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Primi (numeri)

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La caccia a numeri primi sempre maggiori è diventata nei secoli una specie di sfida tra matematici, impegnati a strapparsi il record, sia per il massimo primo, sia per il massimo di qualche particolare categoria.

La seguente tabella riporta il record successivi del più grande numero primo noto.

Numero	Cifre	Anno	Scopritore	Metodo
2¹⁷ – 1	6	1588	Cataldi	Divisioni successive
2¹⁹ – 1	6	1588	Cataldi	Divisioni successive
2³¹ – 1	10	1750	Eulero	Divisioni selettive
	13	1867	Landry	Divisioni selettive
2¹²⁷ – 1	39	1876	Lucas	Lucas
	44	1951	Ferrier	Teorema di Proth
180(2¹²⁷ – 1)² + 1	79	1951	Miller e Wheeler	Teorema di Proth
2⁵²¹ – 1	157	1952	Robinson	Lucas – Lehmer
2⁶⁰⁷ – 1	183	1952	Robinson	Lucas – Lehmer
2¹²⁷⁹ – 1	386	1952	Robinson	Lucas – Lehmer
2²²⁰³ – 1	664	1952	Robinson	Lucas – Lehmer
2²²⁸¹ – 1	687	1952	Robinson	Lucas – Lehmer
2³²⁷¹ – 1	969	1957	Riesel	Lucas – Lehmer
2⁴²⁵³ – 1	1332	1961	Hurwitz	Lucas – Lehmer
2⁴⁴²³ – 1	1332	1961	Hurwitz	Lucas – Lehmer
2⁹⁶⁸⁹ – 1	2917	1963	Gillies	Lucas – Lehmer
2⁹⁹⁴¹ – 1	2993	1963	Gillies	Lucas – Lehmer
2¹¹²¹³ – 1	3376	1963	Gillies	Lucas – Lehmer
2¹⁹⁹³⁷ – 1	6002	1971	Tuckerman	Lucas – Lehmer
2²¹⁷⁰¹ – 1	6533	1978	Noll & Nickel	Lucas – Lehmer
2²³²⁰⁹ – 1	6987	1979	Noll	Lucas – Lehmer
2⁴⁴⁴⁹⁷ – 1	13395	1979	Nelson & Slowinski	Lucas – Lehmer
2⁸⁶²⁴³ – 1	25962	1982	Slowinski	Lucas – Lehmer
2¹³²⁰⁴⁹ – 1	39751	1983	Slowinski	Lucas – Lehmer
2²¹⁶⁰⁹¹ – 1	65050	1985	Slowinski	Lucas – Lehmer
391581 • 2²¹⁶¹⁹³ – 1	65087	1989	Brown, Noll, Parady, Smith, Smith e Zarantonello	Lucas – Lehmer
2⁷⁵⁶⁸³⁹ – 1	227832	1992	Slowinski e Gage	Lucas – Lehmer
2⁸⁵⁹⁴³³ – 1	258716	1994	Slowinski e Gage	Lucas – Lehmer
2^1257787 – 1	378632	1996	Slowinski e Gage	Lucas – Lehmer
2^1398269 – 1	420921	1996	Armengaud, (GIMPS).	Lucas – Lehmer
2^2976221 – 1	895932	1997	Spence (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^3021377 – 1	909526	1998	Clarckson (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^6972593 – 1	2098960	1999	Hajratwala (GIMPS).	Lucas – Lehmer
2^13466917 – 1	4053946	2001	Cameron (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^20996011 – 1	6320430	2003	Shafer (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^24036583 – 1	7235733	2004	Findley (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^25964951 – 1	7816230	2004	Novak (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^30402457 – 1	9152052	2005	Curtis Cooper e Steven Boone (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^32582657 – 1	9808358	2006	Curtis Cooper e Steven Boone (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^37156667 – 1	11185272	2008	Hans-Michael Elvenich (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^43112609 – 1	12978189	2008	Edson Smith (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^57885161 – 1	17425170	2013	Curtis Cooper (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^74207281 – 1	22338617	2016	Curtis Cooper (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^77232917 – 1	23249425	2017	Curtis Cooper (GIMPS)	Lucas – Lehmer
2^82589933 – 1	24862048	2018	Patrick Laroche (GIMPS)	Lucas – Lehmer

Il record di Lucas fu l’ultimo stabilito lavorando a mano.

