Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Esistono progressioni aritmetiche di primi e quanto possono essere lunghe?

 

Una progressione aritmetica di n numeri primi ha differenza tra termini successivi che è un multiplo di (n – 1)#, quindi non possono esistere progressioni aritmetiche di lunghezza infinita.

 

Van der Corput dimostrò nel 1939 che esistono infinite progressioni aritmetiche di tre numeri primi e nel 1982 Grosswald dimostrò che il numero di progressioni aritmetiche di tre numeri primi minori di n tende a C2 * x^2 / (2 * log(x)^3), dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

Ben Green dimostrò nel 2005 che ogni sottoinsieme dei numeri primi che ne contenga una frazione non nulla contiene una progressione aritmetica di tre numeri primi.

 

Heath-Brown dimostrò nel 1981 che esistono infinite progressioni aritmetiche formate da tre numeri primi e un quarto numero che ha al massimo due fattori ed è il primo o l’ultimo della progressione.

 

Nel 1982 Grosswald dimostrò, supponendo vera una congettura di Hardy e Littlewood non ancora provata, che è il numero di progressioni aritmetiche di m numeri primi minori di n tende a Limite asintotico per il numero di progressioni aritmetiche di m numeri primi minori di n.

 

Nel 2004 Ben Green e Terence Tao dimostrarono che esistono progressioni aritmetiche di numeri primi di lunghezza arbitraria; la dimostrazione sfortunatamente non è costruttiva, vale a dire che non fornisce un metodo per trovare tali progressioni, ma si limita a stabilire che la prima progressione di n termini ha valori inferiori a Limite superiore per la prima progressione di n termini. Questa è probabilmente una colossale sovrastima, dato che si ritiene che il limite sia n! + 1 o addirittura Limite superiore per la prima progressione di n termini (Granville, 2002).

Da questo teorema discendono alcune conseguenze interessanti:

  • per qualsiasi valore di d e n, esistono polinomi di grado d che generano primi per tutti valori della variabile da 0 a n;

  • per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi coppia sia un primo (come già dimostrato da Antal Balog nel 1990); iniziando con { 3, 7, 19 }, si può sempre trovare un primo da aggiungere all’insieme, mantenendo valida la proprietà;

  • per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi sottoinsieme sia un primo; in questo caso però non esiste alcun insieme che possa essere esteso all’infinito.

Non essendo la dimostrazione di Green e Tao costruttiva, la ricerca di insiemi del genere è difficile e i migliori insiemi noti (nel senso del minimo valore massimo degli elementi) non sono costituiti da primi in progressione aritmetica.

I minimi insiemi da 2 a 12 elementi per la media di qualsiasi coppia sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • { 3, 7 },

  • { 3, 7, 19 },

  • { 3, 11, 23, 71 },

  • { 5, 29, 53, 89, 113 },

  • { 3, 11, 83, 131, 251, 383 },

  • { 5, 29, 113, 269, 353, 449, 509 },

  • { 5, 17, 41, 101, 257, 521, 761, 881 },

  • { 23, 431, 503, 683, 863, 1091, 1523, 1871, 2963 },

  • { 31, 1123, 1471, 1723, 3463, 3571, 4651, 5563, 5743, 6991 },

  • { 1181, 1553, 4373, 5801, 6173, 7853, 11393, 12473, 12821, 17093, 18521 },

  • { 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611 };

  • { 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611, 69371 }.

I minimi insiemi da 2 a 5 elementi per la media di qualsiasi sottoinsieme sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

  • { 3, 7 },

  • { 7, 19, 67 },

  • { 5, 17, 89, 1277 },

  • { 209173, 322573, 536773, 1217893, 2484733 }.

Segnalo anche il seguente notevole insieme di 11 primi (in valore assoluto): {–2646613, –2311333, –1059181, –805213, 274019, 966227, 1075259, 1107467, 1119227, 1133219, 1146947, 1151963}. Avete visto la curiosa proprietà? La somma di due elementi qualsiasi è il quadrato di un primo.

 

Nel 2010 D.K.L. Shiu dimostrò che per ogni coppia di interi positivi a e m primi tra loro e per ogni intero positivo n, esiste una sequenza di n primi consecutivi della forma km + a. Trovare lunghe progressioni aritmetiche di primi conseutivi è però molto difficile.

