Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Dirichlet dimostrò nel 1837 che ogni progressione aritmetica del tipo ak + b con MCD(a, b) = 1 contiene infiniti primi. Resta però da determinare quanto possa essere grande il minimo primo di una progressione del genere e quanti primi minori di un numero fissato ci si debba aspettare.

 

Supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, Y. Lamzouri, X. Li e K. Soundararajan dimostrarono nel 2015 che il minimo primo in una progressione aritmetica del tipo ak + b non supera φ(a)2log2a.

 

I primi minori di n in una progressione del tipo ak + b non superano Numero di primi minori di n in una progressione aritmetica del tipo an + b, per una costante C.

 

De la Vallée Poussin dimostrò che il numero di tali primi minori di n tende a Limite cui tende il numero di primi minori di n in una progressione aritmetica del tipo an + b.

 

Dato che b non compare nelle formule, il numero di primi prodotti dalla progressione è asintoticamente uguale per ogni valore di b, ma questo sembrava contrastare l’evidenza sperimentale: già Tschebycheff aveva notato nel 1853 che sembrano esserci più primi della forma 3n + 2 che della forma 3n + 1 e più primi della forma 4n + 3 che della forma 4n + 1, per piccoli valori di n. Questo dipendeva però solo dal fatto che, come altri prima e dopo di lui, aveva osservato un intervallo piuttosto limitato di numeri.

J.E. Littlewood dimostrò nel 1914 che i primi delle varie forme si alternano infinite volte alla testa della corsa.

Nel 1957 Leech notò che a partire da 26861 i primi della forma 4n + 1 sono più numerosi, poi i primi della forma 4n + 3 riguadagnano la testa fino a 616841, poi si ha un pareggio a 617472 e così via.

M. Rubinstein e P. Sarnak però dimostrarono nel 1994 che i primi di una categoria sono più spesso in testa degli altri.

Cartery Bays e Richard H. Hudson calcolarono nel giorno di Natale 1976 (forse l’unico giorno nel quale avevano a disposizione il tempo macchina necessario), che i primi della forma 3n + 1 diventano i più numerosi per la prima volta tra 608981813029 e 610968213796 in due intervalli, ciascuno contenente più di 150 milioni di interi.

 

Nel 1920 Chowla propose la congettura che per a > 2 e MCD(a, b) = 1 esistano infinite coppie di primi consecutivi della forma an + b.

Nel 2001 D.K.L. Shiu dimostrò una notevole estensione del teorema di Dirichlet, che conferma ed estende la congettura di Chowla: esistono sequenze lunghe a piacere di primi consecutivi della forma an + b, con a e b primi tra loro.

 

La tabella seguente mostra le prime occorrenze di sequenze di almeno k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Don Reble, Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

4n + 1

4n + 3

6n + 1

6n + 5

1

5

3

7

5

2

13

7

31

23

3

89

199

151

47

4

389

199

1741

251

5

2593

463

1741

1889

6

11593

463

1741

7793

7

11593

463

19471

43451

8

11593

36551

118801

243161

9

11593

39607

148531

726893

10

373649

183091

148531

759821

11

766261

241603

406951

1820111

12

3358169

241603

2339041

1820111

13

12204889

241603

2339041

10141499

14

12270077

9177431

51662593

19725473

15

12270077

9177431

51662593

19725473

16

12270077

95949311

73451737

136209239

17

297387757

105639091

232301497

400414121

18

297779117

341118307

450988159

400414121

19

297779117

727334879

1444257673

489144599

20

1113443017

727334879

1444257673

489144599

21

1113443017

1786054147

1444257673

766319189

22

1113443017

1786054147

24061965043

766319189

23

1113443017

22964264027

24061965043

21549657539

24

1113443017

54870713243

43553959717

21549657539

25

84676452781

79263248027

43553959717

21549657539

26

84676452781

113391385603

502429570231

140432294381

27

689101181569

113391385603

1552841185921

140432294381

28

689101181569

113391385603

1552841185921

437339303279

29

689101181569

113391385603

1552841185921

1871100711071

30

3278744415797

113391385603

1552841185921

3258583681877

31

3278744415797

113391385603

1552841185921

5611314737339

32

3278744415797

113391385603

72766002003139

24738041398529

33

3278744415797

24001161040531

82817943587341

41173225034771

34

 

