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Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Sono state compiute numerose ricerche su primi di forme particolari.

 

an – 1 può essere primo per n > 1 solo se a = 2 e n è primo (v. primi di Mersenne).

 

an + 1 può essere primo per n > 1 solo se a = 1 oppure a è pari e n è una potenza di 2 (v. numeri di Fermat generalizzati).

 

Per primi della forma nm ± k v. primi vicini a potenze.

 

L’unico primo noto della forma n10n + n + 1 si ottiene per n = 42.

 

Sono noti solo 6 primi della forma nn + n + 1, per n = 1, 2, 3, 6, 9 e 462; se ve ne sono altri, n è maggiore di 10000 (Farideh Firoozbakht, 2006).

 

Sono noti solo 8 primi della forma nn + n – 1, per n = 2, 3, 19, 30, 535, 1551, 7069, 8508; se ve ne sono altri, n è maggiore di 16100 (Hugo Pfoertner, 2020).

 

Un numero primo può essere differenza di potenze di primi con ugual esponente solo se è della forma 3n – 2n con n primo; questo accade per n = 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503 e nessun altro valore inferiore: i valori superiori a 2833 corrispondono a numeri che sono solo “molto probabilmente” primi (Mike Oakes, Robert G. Wilson V., The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Quindi l’unico primo che sia differenza di quadrati di due primi è 5 = 32 – 22, l’unico primo che sia differenza di cubi di due primi è 19 = 33 – 23 ecc..

 

L’unico primo noto della forma (n! / n# + 1) / n è 1571, per n = 11.

 

Paul T. Bateman e Rosemarie M. Stemmler dimostrarono che per n abbastanza grande il numero di primi minori di n della forma con p primo, tra i quali i primi di Fermat, non supera ; in tali casi inoltre r dev’essere una potenza di un primo qm e d dev’essere il massimo divisore di r, minore di r. 3, 5, 7, 13, 17, 31, 31, 73, 127, 307, 757

 

Il problema di Honaker consiste nel trovare tre primi consecutivi p q, e r, tali che p divida qr + 1. Le uniche triple del genere note sono (2, 3, 5), (3, 5, 7) e (61, 67, 71). C.K Caldwell e Y. Cheng dimostrarono nel 2005 che non ve ne sono altre con p < 2 • 1017.

La congettura di Cramér – Granville implica che tali triple siano finite e se la costante c della congettura è minore di 199262, le triple sono esattamente tre, quindi è possibile che quelle note siano le uniche.

 

Nel 2014 José María Grau, Antonio M. Ollen-Marcén e Jonathan Sondow dimostrarono che il massimo insieme di numeri primi p tali che p – 1 non sia multiplo di un quadrato e tutti i divisori di p – 1 appartengano all’insieme è { 2, 3, 7, 43 } e che gli unici interi non multipli di quadrati, tali che per ogni primo p che li divide anche p – 1 li divida sono 1, 2, 6, 42 e 1806.

 

Erdös dimostrò nel 1950 che esistono progressioni aritmetiche di numeri dispari, nessuno dei quali ha la forma 2n + p con p primo; di conseguenza esistono infiniti primi non rappresentabili come 2n + p con p primo (v. numeri di de Polignac).

Erdös dimostrò inoltre che se k = 3728270m + 172677, tutti i valori di k – 2n sono multipli di uno dei primi 3, 5, 7, 13, 17, o 241, quindi composti.

 

Se pk = 2a – 1 con p primo, k = 1 e p è un primo di Mersenne.

 

Se pk = 2aqb – 1 con p e q primi dispari e k > 1, k ≡ 1 mod 2q e k è pari oppure p è un primo di Mersenne; di conseguenza q non può essere 3.

 

V. anche primi uguali a somme di potenze e primi vicini a potenze.

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