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Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Il prodotto Prodotto sui primi n numeri primi di (p(k) + 1) / (p(k) – 1) è un intero solo per pochi valori di n:

  • Prodotto sul primo numero primo di (p(k) + 1) / (p(k) – 1);

  • Prodotto sui primi 2 numeri primi di (p(k) + 1) / (p(k) – 1);

  • Prodotto sui primi 3 numeri primi di (p(k) + 1) / (p(k) – 1);

  • Prodotto sui primi 4 numeri primi di (p(k) + 1) / (p(k) – 1);

  • Prodotto sui primi 8 numeri primi di (p(k) + 1) / (p(k) – 1).

Non sembrano possibili altri casi, ma non è stato dimostrato.

 

Il prodotto Prodotto sui primi di 1 – 1 / p tende a zero e più precisamente:

  • Limite inferiore per il prodotto sui primi di 1 – 1 / p, per n ≥ 2973 (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per il prodotto sui primi di 1 – 1 / p (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per il prodotto sui primi di 1 – 1 / p, per qualsiasi ε positivo (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962).

 

Il prodotto Prodotto sui primi di p / (p – 1) tende a infinito e più precisamente:

  • Limite inferiore per il prodotto sui primi di p / (p – 1) (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite inferiore per il prodotto sui primi di p / (p – 1), per n ≥ 2973 (Pierre Dusart, 2010).

 

Se definiamo la funzione χ(p) come 1, se p ≡ 1 mod 4 e –1 se p ≡ 3 mod 4, allora Prodotto sui primi maggiori di 2 di 1 + χ(p) / p e Prodotto sui primi maggiori di 2 di 1 – χ(p) / p.

 

Vi sono numerosi prodotti infiniti che coinvolgono numeri primi (in queste formule A è la costante di Artin e a1(r) è una costante di Artin di ordine r):

Prodotto sui primi di p^s / (p^s – 1);

Prodotto sui primi di p^s / (p^s + 1) e in particolare Prodotto sui primi di p^2 / (p^2 + 1)Prodotto sui primi di p^4 / (p^4 + 1) e Prodotto sui primi di p^6 / (p^6 + 1);

Prodotto sui primi di (p^s + 1) / (p^s – 1) (Eulero) e in particolare Prodotto sui primi di (p^2 + 1) / (p^2 – 1)Prodotto sui primi di (p^4 + 1) / (p^4 – 1) e Prodotto sui primi di (p^6 + 1) / (p^6 – 1);

Prodotto sui primi di p^3 / (p^3 – 2 * p – 1);

Prodotto sui primi di p^(2 * s + r) / (p^(2 * s + r) – p^(s + r) – p^s + 1) e in particolare Prodotto sui primi di p^5 / (p^5 – p^3 – p^2 + 1);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / p^s (Ramanujan) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + 1 / p^2Prodotto sui primi di 1 + 1 / p^4 e Prodotto sui primi di 1 + 1 / p^6;

Prodotto sui primi di 1 – (p^(s + r) + p^s – 1) / p^(2 * s + r) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – (p^3 + p^2 – 1) / p^5;

Prodotto sui primi di 1 – 1 / p^s (Eulero);

Prodotto sui primi di 1 – 2 / p^2 (v. costante di Feller – Tornier); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di p^2 * (p – 3) / (p – 1)^3 (v. costanti di Hardy e Littlewood); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di p^3 * (p – 4) / (p – 1)^4 (v. costanti di Hardy e Littlewood); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di p^4 * (p – 5) / (p – 1)^5qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^2 – 2)qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – (p^r – 1) / (p^(r + s) – 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^2 + 1);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p + 1)^2qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p + 1)^2 (v. costanti delle coppie libere da quadrati); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p * (p + 1));

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p * (p – 1)) (v. anche numeri potenti);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^2 + p – 1); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^2 + p – 1); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^2 – p – 1); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^2 * (p – 1)) (v. costante del toziente); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p * (p^2 – 1)); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^(s + 1) – p^s – 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^2 – p – 1); qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante (G. Nicklasch e Pieter Moree, 1999);

Prodotto sui primi di 1 – (p – 2) / (p^(s + 1) – p^s – 1);

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^(s + 2) – p^(s + 1) – p) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^3 – p^2 – p);

Prodotto sui primi di 1 – (p^r – 1) / (p^(r + s + 1) – p^(r + s) – 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – (p – 1) / (p^3 – p^2 – 1);

Prodotto sui primi di 1 + (p^r – 1) / (p^(r + s + 1) – p^(r + s) – p^r) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + (p – 1) / (p^3 – p^2 – p);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^(s + 2) – p^(s + 1) – p + 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^3 – p^2 – p + 1);

