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Primi (numeri)

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Dirichlet dimostrò nel 1837 che ogni progressione aritmetica del tipo ak + b con MCD(a, b) = 1 contiene infiniti primi. Resta però da determinare quanto possa essere grande il minimo primo di una progressione del genere e quanti primi minori di un numero fissato ci si debba aspettare.

Supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, Y. Lamzouri, X. Li e K. Soundararajan dimostrarono nel 2015 che il minimo primo in una progressione aritmetica del tipo ak + b non supera φ(a)²log²a.

I primi minori di n in una progressione del tipo ak + b non superano Numero di primi minori di n in una progressione aritmetica del tipo an + b , per una costante C.

De la Vallée Poussin dimostrò che il numero di tali primi minori di n tende a Limite cui tende il numero di primi minori di n in una progressione aritmetica del tipo an + b .

Dato che b non compare nelle formule, il numero di primi prodotti dalla progressione è asintoticamente uguale per ogni valore di b, ma questo sembrava contrastare l’evidenza sperimentale: già Tschebycheff aveva notato nel 1853 che sembrano esserci più primi della forma 3n + 2 che della forma 3n + 1 e più primi della forma 4n + 3 che della forma 4n + 1, per piccoli valori di n. Questo dipendeva però solo dal fatto che, come altri prima e dopo di lui, aveva osservato un intervallo piuttosto limitato di numeri.

J.E. Littlewood dimostrò nel 1914 che i primi delle varie forme si alternano infinite volte alla testa della corsa.

Nel 1957 Leech notò che a partire da 26861 i primi della forma 4n + 1 sono più numerosi, poi i primi della forma 4n + 3 riguadagnano la testa fino a 616841, poi si ha un pareggio a 617472 e così via.

M. Rubinstein e P. Sarnak però dimostrarono nel 1994 che i primi di una categoria sono più spesso in testa degli altri.

Cartery Bays e Richard H. Hudson calcolarono nel giorno di Natale 1976 (forse l’unico giorno nel quale avevano a disposizione il tempo macchina necessario), che i primi della forma 3n + 1 diventano i più numerosi per la prima volta tra 608981813029 e 610968213796 in due intervalli, ciascuno contenente più di 150 milioni di interi.

Nel 1920 Chowla propose la congettura che per a > 2 e MCD(a, b) = 1 esistano infinite coppie di primi consecutivi della forma an + b.

Nel 2001 D.K.L. Shiu dimostrò una notevole estensione del teorema di Dirichlet, che conferma ed estende la congettura di Chowla: esistono sequenze lunghe a piacere di primi consecutivi della forma an + b, con a e b primi tra loro.

La tabella seguente mostra le prime occorrenze di sequenze di almeno k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Don Reble, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k	4n + 1	4n + 3	6n + 1	6n + 5
1	5	3	7	5
2	13	7	31	23
3	89	199	151	47
4	389	199	1741	251
5	2593	463	1741	1889
6	11593	463	1741	7793
7	11593	463	19471	43451
8	11593	36551	118801	243161
9	11593	39607	148531	726893
10	373649	183091	148531	759821
11	766261	241603	406951	1820111
12	3358169	241603	2339041	1820111
13	12204889	241603	2339041	10141499
14	12270077	9177431	51662593	19725473
15	12270077	9177431	51662593	19725473
16	12270077	95949311	73451737	136209239
17	297387757	105639091	232301497	400414121
18	297779117	341118307	450988159	400414121
19	297779117	727334879	1444257673	489144599
20	1113443017	727334879	1444257673	489144599
21	1113443017	1786054147	1444257673	766319189
22	1113443017	1786054147	24061965043	766319189
23	1113443017	22964264027	24061965043	21549657539
24	1113443017	54870713243	43553959717	21549657539
25	84676452781	79263248027	43553959717	21549657539
26	84676452781	113391385603	502429570231	140432294381
27	689101181569	113391385603	1552841185921	140432294381
28	689101181569	113391385603	1552841185921	437339303279
29	689101181569	113391385603	1552841185921	1871100711071
30	3278744415797	113391385603	1552841185921	3258583681877
31	3278744415797	113391385603	1552841185921	5611314737339
32	3278744415797	113391385603	72766002003139	24738041398529
33	3278744415797	24001161040531	82817943587341	41173225034771
34		284727926647627	82817943587341	41173225034771
35		363099014864711	275604952420573	41173225034771