Il record di Ferrier venne stabilito con una calcolatrice meccanica; è il record per il massimo primo dimostrato tale senza l’aiuto di un elaboratore elettronico ed è estremamente improbabile che qualcuno avrà mai la pazienza di tentare di batterlo. I record successivi sono stati tutti stabiliti con elaboratori elettronici.

Il record di Miller e Wheeler fu il primo stabilito utilizzando un elaboratore elettronico; da allora i record sono sempre stati stabiliti grazie a macchine sempre più sofisticate e ritengo lo stesso varrà nel futuro, perché anche se si trovasse un metodo relativamente semplice per stabilire se i numeri di una qualche categoria sono primi, con ogni probabilità l’attuazione del metodo richiederà comunque risorse di calcolo automatico: è impensabile anche solo scrivere manualmente un numero di decine di milioni di cifre.

Gli ultimi sedici sono stati scoperti da un progetto che ha coinvolto i calcolatori di centinaia di persone in una ricerca distribuita sulla rete.

I massimi numeri non di Mersenne dimostrati primi sono:

302627325 • 2⁵³⁰¹⁰¹ + 1, che ha 159585 cifre, trovato da R. Burrowes, P. Jobling e Y. Gallot nel 1999;
19249 • 2^13018586 + 1, che ha 3918990 cifre, trovato da K. Agafonov nel 2007.

Il massimo primo noto che non sia di una forma particolare, che permetta verifiche di primalità particolarmente efficienti è 392113# + 1 (D. Heuer, 2001) con 169966 cifre.

Il massimo primo noto della forma n3^k + 1 è 2 • 3¹³⁷⁸² + 1, che ha 6576 cifre.

Il massimo primo noto della forma n10^k + 1 è 134088 • 10¹⁵⁰³⁰ + 1, che ha 15036 cifre.

Come si vede, solo 4 volte dalla fine del Medioevo (in colore nella tabella precedente) primi che non siano primi di Mersenne sono stati, sia pur per breve tempo, i più grandi numeri primi noti. Fino al XVIII secolo il motivo era principalmente che i numeri di Mersenne e di Fermat sono famosi e affascinano i matematici, molto più di numeri relativamente “anonimi”. In seguito il motivo principale è stata l’efficienza del test di Lucas – Lehmer, che permette di stabilire se un numero di Mersenne è primo in numero di passi proporzionale al logaritmo del numero; per primi generici si devono usare altri metodi, che richiedono un numero di operazioni che aumentano molto più velocemente al crescere del numero. A parità di tempo impiegato e operazioni svolte, quindi si riesce a dimostrare la primalità di numeri di Mersenne molto maggiori.

Da notare che mentre 2¹⁹ – 1 detenne il record per quasi due secoli e 2¹²⁷ – 1 per 75 anni, in epoca recente il record viene battuto ogni pochi anni e talvolta persino più volte in un anno.

Tabelle numeriche

Il minimo primo seguito da una sequenza di esattamente n numeri composti consecutivi, per n fino a 1997,
I valori della somma su tutti i primi di 1 / (pⁿ * log(p)) per n da 1 a 80,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p + 1)) per n da 1 a 5,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p – 1)) per n da 1 a 4,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p² – 1)) per n da 0 a 2,
I primi che hanno le somme delle cifre, dei loro quadrati, dei cubi e delle potenze successive prime, fino a 10⁶ per i cubi, fino a 10⁷ per i biquadrati e le quinte potenze, fino a 10⁸ per le seste e settime potenze, fino a 10⁹ per tutte le potenze con esponenti superiori.

Vedi anche

Congetture di Zhi-Wei Sun, Congetture sui numeri primi, Costante dei numeri primi, Costante di Magata, Costante di Mertens, Funzione P, Funzione π, Numeri composti, Numeri dell’apocalisse, Numeri di de Polignac, Numero di Skewes, Primoriali, Radicali continui.

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