 

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore iniziale) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Scopritore e anno

1

2

0

 

2

2

1

 

3

3

2

 

4

5

3#

 

5

5

3#

 

6

7

5#

G. Lemaire, 1909

7

7

5 • 5#

G. Lemaire, 1909

8

11

5763 • 7#

 

9

11

155577 • 7#

Siemion Fajtlowicz, 1993

10

11

1069022 • 7#

Gennady Gusev, 1999

11

11

7315048 • 7#

Günter Löh, 1986

12

13

641865320 • 11#

W. Holsztynski e Micha Hofri, 1994

13

13

4293861989 • 11#

Günter Löh, 1986

14

17

8858801964 • 13#

Gennady Gusev, 2001

15

17

8858801964 • 13#

Gennady Gusev, 2001

16

17

378230305161714 • 13#

Phil Carmody, 2005

17

17

11387819007325752 • 13#

Phil Carmody, 2001

18

19

251988718036418903 • 17#

Gennady Gusev, 2012

19

19

4244193265542951705 • 17#

Wojciech Izykowski, 2013

20

23

134181089232118748020 • 19#?

Wojciech Izykowski, 2017

21

124701216737?

9986827 • 19#?

Ryszard Walczak, 2009

22

1322554958713?

2861998 • 23#?

Jacek Kotnowski, 2009

23

20389023122473?

5785546 • 23#?

Eric Markle, 2009

24

39421708111691?

9740894 • 23#?

Mark Codding, 2009

25

2960886048458003?

2346233 • 23#?

 

26

3486107472997423?

1666981 • 23#?

James Fry, 2012

27

224584605939537911?

81292139 • 23#?

Rob Gahan, 2019

 

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Scopritore e anno

1

2

0

 

2

2

1

 

3

3

2

 

4

5

3#

 

5

5

3#

 

6

7

5#

G. Lemaire, 1909

7

7

5 • 5#

G. Lemaire, 1909

8

199

7#

Edward B. Escott, 1910

9

199

7#

Edward B. Escott, 1910

10

199

7#

Edward B. Escott, 1910

11

110437

6 • 11#

Edgar Karst, 1967

12

110437

6 • 11#

Edgar Karst, 1967

13

4943

2 • 13#

V.N. Seredinskij, 1963

14

31385539

14 • 13#

Paul A. Pritchard, 1983

15

115453391

138 • 13#

Paul A. Pritchard, 1983

16

53297929

323 • 17#

S. Weintraub, 1976

17

3430751869

171 • 17#

S. Weintraub, 1977

18

4808316343

1406 • 17#

Paul A. Pritchard, 1983

19

8297644387

431 • 19#

Paul A. Pritchard, 1984

20

214861583621

1943 • 19#

James Fry e J. Young, 1987

21

5749146449311

2681 • 19#

Paul A. Pritchard 1992

22

11410337850553?

475180 • 19#?

Paul A. Pritchard, A. Moran e A. Thyssen, 1993

23

403185216600637?

9523 • 23#?

Markus Frind, 2006

24

515486946529943?

136831 • 23#?

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008

25

6171054912832631?

366384 • 23#?

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008

26

3486107472997423?

1666981 • 23#?

James Fry, 2012

27

224584605939537911?

81292139 • 23#?

Rob Grahan, 2019

 

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi, con la minima differenza nota.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Scopritore e anno

1

2

0

 

2

2

1

 

3

3

2

 

4

5

3#

 

5

5

3#

 

6

7

5#

G. Lemaire, 1909

7

7

5 • 5#

G. Lemaire, 1909

8

199

7#

Edward B. Escott, 1910

9

199

7#

Edward B. Escott, 1910

10

199

7#

Edward B. Escott, 1910

11

60858179

11#

David W. Wilson, 1999

12

147692845283

11#

David W. Wilson, 1999

13

14933623

13#

David W. Wilson, 1999

14

834172298383

13#

Gennady Gusev, 2004

15

115894476585908771453391

13#

Jens Kruse Andersen, 2004

16

1275290173428391

13#

Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004

17

259268961766921

17#

Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004

18

1027994118833642281

17#

Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2005

19

1424014323012131633

19#

Jaroslaw Wroblewski, 2008

20

1424014323012131633

19#

Jaroslaw Wroblewski, 2008

21

28112131522731197609

19#

Jaroslaw Wroblewski, 2008

22

166537312120867?

9959 • 19#?

Markus Frind, 2006

23

403185216600637?

9523 • 23#?

Markus Frind, 2006

24

158209144596158501?

65073 • 23#?

Bryan Little, 2014

25

6171054912832631?

366384 • 23#?

Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2008

26

3486107472997423?

1666981 • 23#?

James Fry, 2012

27

224584605939537911?

81292139 • 23#?

Rob Gahan, 2019

 

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi consecutivi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Scopritore e anno

1

2

0

 

2

2

1

 

3

3

2

 

4

251

6

 

5

9843019

30

 

6

121174811

30

Lander e Parkin, 1967

7

71137654873189893604531?