284727926647627

82817943587341

41173225034771

35

 

363099014864711

275604952420573

41173225034771

 

Le tabelle seguenti mostrano le prime occorrenze di sequenze di esattamente k primi consecutivi di alcune forme (Jens Kruse Andersen, Labos Elemer, Reiner Martin, Hugo Pfoertner, Herman Jamke, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

k

4n + 1

4n + 3

6n + 1

6n + 5

1

5

3

7

5

2

13

7

31

23

3

89

739

151

47

4

389

199

3049

251

5

2593

883

7351

1889

6

12401

13127

1741

7793

7

77069

463

19471

43451

8

262897

36551

118801

243161

9

11593

39607

498259

726893

10

373649

183091

148531

759821

11

766261

4468903

406951

2280857

12

3358169

6419299

2513803

1820111

13

12204889

241603

2339041

10141499

14

18256561

11739307

89089369

40727657

15

23048897

9177431

51662593

19725473

16

12270077

95949311

73451737

136209239

17

297387757

105639091

232301497

744771077

18

310523021

341118307

450988159

400414121

19

297779117

1800380579

1558562197

1057859471

20

3670889597

727334879

2506152301

489144599

21

5344989829

9449915743

1444257673

13160911739

22

1481666377

1786054147

28265029657

766319189

23

2572421893

22964264027

24061965043

38451670931

24

1113443017

54870713243

87996684091

119618704427

25

121117598053

79263248027

43553959717

21549657539

26

84676452781

454648144571

502429570231

141116164769

27

790457451349

722204126767

1820249525317

140432294381

28

3498519134533

1749300591127

1892672756731

437339303279

29

689101181569

5070807638111

4236406530997

1871100711071

30

3289884073409

8858854801319

2155866992887

3258583681877

31

 

6425403612031

1552841185921

5611314737339

32

 

113391385603

72766002003139

24738041398529

33

3278744415797

 

271871440800943

106467884271767

34

 

 

82817943587341

241865704894727

35

 

 

275604952420573

41173225034771

k

7n + 1

7n + 2

7n + 3

7n + 4

7n + 5

7n + 6

1

29

2

3

11

5

13

2

113

317

773

3833

2357

293

3

37997

27197

5939

13339

106979

53731

4

575261

158867

341687

621527

637201

709547

5

12089267

894287

2617429

6760009

2809889

2993171

6

16292389

12883313

6996307

99641903

50503213

361718083

7

9984437

28648489

1232089337

49297819

345638333

279470351

8

1523792929

2428644899

4130894953

887048411

8295635297

3194228239

9

72027611573

62425749731

84834279799

137875952281

45914196389

19417691299

10

469100516641

288991234079

595178892367

208220255429

73838834753

314183482199

11

7384176068963

201133988723

49722411511

3400274815627

3313036899877

2955453870529

12

 

 

2016473757721

 

 

 

k

8n + 1

8n + 3

8n + 5

8n + 7

1

17

3

5

7

2

89

491

389

359

3

2593

2243

2213

1823

4

20809

42299

45013

79063

5

208393

274123

73133

272863

6

2663897

4701443

1319861

989647

7

7336457

4310083

3250469

12955687

8

128910097

9065867

29662253

10604519

9

42453937

547580443

35677501

1062619847

10

1506473153

1885434347

101341613

309202951

11

24771906961

8674616939

13576124357

1383423311

12

123737745289

11312238283

12664911341

21120585463

13

201975758113

19201563659

124809839701

848540003159

14

152368449001

619849118491

132932904029

714231497663

15

4990160038937

4056100954547

1181960064853

534956098463

16

 

