Indice
- 1. Pagina principale
- 2. Proprietà
- 3. Distribuzione dei numeri primi
- 4. Differenze tra primi consecutivi
- 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
- 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
- 7. Funzioni che producono numeri primi
- 8. Esami di primalità
- 9. Tabelle di primi
- 10. Grandi primi
- 11. Primi di forme particolari
- 12. Somme che coinvolgono numeri primi
- 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
- 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
- 15. Proprietà basate sulle cifre
- 16. Categorie di primi
Sono state compiute numerose ricerche su primi di forme particolari.
an – 1 può essere primo per n > 1 solo se a = 2 e n è primo (v. primi di Mersenne).
an + 1 può essere primo per n > 1 solo se a = 1 oppure a è pari e n è una potenza di 2 (v. numeri di Fermat generalizzati).
Per primi della forma nm ± k v. primi vicini a potenze.
L’unico primo noto della forma n10n + n + 1 si ottiene per n = 42.
Sono noti solo 6 primi della forma nn + n + 1, per n = 1, 2, 3, 6, 9 e 462; se ve ne sono altri, n è maggiore di 10000 (Farideh Firoozbakht, 2006).
Sono noti solo 8 primi della forma nn + n – 1, per n = 2, 3, 19, 30, 535, 1551, 7069, 8508; se ve ne sono altri, n è maggiore di 16100 (Hugo Pfoertner, 2020).
Un numero primo può essere differenza di potenze di primi con ugual esponente solo se è della forma 3n – 2n con n primo; questo accade per n = 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503 e nessun altro valore inferiore: i valori superiori a 2833 corrispondono a numeri che sono solo “molto probabilmente” primi (Mike Oakes, Robert G. Wilson V., The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Quindi l’unico primo che sia differenza di quadrati di due primi è 5 = 32 – 22, l’unico primo che sia differenza di cubi di due primi è 19 = 33 – 23 ecc..
L’unico primo noto della forma 
è 1571, per n = 11.
Paul T. Bateman e Rosemarie M. Stemmler dimostrarono che per n abbastanza grande il numero di primi minori di n della forma con p primo, tra i quali i primi di Fermat, non supera ; in tali casi inoltre r dev’essere una potenza di un primo qm e d dev’essere il massimo divisore di r, minore di r. 3, 5, 7, 13, 17, 31, 31, 73, 127, 307, 757
Il problema di Honaker consiste nel trovare tre primi consecutivi p q, e r, tali che p divida qr + 1. Le uniche triple del genere note sono (2, 3, 5), (3, 5, 7) e (61, 67, 71). C.K Caldwell e Y. Cheng dimostrarono nel 2005 che non ve ne sono altre con p < 2 • 1017.
La congettura di Cramér – Granville implica che tali triple siano finite e se la costante c della congettura è minore di 199262, le triple sono esattamente tre, quindi è possibile che quelle note siano le uniche.
Nel 2014 José María Grau, Antonio M. Ollen-Marcén e Jonathan Sondow dimostrarono che il massimo insieme di numeri primi p tali che p – 1 non sia multiplo di un quadrato e tutti i divisori di p – 1 appartengano all’insieme è { 2, 3, 7, 43 } e che gli unici interi non multipli di quadrati, tali che per ogni primo p che li divide anche p – 1 li divida sono 1, 2, 6, 42 e 1806.
Erdös dimostrò nel 1950 che esistono progressioni aritmetiche di numeri dispari, nessuno dei quali ha la forma 2n + p con p primo; di conseguenza esistono infiniti primi non rappresentabili come 2n + p con p primo (v. numeri di de Polignac).
Erdös dimostrò inoltre che se k = 3728270m + 172677, tutti i valori di k – 2n sono multipli di uno dei primi 3, 5, 7, 13, 17, o 241, quindi composti.
Se pk = 2a – 1 con p primo, k = 1 e p è un primo di Mersenne.
Se pk = 2aqb – 1 con p e q primi dispari e k > 1, k ≡ 1 mod 2q e k è pari oppure p è un primo di Mersenne; di conseguenza q non può essere 3.
V. anche primi uguali a somme di potenze e primi vicini a potenze.