68719476736 = 812 (365527499, 188)

13

8192 = 213 (4093, 2), 1594323 = 313 (5821, 233), 1594323 = 313 (54799, 29)

14

16384 = 214 (11, 80), 268435456 = 414 (7063741, 38)

15

32768 = 215 (523, 48), 30517578125 = 515 (359029499, 85)

16

-

17

131072 = 217 (3109, 40), 131072 = 217 (16349, 8), 129140163 = 317 (800959, 161), 129140163 = 317 (1049101, 123)

18

262144 = 218 (2473, 92), 68719476736 = 418 (365527499, 188)

19

1162261467 = 319 (4592009, 253)

20

-

21

-

22

-

23

94143178827 = 323 (182797249, 515)

24

-

25

33554432 = 225 (2097031, 16)

26

-

27

134217728 = 227 (16777141, 8)

28

268435456 = 228 (7063741, 38)

29

536870912 = 229 (3354269, 160)

30

-

31

-

32

-

33

8589934592 = 233 (858993367, 10)

34

-

35

-

36

68719476736 = 236 (365527499, 188)

37

137438953472 = 237 (654469037, 210)

 

Qui trovate le potenze uguali alla somma di fino a 1000 primi consecutivi a partire da un primo minore di 109; tra parentesi il minimo primo sommato e il numero di primi (3.8 Mbyte) (M. Fiorentini, 2020).

 

Si conoscono pochissimi interi uguali alla somma dei primi dal uno dei loro fattori primi a un altro (Michael Beight, Donovan Johnson, Jud McCranie, Carlos Rivera, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • 10 = 2 • 5, uguale alla somma dei primi da 2 a 5;

  • 39 = 3 • 13, uguale alla somma dei primi da 3 a 13;

  • 155 = 5 • 31, uguale alla somma dei primi da 5 a 31;

  • 371 = 7 • 53, uguale alla somma dei primi da 7 a 53;

  • 10225245560 = 23 • 5 • 503 • 508213, uguale alla somma dei primi da 503 a 508213;

  • 2935561623745 = 5 • 19 • 53 • 61 • 9557887, uguale alla somma dei primi da 5 a 9557887;

  • 454539357304421 = 3536123 • 128541727, uguale alla somma dei primi da 3536123 a 128541727;

  • 7228559051256366318 = 2 • 3 • 11 • 73 • 82067 • 18281691653, uguale alla somma dei primi da 73 a 18281691653;

  • 1390718713078158117206 = 2 • 7 • 370794889 • 267902967061, uguale alla somma dei primi da 370794889 a 267902967061.

Se esistono altri interi con la stessa proprietà, sono maggiori di 1022 (Michael Beight, 2012).

 

Se chiamiamo pn l’n-esimo numero primo, possiamo definire la sequenza p1, n = pp dei primi che hanno per indice un primo, la sequenza dei primi che hanno per indice un numero della sequenza precedente e così via. Štefan Porubský dimostrò nel 1978 che per ogni k fissato, ogni intero abbastanza grande si può rappresentare come somma di elementi distinti della sequenza pk, n. In particolare, ogni intero maggiore di 96 può essere rappresentato come somma di primi p1, n distinti.

 

Alcuni teoremi e molte congetture riguardano la possibilità di esprimere tutti gli interi positivi come somma di numeri primi e numeri di altre categorie.

 

Nel 1960 Yuri Vladimirovich Linnik (Bila Tserkva, Ucraina, 8/1/1915 – Leningrado, oggi S. Pietroburgo, 30/6/1972) dimostrò che ogni numero naturale si può esprimere come somma di un primo e due quadrati.

 

Yuri Vladimirovich Linnik dimostrò nel 1951 che ogni numero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di due primi dispari e un numero limitato di potenze di 2 (v. numeri di de Polignac); il numero di tali potenze è stato poi ridotto a 9 (J. Pintz e I.Z. Rusza, 2003) e, supponendo vera una versione generale della congettura di Riemann, a 7 (D.R. Heath-Brown e J.C. Puchta, 2002).

 

Zhixin Liu e Guangshi Lü dimostrarono nel 2011 che:

  • ogni numero dispari abbastanza grande si può esprimere come somma di un primo, 4 cubi di primi e 106 potenze di 2;

  • ogni numero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di un primo, 4 cubi di primi e 211 potenze di 2.

 

Se p è un primo dispari e k non è multiplo di p, kp non può essere espresso come somma o differenza di due interi m e n tali che mp – 1 ≡ 1 mod p2 e mp – 1 ≡ 1 mod p2.

 

Per altre congetture sulla rappresentazione di numeri interi come somma di primi ed eventualmente numeri di altre categorie v. congetture sui numeri primi.

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