210?

Paul Zimmermann, 2018

8

84493371139288259185220689643315884399840249027?

210?

Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004

9

4355366522293445336754711760727358255149646862241704525180491475581059388504103?

210?

Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004

10

100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719?

210?

Manfred Toplic, 1998

 

La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi nota.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Cifre

Scopritore e anno

3

2723880039837 • 21290000 – 1

4125 • 21445205 – 2723880039837 • 21290000

435054

David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, 2016

4

1021747532 • 60013# + 1

7399459 • 60014#

25992

Ken Davis, 2019

5

161291608 • 24001# + 1

59874860 • 24001#

10378

Ken Davis, 2018

6

1445494494 • 16301# + 1

141836149 • 16301#

7036

Ken Davis, 2018

7

234043271 • 7001# + 1

481789017 • 7001#

3019

Ken Davis, 2012

8

48098104751 • 5303# + 1

3026809034 • 5303#

2271

Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis, 2019

9

65502205462 • 2371# + 1

6317280828 • 2371#

1014

Ken Davis, Paul Underwood, 2012

10

20794561384 • 1050# + 1

1638155407 • 1050#

450

Norman Luhn, 2019

11

16533786790 • 666# + 1

1114209832 • 666#

289

Norman Luhn, 2019

12

15079159689 • 420# + 1

502608831 • 420#

180

Norman Luhn, 2019

13

50448064213 • 229# + 1

4237116495 • 229#

103

Norman Luhn, 2019

14

55507616633 • 229# + 1

670355577 • 229#

103

Norman Luhn, 2019

15

14512034548 • 149# + 1

87496195 • 149#

68

Norman Luhn, 2019

16

(9700128038 + 75782144) • 83# + 1

75782144 • 83#

43

Norman Luhn, 2019

17

9700128038 • 83# + 1

75782144 • 83#

43

Norman Luhn, 2019

18

(33277396902 + 139569962) • 53# + 1

139569962 • 53#

31

Norman Luhn, 2019

19

33277396902 • 53# + 1

139569962 • 53#

31

Norman Luhn, 2019

20

23

134181089232118748020 • 19#

29

Wojciech Izykowski, 2017

21

5547796991585989797641

29#

22

Jaroslaw Wroblewski, 2014

22

22231637631603420833 + 8 • 41#

8 • 41#

20

Jaroslaw Wroblewski, 2014

23

22231637631603420833

8 • 41#

20

Jaroslaw Wroblewski, 2014

24

224584605939537911 + 81292139 • 3 • 23#

81292139 • 23#

18

Rob Gahan, 2019

25

224584605939537911 + 81292139 • 2 • 23#

81292139 • 23#

18

Rob Gahan, 2019

26

224584605939537911 + 81292139 • 23#

81292139 • 23#

18

Rob Gahan, 2019

27

224584605939537911

81292139 • 23#

18

Rob Gahan, 2019

 

La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi consecutivi nota.

n

Primo termine

Differenza tra i termini

Cifre

Scopritore e anno

3

1213266377 • 235000 – 19

2430

10546

David Broadhurst, 2014

4

121152729080 * 7019# / 1279 + 1

6

3025

Gerd Lamprecht e Norman Luhn, 2019

5

2746496109133 • 3001# + 26891

30

1290

Norman Luhn, Gerd Lamprecht, 2018

6

386140564676 • 1000# + 26861

30

427

Gerd Lamprecht, 2018

7

4785544287883 • 613# + 16175992989053204713048025383565873984999798362551566710304737512811811999113122595507343738745205361485193009243279475076747466798588167801824787244319665878436724087733884457881427402743296218118798273

210

266

Jens Kruse Andersen, 2007

8

10097274767216 • 250# + 158794709618074229409987416174386945728371523590452459863667791687440944143462160821328735143564091

210

112

Jens Kruse Andersen, 2003

9

3824754188464203291 • 199# + 279872509634587186332039135414046330728180994209092523040703520843811319320930380677867

210

101

Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2005

10

1180477472752474 • 193# + 54538241683887582668189703590110659057865934764604873840781923513421103495579

210

93

Manfred Toplic, 2008

 

Se n = 3k + 1, le progressioni aritmetiche di primi della forma p – 2n, p, p + 2n sono in numero finito; in particolare:

  • solo 3, 5, 7 per n = 1;

  • solo 3, 11, 19 per n = 4;

  • solo 3, 17, 31 per n = 7;

  • solo 3, 23, 43 per n = 10;

  • nessuna per n = 13.

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