Indice
- 1. Pagina principale
- 2. Proprietà
- 3. Distribuzione dei numeri primi
- 4. Differenze tra primi consecutivi
- 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
- 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
- 7. Funzioni che producono numeri primi
- 8. Esami di primalità
- 9. Tabelle di primi
- 10. Grandi primi
- 11. Primi di forme particolari
- 12. Somme che coinvolgono numeri primi
- 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
- 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
- 15. Proprietà basate sulle cifre
- 16. Categorie di primi
La caccia a numeri primi sempre maggiori è diventata nei secoli una specie di sfida tra matematici, impegnati a strapparsi il record, sia per il massimo primo, sia per il massimo di qualche particolare categoria.
La seguente tabella riporta il record successivi del più grande numero primo noto.
Numero |
Cifre |
Anno |
Scopritore |
Metodo |
217 – 1 |
6 |
1588 |
Cataldi |
Divisioni successive |
219 – 1 |
6 |
1588 |
Cataldi |
Divisioni successive |
231 – 1 |
10 |
1750 |
Eulero |
Divisioni selettive |
|
13 |
1867 |
Landry |
Divisioni selettive |
2127 – 1 |
39 |
1876 |
Lucas |
Lucas |
|
44 |
1951 |
Ferrier |
Teorema di Proth |
180(2127 – 1)2 + 1 |
79 |
1951 |
Miller e Wheeler |
Teorema di Proth |
2521 – 1 |
157 |
1952 |
Robinson |
Lucas – Lehmer |
2607 – 1 |
183 |
1952 |
Robinson |
Lucas – Lehmer |
21279 – 1 |
386 |
1952 |
Robinson |
Lucas – Lehmer |
22203 – 1 |
664 |
1952 |
Robinson |
Lucas – Lehmer |
22281 – 1 |
687 |
1952 |
Robinson |
Lucas – Lehmer |
23271 – 1 |
969 |
1957 |
Riesel |
Lucas – Lehmer |
24253 – 1 |
1332 |
1961 |
Hurwitz |
Lucas – Lehmer |
24423 – 1 |
1332 |
1961 |
Hurwitz |
Lucas – Lehmer |
29689 – 1 |
2917 |
1963 |
Gillies |
Lucas – Lehmer |
29941 – 1 |
2993 |
1963 |
Gillies |
Lucas – Lehmer |
211213 – 1 |
3376 |
1963 |
Gillies |
Lucas – Lehmer |
219937 – 1 |
6002 |
1971 |
Tuckerman |
Lucas – Lehmer |
221701 – 1 |
6533 |
1978 |
Noll & Nickel |
Lucas – Lehmer |
223209 – 1 |
6987 |
1979 |
Noll |
Lucas – Lehmer |
244497 – 1 |
13395 |
1979 |
Nelson & Slowinski |
Lucas – Lehmer |
286243 – 1 |
25962 |
1982 |
Slowinski |
Lucas – Lehmer |
2132049 – 1 |
39751 |
1983 |
Slowinski |
Lucas – Lehmer |
2216091 – 1 |
65050 |
1985 |
Slowinski |
Lucas – Lehmer |
391581 • 2216193 – 1 |
65087 |
1989 |
Brown, Noll, Parady, Smith, Smith e Zarantonello |
Lucas – Lehmer |
2756839 – 1 |
227832 |
1992 |
Slowinski e Gage |
Lucas – Lehmer |
2859433 – 1 |
258716 |
1994 |
Slowinski e Gage |
Lucas – Lehmer |
21257787 – 1 |
378632 |
1996 |
Slowinski e Gage |
Lucas – Lehmer |
21398269 – 1 |
420921 |
1996 |
Armengaud, (GIMPS). |
Lucas – Lehmer |
22976221 – 1 |
895932 |
1997 |
Spence (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
23021377 – 1 |
909526 |
1998 |
Clarckson (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
26972593 – 1 |
2098960 |
1999 |
Hajratwala (GIMPS). |
Lucas – Lehmer |
213466917 – 1 |
4053946 |
2001 |
Cameron (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
220996011 – 1 |
6320430 |
2003 |
Shafer (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
224036583 – 1 |
7235733 |
2004 |
Findley (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
225964951 – 1 |
7816230 |
2004 |
Novak (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
230402457 – 1 |
9152052 |
2005 |
Curtis Cooper e Steven Boone (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
232582657 – 1 |
9808358 |
2006 |
Curtis Cooper e Steven Boone (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
237156667 – 1 |
11185272 |
2008 |
Hans-Michael Elvenich (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
243112609 – 1 |
12978189 |
2008 |
Edson Smith (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
257885161 – 1 |
17425170 |
2013 |
Curtis Cooper (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
274207281 – 1 |
22338617 |
2016 |
Curtis Cooper (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
277232917 – 1 |
23249425 |
2017 |
Curtis Cooper (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
282589933 – 1 |
24862048 |
2018 |
Patrick Laroche (GIMPS) |
Lucas – Lehmer |
Il record di Lucas fu l’ultimo stabilito lavorando a mano.
