Indice
- 1. Pagina principale
- 2. Proprietà
- 3. Distribuzione dei numeri primi
- 4. Differenze tra primi consecutivi
- 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
- 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
- 7. Funzioni che producono numeri primi
- 8. Esami di primalità
- 9. Tabelle di primi
- 10. Grandi primi
- 11. Primi di forme particolari
- 12. Somme che coinvolgono numeri primi
- 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
- 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
- 15. Proprietà basate sulle cifre
- 16. Categorie di primi
Dirichlet dimostrò nel 1837 che ogni progressione aritmetica del tipo ak + b con MCD(a, b) = 1 contiene infiniti primi. Resta però da determinare quanto possa essere grande il minimo primo di una progressione del genere e quanti primi minori di un numero fissato ci si debba aspettare.
Supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, Y. Lamzouri, X. Li e K. Soundararajan dimostrarono nel 2015 che il minimo primo in una progressione aritmetica del tipo ak + b non supera φ(a)2log2a.
I primi minori di n in una progressione del tipo ak + b non superano , per una costante C.
De la Vallée Poussin dimostrò che il numero di tali primi minori di n tende a .
Dato che b non compare nelle formule, il numero di primi prodotti dalla progressione è asintoticamente uguale per ogni valore di b, ma questo sembrava contrastare l’evidenza sperimentale: già Tschebycheff aveva notato nel 1853 che sembrano esserci più primi della forma 3n + 2 che della forma 3n + 1 e più primi della forma 4n + 3 che della forma 4n + 1, per piccoli valori di n. Questo dipendeva però solo dal fatto che, come altri prima e dopo di lui, aveva osservato un intervallo piuttosto limitato di numeri.
J.E. Littlewood dimostrò nel 1914 che i primi delle varie forme si alternano infinite volte alla testa della corsa.
Nel 1957 Leech notò che a partire da 26861 i primi della forma 4n + 1 sono più numerosi, poi i primi della forma 4n + 3 riguadagnano la testa fino a 616841, poi si ha un pareggio a 617472 e così via.
M. Rubinstein e P. Sarnak però dimostrarono nel 1994 che i primi di una categoria sono più spesso in testa degli altri.
Cartery Bays e Richard H. Hudson calcolarono nel giorno di Natale 1976 (forse l’unico giorno nel quale avevano a disposizione il tempo macchina necessario), che i primi della forma 3n + 1 diventano i più numerosi per la prima volta tra 608981813029 e 610968213796 in due intervalli, ciascuno contenente più di 150 milioni di interi.
Nel 1920 Chowla propose la congettura che per a > 2 e MCD(a, b) = 1 esistano infinite coppie di primi consecutivi della forma an + b.
Nel 2001 D.K.L. Shiu dimostrò una notevole estensione del teorema di Dirichlet, che conferma ed estende la congettura di Chowla: esistono sequenze lunghe a piacere di primi consecutivi della forma an + b, con a e b primi tra loro.