 

 

925195153703

k

9n + 1

9n + 2

9n + 4

9n + 5

9n + 7

9n + 8

1

19

2

13

5

7

17

2

523

5483

1381

1913

1069

1259

3

15823

25373

78241

20183

56131

22193

4

655453

182243

107509

74453

76543

132893

5

19256491

8606603

5321191

12859961

32820883

24143993

6

24084793

5379113

89121073

131695853

39874273

166539707

7

303392377

1734847733

561940843

18410243

399481171

285688421

8

3408167431

12196390601

1324001281

1248749069

716230591

881160173

9

17875882441

17619405959

34344033133

147779659553

10930792111

41142907853

10

179445819277

213529133423

1209605011789

435916100219

168445529647

283892437529

11

1563518842687

2732797330031

3877795268653

2113591441739

1379581580653

2133943155503

12

 

 

 

 

4016465016163

 

k

10n + 1

10n + 3

10n + 7

10n + 9

1

11

3

7

19

2

181

283

337

139

3

4831

6793

1627

3089

4

22501

22963

57427

18839

5

216401

752023

192637

123229

6

2229971

2707163

776257

2134519

7

3873011

58339093

15328637

12130109

8

91335901

44923183

70275277

23884639

9

36539311

961129823

244650317

363289219

10

196943081

1147752443

4075366567

9568590299

11

14293856441

6879806623

452942827

24037796539

12

363373386721

131145172583

73712513057

130426565719

13

381206903941

177746482483

319931193737

405033487139

14

154351758091

795537219143

2618698284817

3553144754209

15

 

4028596340953

 

4010803176619

16

 

6987191424553

 

 

k

11n + 1

11n + 2

11n + 3

11n + 4

11n + 5

1

23

2

3

37

5

2

2311

10111

6427

1951

2557

3

452453

1066067

1503967

1023653

259033

4

5442361

2078221

52636411

11488261

6402181

5

2880836267

1322239547

145255861

396185431

236298529

6

4436243989

9429065747

12933776221

16535952019

13930111453

7

56675840497

55612826029

44742288583

195520526821

85272006649

8

1901256504247

4524017321287

4995900592103

9570670849997

1825518960479

9

 

 

 

 

3917068823123

k

11n + 6

11n + 7

11n + 8

11n + 9

11n + 10

1

17

7

19

31

43

2

3229

1129

15683

8017

3739

3

674603

444187

376307

466651

846757

4

13906261

24780961

1736281

12202507

16601881

5

222022037

258318287

140369941

222838097

267746797

6

11087576671

10550203099

1180181747

9725254999

6285546277

7

90331649557

81795872209

272006616241

288595010317

94043028529

8

 

492755092111

1204047928861

2217422600941

1328517155569

9

 

 

4682876776597

 

 

k

12n + 1

12n + 7

12n + 7

12n + 11

1

13

5

7

11

2

661

509

619

467

3

8317

4397

199

1499

4

12829

42509

32443

16763

5

586153

657197

407023

260339

6

1081417

647417

180799

2003387

7

10793941

1248869

4338787

7722419

8

7790917

13175609

84885631

20221283

9

682829881

234946997

472798219

927161471

10

1921572157

1039154933

1786054267

4284484931

11

370861009

7114719473

6024282871

7355362139

12

5637496849

183420597029

64791932287

84805717127

13

289391626057

32021552837

592175010019

478527373859

14

469257742237

1237381737257

6265824724519

2046207697631

15

628337233501

5760582040217

7816088451907

7302359785151

16

 

9194779588901

 

 

17

 

2904797643617

 

 

 

I primi consecutivi della forma 3n + 1 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 1.

I primi consecutivi della forma 3n + 2 sono tutti e soli quelli della forma 6n + 5, tranne 2.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.