Le tabelle seguenti mostrano le prime occorrenze di sequenze di esattamente k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Labos Elemer, Reiner Martin, Hugo Pfoertner, Herman Jamke, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k	4n + 1	4n + 3	6n + 1	6n + 5
1	5	3	7	5
2	13	7	31	23
3	89	739	151	47
4	389	199	3049	251
5	2593	883	7351	1889
6	12401	13127	1741	7793
7	77069	463	19471	43451
8	262897	36551	118801	243161
9	11593	39607	498259	726893
10	373649	183091	148531	759821
11	766261	4468903	406951	2280857
12	3358169	6419299	2513803	1820111
13	12204889	241603	2339041	10141499
14	18256561	11739307	89089369	40727657
15	23048897	9177431	51662593	19725473
16	12270077	95949311	73451737	136209239
17	297387757	105639091	232301497	744771077
18	310523021	341118307	450988159	400414121
19	297779117	1800380579	1558562197	1057859471
20	3670889597	727334879	2506152301	489144599
21	5344989829	9449915743	1444257673	13160911739
22	1481666377	1786054147	28265029657	766319189
23	2572421893	22964264027	24061965043	38451670931
24	1113443017	54870713243	87996684091	119618704427
25	121117598053	79263248027	43553959717	21549657539
26	84676452781	454648144571	502429570231	141116164769
27	790457451349	722204126767	1820249525317	140432294381
28	3498519134533	1749300591127	1892672756731	437339303279
29	689101181569	5070807638111	4236406530997	1871100711071
30	3289884073409	8858854801319	2155866992887	3258583681877
31		6425403612031	1552841185921	5611314737339
32		113391385603	72766002003139	24738041398529
33	3278744415797		271871440800943	106467884271767
34			82817943587341	241865704894727
35			275604952420573	41173225034771

k	7n + 1	7n + 2	7n + 3	7n + 4	7n + 5	7n + 6
1	29	2	3	11	5	13
2	113	317	773	3833	2357	293
3	37997	27197	5939	13339	106979	53731
4	575261	158867	341687	621527	637201	709547
5	12089267	894287	2617429	6760009	2809889	2993171
6	16292389	12883313	6996307	99641903	50503213	361718083
7	9984437	28648489	1232089337	49297819	345638333	279470351
8	1523792929	2428644899	4130894953	887048411	8295635297	3194228239
9	72027611573	62425749731	84834279799	137875952281	45914196389	19417691299
10	469100516641	288991234079	595178892367	208220255429	73838834753	314183482199
11	7384176068963	201133988723	49722411511	3400274815627	3313036899877	2955453870529
12			2016473757721

k	8n + 1	8n + 3	8n + 5	8n + 7
1	17	3	5	7
2	89	491	389	359
3	2593	2243	2213	1823
4	20809	42299	45013	79063
5	208393	274123	73133	272863
6	2663897	4701443	1319861	989647
7	7336457	4310083	3250469	12955687
8	128910097	9065867	29662253	10604519
9	42453937	547580443	35677501	1062619847
10	1506473153	1885434347	101341613	309202951
11	24771906961	8674616939	13576124357	1383423311
12	123737745289	11312238283	12664911341	21120585463
13	201975758113	19201563659	124809839701	848540003159
14	152368449001	619849118491	132932904029	714231497663
15	4990160038937	4056100954547	1181960064853	534956098463
16				925195153703

k	9n + 1	9n + 2	9n + 4	9n + 5	9n + 7	9n + 8
1	19	2	13	5	7	17
2	523	5483	1381	1913	1069	1259
3	15823	25373	78241	20183	56131	22193
4	655453	182243	107509	74453	76543	132893
5	19256491	8606603	5321191	12859961	32820883	24143993
6	24084793	5379113	89121073	131695853	39874273	166539707
7	303392377	1734847733	561940843	18410243	399481171	285688421
8	3408167431	12196390601	1324001281	1248749069	716230591	881160173
9	17875882441	17619405959	34344033133	147779659553	10930792111	41142907853
10	179445819277	213529133423	1209605011789	435916100219	168445529647	283892437529
11	1563518842687	2732797330031	3877795268653	2113591441739	1379581580653	2133943155503
12					4016465016163