La tabella seguente mostra le prime occorrenze di sequenze di almeno k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Don Reble, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
k |
4n + 1 |
4n + 3 |
6n + 1 |
6n + 5 |
1 |
5 |
3 |
7 |
5 |
2 |
13 |
7 |
31 |
23 |
3 |
89 |
199 |
151 |
47 |
4 |
389 |
199 |
1741 |
251 |
5 |
2593 |
463 |
1741 |
1889 |
6 |
11593 |
463 |
1741 |
7793 |
7 |
11593 |
463 |
19471 |
43451 |
8 |
11593 |
36551 |
118801 |
243161 |
9 |
11593 |
39607 |
148531 |
726893 |
10 |
373649 |
183091 |
148531 |
759821 |
11 |
766261 |
241603 |
406951 |
1820111 |
12 |
3358169 |
241603 |
2339041 |
1820111 |
13 |
12204889 |
241603 |
2339041 |
10141499 |
14 |
12270077 |
9177431 |
51662593 |
19725473 |
15 |
12270077 |
9177431 |
51662593 |
19725473 |
16 |
12270077 |
95949311 |
73451737 |
136209239 |
17 |
297387757 |
105639091 |
232301497 |
400414121 |
18 |
297779117 |
341118307 |
450988159 |
400414121 |
19 |
297779117 |
727334879 |
1444257673 |
489144599 |
20 |
1113443017 |
727334879 |
1444257673 |
489144599 |
21 |
1113443017 |
1786054147 |
1444257673 |
766319189 |
22 |
1113443017 |
1786054147 |
24061965043 |
766319189 |
23 |
1113443017 |
22964264027 |
24061965043 |
21549657539 |
24 |
1113443017 |
54870713243 |
43553959717 |
21549657539 |
25 |
84676452781 |
79263248027 |
43553959717 |
21549657539 |
26 |
84676452781 |
113391385603 |
502429570231 |
140432294381 |
27 |
689101181569 |
113391385603 |
1552841185921 |
140432294381 |
28 |
689101181569 |
113391385603 |
1552841185921 |
437339303279 |
29 |
689101181569 |
113391385603 |
1552841185921 |
1871100711071 |
30 |
3278744415797 |
113391385603 |
1552841185921 |
3258583681877 |
31 |
3278744415797 |
113391385603 |
1552841185921 |
5611314737339 |
32 |
3278744415797 |
113391385603 |
72766002003139 |
24738041398529 |
33 |
3278744415797 |
24001161040531 |
82817943587341 |
41173225034771 |
34 |
|
284727926647627 |
82817943587341 |
41173225034771 |
35 |
|
363099014864711 |
275604952420573 |
41173225034771 |
Le tabelle seguenti mostrano le prime occorrenze di sequenze di esattamente k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Labos Elemer, Reiner Martin, Hugo Pfoertner, Herman Jamke, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
k |
4n + 1 |
4n + 3 |
6n + 1 |
6n + 5 |
1 |
5 |
3 |
7 |
5 |
2 |
13 |
7 |
31 |
23 |
3 |
89 |
739 |
151 |
47 |
4 |
389 |
199 |
3049 |
251 |
5 |
2593 |
883 |
7351 |
1889 |
6 |
12401 |
13127 |
1741 |
7793 |
7 |
77069 |
463 |
19471 |
43451 |
8 |
262897 |
36551 |
118801 |
243161 |
9 |
11593 |
39607 |
498259 |
726893 |
10 |
373649 |
183091 |
148531 |
759821 |
11 |
766261 |
4468903 |
406951 |
2280857 |
12 |
3358169 |
6419299 |
2513803 |
1820111 |
13 |
12204889 |
241603 |
2339041 |
10141499 |
14 |
18256561 |
11739307 |
89089369 |
40727657 |
15 |
23048897 |
9177431 |
51662593 |
19725473 |
16 |
12270077 |
95949311 |
73451737 |
136209239 |
17 |
297387757 |
105639091 |
232301497 |
744771077 |
18 |
310523021 |
341118307 |
450988159 |
400414121 |
19 |
297779117 |
1800380579 |
1558562197 |
1057859471 |
20 |
3670889597 |
727334879 |
2506152301 |
489144599 |
21 |
5344989829 |
9449915743 |