Prodotto sui primi di 1 + (p – 2) / (p^(s + 1) – p^s – p + 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + (p – 2) / (p^3 – p^2 – p + 1);

Prodotto sui primi di somma per k da 0 a s di 1 / p^(2 * k) e in particolare Prodotto sui primi di 1 + 1 / p^2 + 1 / p^4;

Prodotto sui primi di somma per k da 0 a s di (–1)^k / p^(2 * k) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – 1 / p^2 + 1 / p^4;

Prodotto sui primi di somma per k da 0 a s di (–1)^k / p^(2 * k) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – 1 / p^2 + 1 / p^4 – 1 / p^6;

Prodotto sui primi di 1 uno meno la somma per k da 0 a s di p^k / p^(2 * s) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – (p^2 + p + 1) / p^4;

Prodotto sui primi di 1 – (p + somma per k da 0 a s – 1 di p^k) / p^(s + 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – (2 * p + 1) / p^3 e Prodotto sui primi di 1 – (p + 1)^2 / p^4;

Prodotto sui primi di 1 – (p^s + somma per k da 0 a s di p^k) / p^(2 * s + 1) e in particolare Prodotto sui primi di 1 – (2 * p^2 + p + 1) / p^5;

Prodotto sui primi di 1 + 1 / somma per k da 1 a s di p^k e in particolare Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^3 + p^2 + p);

Prodotto sui primi di 1 – 1 / somma per k da 0 a s di p^k e in particolare Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^2 + p + 1);

Prodotto sui primi di p^((r – 1) * s) / somma per k da 0 a r – 1 di p^(k * s) e in particolare Prodotto sui primi di p^6 / (p^6 + p^4 + p^2 + 1) e Prodotto sui primi di p^6 / (p^6 + p^3 + 1);

Prodotto sui primi di 1 + sin(π * p / 2) / p (Eulero);

Prodotto sui primi di x – 1 / p^s;

Prodotto sui primi di (1 – 1 / p)^(1 / p); qui trovate le prime 98 cifre decimali della costante (David W. Wilson e Robert Gerbicz, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati di Prodotto sui primi di 1 ± 1 / (p^n * (p ± 1)) per n da 1 a 10.

n

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^n * (p + 1))

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^n * (p – 1))

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^n * (p + 1))

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^n * (p – 1))

1

1.3684327776

1.9435964368

0.7044422010

0.3739558136

2

1.1256068731

1.3397841536

0.8815138397

0.6975013585

3

1.0532250280

1.1488462139

0.9477332621

0.8565404449

4

1.0243201846

1.0695724994

0.9758241530

0.9312651842

5

1.0115184456

1.0334657853

0.9885043977

0.9666688686

6

1.0055649152

1.0163393679

0.9944387880

0.9836826363

7

1.0027210732

1.0080463463

0.9972795347

0.9919572808

8

1.0013406863

1.0039834277

0.9986594141

0.9960171730

9

1.0006638398

1.0019787097

0.9993361769

0.9980213901

10

1.0003297735

1.0009850645

0.9996702293

0.9990149521

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati di Prodotto sui primi di 1 ± 1 / (p^n * (p^2 ± 1)) per n da 2 a 10.

n

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^n * (p^2 + 1))

Prodotto sui primi di 1 + 1 / (p^n * (p^2 – 1))

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^n * (p^2 + 1))

Prodotto sui primi di 1 – 1 / (p^n * (p^2 – 1))

0

1.4415347359

1.6449340668

0.6579736267

0.5307118205

1

1.1507517875

1.2312911489

0.8592926818

0.7881625000

2

1.0638724282

1.1008231349

0.9374942827

0.9019260396

3

1.0291833752

1.0469124607

0.9710234514

0.9535108382

4

1.0138216799

1.0224865961

0.9862111277

0.9775811155

5

1.0066777535

1.0109512332

0.9933275714

0.9890598038

6

1.0032652491

1.0053835594

0.9967356255

0.9946182574

7

1.0016088141

1.0026620321

0.9983913304

0.9973382686

8

1.0007966055

1.0013212706

0.9992034184

0.9986787793

9

1.0003957277

1.0006574183

0.9996042763

0.9993425900

10

1.0001970103

1.0003276428

0.9998029903

0.9996723586

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di molte di queste costanti.

 

Per altri prodotti infiniti che coinvolgono numeri primi e ottime approssimazioni degli stessi v. funzione ζk.

 

Alcuni limiti di prodotti che coinvolgono numeri primi.

Limite che coinvolge un prodotto con numeri primi (teorema di Mertens);

Limite che coinvolge un prodotto con numeri primi.

 

Varie costanti sono definite tramite prodotti infiniti che coinvolgono numeri primi:

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