Il record di Ferrier venne stabilito con una calcolatrice meccanica; è il record per il massimo primo dimostrato tale senza l’aiuto di un elaboratore elettronico ed è estremamente improbabile che qualcuno avrà mai la pazienza di tentare di batterlo. I record successivi sono stati tutti stabiliti con elaboratori elettronici.
Il record di Miller e Wheeler fu il primo stabilito utilizzando un elaboratore elettronico; da allora i record sono sempre stati stabiliti grazie a macchine sempre più sofisticate e ritengo lo stesso varrà nel futuro, perché anche se si trovasse un metodo relativamente semplice per stabilire se i numeri di una qualche categoria sono primi, con ogni probabilità l’attuazione del metodo richiederà comunque risorse di calcolo automatico: è impensabile anche solo scrivere manualmente un numero di decine di milioni di cifre.
Gli ultimi sedici sono stati scoperti da un progetto che ha coinvolto i calcolatori di centinaia di persone in una ricerca distribuita sulla rete.
I massimi numeri non di Mersenne dimostrati primi sono:
-
302627325 • 2530101 + 1, che ha 159585 cifre, trovato da R. Burrowes, P. Jobling e Y. Gallot nel 1999;
-
19249 • 213018586 + 1, che ha 3918990 cifre, trovato da K. Agafonov nel 2007.
Il massimo primo noto che non sia di una forma particolare, che permetta verifiche di primalità particolarmente efficienti è 392113# + 1 (D. Heuer, 2001) con 169966 cifre.
Il massimo primo noto della forma n3k + 1 è 2 • 313782 + 1, che ha 6576 cifre.
Il massimo primo noto della forma n10k + 1 è 134088 • 1015030 + 1, che ha 15036 cifre.
Come si vede, solo 4 volte dalla fine del Medioevo (in colore nella tabella precedente) primi che non siano primi di Mersenne sono stati, sia pur per breve tempo, i più grandi numeri primi noti. Fino al XVIII secolo il motivo era principalmente che i numeri di Mersenne e di Fermat sono famosi e affascinano i matematici, molto più di numeri relativamente “anonimi”. In seguito il motivo principale è stata l’efficienza del test di Lucas – Lehmer, che permette di stabilire se un numero di Mersenne è primo in numero di passi proporzionale al logaritmo del numero; per primi generici si devono usare altri metodi, che richiedono un numero di operazioni che aumentano molto più velocemente al crescere del numero. A parità di tempo impiegato e operazioni svolte, quindi si riesce a dimostrare la primalità di numeri di Mersenne molto maggiori.
Da notare che mentre 219 – 1 detenne il record per quasi due secoli e 2127 – 1 per 75 anni, in epoca recente il record viene battuto ogni pochi anni e talvolta persino più volte in un anno.