1444257673 |
13160911739 |
22 |
1481666377 |
1786054147 |
28265029657 |
766319189 |
23 |
2572421893 |
22964264027 |
24061965043 |
38451670931 |
24 |
1113443017 |
54870713243 |
87996684091 |
119618704427 |
25 |
121117598053 |
79263248027 |
43553959717 |
21549657539 |
26 |
84676452781 |
454648144571 |
502429570231 |
141116164769 |
27 |
790457451349 |
722204126767 |
1820249525317 |
140432294381 |
28 |
3498519134533 |
1749300591127 |
1892672756731 |
437339303279 |
29 |
689101181569 |
5070807638111 |
4236406530997 |
1871100711071 |
30 |
3289884073409 |
8858854801319 |
2155866992887 |
3258583681877 |
31 |
|
6425403612031 |
1552841185921 |
5611314737339 |
32 |
|
113391385603 |
72766002003139 |
24738041398529 |
33 |
3278744415797 |
|
271871440800943 |
106467884271767 |
34 |
|
|
82817943587341 |
241865704894727 |
35 |
|
|
275604952420573 |
41173225034771 |
k |
7n + 1 |
7n + 2 |
7n + 3 |
7n + 4 |
7n + 5 |
7n + 6 |
1 |
29 |
2 |
3 |
11 |
5 |
13 |
2 |
113 |
317 |
773 |
3833 |
2357 |
293 |
3 |
37997 |
27197 |
5939 |
13339 |
106979 |
53731 |
4 |
575261 |
158867 |
341687 |
621527 |
637201 |
709547 |
5 |
12089267 |
894287 |
2617429 |
6760009 |
2809889 |
2993171 |
6 |
16292389 |
12883313 |
6996307 |
99641903 |
50503213 |
361718083 |
7 |
9984437 |
28648489 |
1232089337 |
49297819 |
345638333 |
279470351 |
8 |
1523792929 |
2428644899 |
4130894953 |
887048411 |
8295635297 |
3194228239 |
9 |
72027611573 |
62425749731 |
84834279799 |
137875952281 |
45914196389 |
19417691299 |
10 |
469100516641 |
288991234079 |
595178892367 |
208220255429 |
73838834753 |
314183482199 |
11 |
7384176068963 |
201133988723 |
49722411511 |
3400274815627 |
3313036899877 |
2955453870529 |
12 |
|
|
2016473757721 |
|
|
|
k |
8n + 1 |
8n + 3 |
8n + 5 |
8n + 7 |
1 |
17 |
3 |
5 |
7 |
2 |
89 |
491 |
389 |
359 |
3 |
2593 |
2243 |
2213 |
1823 |
4 |
20809 |
42299 |
45013 |
79063 |
5 |
208393 |
274123 |
73133 |
272863 |
6 |
2663897 |
4701443 |
1319861 |
989647 |
7 |
7336457 |
4310083 |
3250469 |
12955687 |
8 |
128910097 |
9065867 |
29662253 |
10604519 |
9 |
42453937 |
547580443 |
35677501 |
1062619847 |
10 |
1506473153 |
1885434347 |
101341613 |
309202951 |
11 |
24771906961 |
8674616939 |
13576124357 |
1383423311 |
12 |
123737745289 |
11312238283 |
12664911341 |
21120585463 |
13 |
201975758113 |
19201563659 |
124809839701 |
848540003159 |
14 |
152368449001 |
619849118491 |
132932904029 |
714231497663 |
15 |
4990160038937 |
4056100954547 |
1181960064853 |
534956098463 |
16 |
|
|
|
925195153703 |
k |
9n + 1 |
9n + 2 |
9n + 4 |
9n + 5 |
9n + 7 |
9n + 8 |
1 |
19 |
2 |
13 |
5 |
7 |
17 |
2 |
523 |
5483 |
1381 |
1913 |
1069 |
1259 |
3 |
15823 |
25373 |
78241 |
20183 |
56131 |
22193 |
4 |
655453 |
182243 |
107509 |
74453 |
76543 |
132893 |
5 |
19256491 |
8606603 |
5321191 |
12859961 |
32820883 |
24143993 |
6 |
24084793 |
5379113 |
89121073 |
131695853 |
39874273 |
166539707 |
7 |
303392377 |
1734847733 |
561940843 |
18410243 |
399481171 |
285688421 |
8 |
3408167431 |
12196390601 |
1324001281 |
1248749069 |
716230591 |
881160173 |
9 |
17875882441 |
17619405959 |
34344033133 |
147779659553 |
10930792111 |
41142907853 |