k	10n + 1	10n + 3	10n + 7	10n + 9
1	11	3	7	19
2	181	283	337	139
3	4831	6793	1627	3089
4	22501	22963	57427	18839
5	216401	752023	192637	123229
6	2229971	2707163	776257	2134519
7	3873011	58339093	15328637	12130109
8	91335901	44923183	70275277	23884639
9	36539311	961129823	244650317	363289219
10	196943081	1147752443	4075366567	9568590299
11	14293856441	6879806623	452942827	24037796539
12	363373386721	131145172583	73712513057	130426565719
13	381206903941	177746482483	319931193737	405033487139
14	154351758091	795537219143	2618698284817	3553144754209
15		4028596340953		4010803176619
16		6987191424553

k	11n + 1	11n + 2	11n + 3	11n + 4	11n + 5
1	23	2	3	37	5
2	2311	10111	6427	1951	2557
3	452453	1066067	1503967	1023653	259033
4	5442361	2078221	52636411	11488261	6402181
5	2880836267	1322239547	145255861	396185431	236298529
6	4436243989	9429065747	12933776221	16535952019	13930111453
7	56675840497	55612826029	44742288583	195520526821	85272006649
8	1901256504247	4524017321287	4995900592103	9570670849997	1825518960479
9					3917068823123

k	11n + 6	11n + 7	11n + 8	11n + 9	11n + 10
1	17	7	19	31	43
2	3229	1129	15683	8017	3739
3	674603	444187	376307	466651	846757
4	13906261	24780961	1736281	12202507	16601881
5	222022037	258318287	140369941	222838097	267746797
6	11087576671	10550203099	1180181747	9725254999	6285546277
7	90331649557	81795872209	272006616241	288595010317	94043028529
8		492755092111	1204047928861	2217422600941	1328517155569
9			4682876776597

k	12n + 1	12n + 7	12n + 7	12n + 11
1	13	5	7	11
2	661	509	619	467
3	8317	4397	199	1499
4	12829	42509	32443	16763
5	586153	657197	407023	260339
6	1081417	647417	180799	2003387
7	10793941	1248869	4338787	7722419
8	7790917	13175609	84885631	20221283
9	682829881	234946997	472798219	927161471
10	1921572157	1039154933	1786054267	4284484931
11	370861009	7114719473	6024282871	7355362139
12	5637496849	183420597029	64791932287	84805717127
13	289391626057	32021552837	592175010019	478527373859
14	469257742237	1237381737257	6265824724519	2046207697631
15	628337233501	5760582040217	7816088451907	7302359785151
16		9194779588901
17		2904797643617

I primi consecutivi della forma 3n + 1 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 1.

I primi consecutivi della forma 3n + 2 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 5, tranne 2.

Tabelle numeriche

Il minimo primo seguito da una sequenza di esattamente n numeri composti consecutivi, per n fino a 1997,
I valori della somma su tutti i primi di 1 / (pⁿ * log(p)) per n da 1 a 80,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p + 1)) per n da 1 a 5,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p – 1)) per n da 1 a 4,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p² – 1)) per n da 0 a 2,
I primi che hanno le somme delle cifre, dei loro quadrati, dei cubi e delle potenze successive prime, fino a 10⁶ per i cubi, fino a 10⁷ per i biquadrati e le quinte potenze, fino a 10⁸ per le seste e settime potenze, fino a 10⁹ per tutte le potenze con esponenti superiori.

Vedi anche

Congetture di Zhi-Wei Sun, Congetture sui numeri primi, Costante dei numeri primi, Costante di Magata, Costante di Mertens, Funzione P, Funzione P^(μ)_k(z), Funzione P_k, Funzione π, Numeri composti, Numeri dell’apocalisse, Numeri di de Polignac, Numero di Skewes, Primoriali, Radicali continui.

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