10 |
179445819277 |
213529133423 |
1209605011789 |
435916100219 |
168445529647 |
283892437529 |
11 |
1563518842687 |
2732797330031 |
3877795268653 |
2113591441739 |
1379581580653 |
2133943155503 |
12 |
|
|
|
|
4016465016163 |
|
k |
10n + 1 |
10n + 3 |
10n + 7 |
10n + 9 |
1 |
11 |
3 |
7 |
19 |
2 |
181 |
283 |
337 |
139 |
3 |
4831 |
6793 |
1627 |
3089 |
4 |
22501 |
22963 |
57427 |
18839 |
5 |
216401 |
752023 |
192637 |
123229 |
6 |
2229971 |
2707163 |
776257 |
2134519 |
7 |
3873011 |
58339093 |
15328637 |
12130109 |
8 |
91335901 |
44923183 |
70275277 |
23884639 |
9 |
36539311 |
961129823 |
244650317 |
363289219 |
10 |
196943081 |
1147752443 |
4075366567 |
9568590299 |
11 |
14293856441 |
6879806623 |
452942827 |
24037796539 |
12 |
363373386721 |
131145172583 |
73712513057 |
130426565719 |
13 |
381206903941 |
177746482483 |
319931193737 |
405033487139 |
14 |
154351758091 |
795537219143 |
2618698284817 |
3553144754209 |
15 |
|
4028596340953 |
|
4010803176619 |
16 |
|
6987191424553 |
|
|
k |
11n + 1 |
11n + 2 |
11n + 3 |
11n + 4 |
11n + 5 |
1 |
23 |
2 |
3 |
37 |
5 |
2 |
2311 |
10111 |
6427 |
1951 |
2557 |
3 |
452453 |
1066067 |
1503967 |
1023653 |
259033 |
4 |
5442361 |
2078221 |
52636411 |
11488261 |
6402181 |
5 |
2880836267 |
1322239547 |
145255861 |
396185431 |
236298529 |
6 |
4436243989 |
9429065747 |
12933776221 |
16535952019 |
13930111453 |
7 |
56675840497 |
55612826029 |
44742288583 |
195520526821 |
85272006649 |
8 |
1901256504247 |
4524017321287 |
4995900592103 |
9570670849997 |
1825518960479 |
9 |
|
|
|
|
3917068823123 |
k |
11n + 6 |
11n + 7 |
11n + 8 |
11n + 9 |
11n + 10 |
1 |
17 |
7 |
19 |
31 |
43 |
2 |
3229 |
1129 |
15683 |
8017 |
3739 |
3 |
674603 |
444187 |
376307 |
466651 |
846757 |
4 |
13906261 |
24780961 |
1736281 |
12202507 |
16601881 |
5 |
222022037 |
258318287 |
140369941 |
222838097 |
267746797 |
6 |
11087576671 |
10550203099 |
1180181747 |
9725254999 |
6285546277 |
7 |
90331649557 |
81795872209 |
272006616241 |
288595010317 |
94043028529 |
8 |
|
492755092111 |
1204047928861 |
2217422600941 |
1328517155569 |
9 |
|
|
4682876776597 |
|
|
k |
12n + 1 |
12n + 7 |
12n + 7 |
12n + 11 |
1 |
13 |
5 |
7 |
11 |
2 |
661 |
509 |
619 |
467 |
3 |
8317 |
4397 |
199 |
1499 |
4 |
12829 |
42509 |
32443 |
16763 |
5 |
586153 |
657197 |
407023 |
260339 |
6 |
1081417 |
647417 |
180799 |
2003387 |
7 |
10793941 |
1248869 |
4338787 |
7722419 |
8 |
7790917 |
13175609 |
84885631 |
20221283 |
9 |
682829881 |
234946997 |
472798219 |
927161471 |
10 |
1921572157 |
1039154933 |
1786054267 |
4284484931 |
11 |
370861009 |
7114719473 |
6024282871 |
7355362139 |
12 |
5637496849 |
183420597029 |
64791932287 |
84805717127 |
13 |
289391626057 |
32021552837 |
592175010019 |
478527373859 |
14 |
469257742237 |
1237381737257 |
6265824724519 |
2046207697631 |
15 |
628337233501 |
5760582040217 |
7816088451907 |
7302359785151 |
16 |
|
9194779588901 |
|
|
17 |
|
2904797643617 |
|
|
I primi consecutivi della forma 3n + 1 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 1.
I primi consecutivi della forma 3n + 2 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 5, tranne 2.