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Primi (numeri)

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Esistono progressioni aritmetiche di primi e quanto possono essere lunghe?

Una progressione aritmetica di n numeri primi ha differenza tra termini successivi che è un multiplo di (n – 1)#, quindi non possono esistere progressioni aritmetiche di lunghezza infinita.

Van der Corput dimostrò nel 1939 che esistono infinite progressioni aritmetiche di tre numeri primi e nel 1982 Grosswald dimostrò che il numero di progressioni aritmetiche di tre numeri primi minori di n tende a C2 * x^2 / (2 * log(x)^3) , dove C₂ è la costante dei primi gemelli.

Ben Green dimostrò nel 2005 che ogni sottoinsieme dei numeri primi che ne contenga una frazione non nulla contiene una progressione aritmetica di tre numeri primi.

Heath-Brown dimostrò nel 1981 che esistono infinite progressioni aritmetiche formate da tre numeri primi e un quarto numero che ha al massimo due fattori ed è il primo o l’ultimo della progressione.

Nel 1982 Grosswald dimostrò, supponendo vera una congettura di Hardy e Littlewood non ancora provata, che è il numero di progressioni aritmetiche di m numeri primi minori di n tende a Limite asintotico per il numero di progressioni aritmetiche di m numeri primi minori di n .

Nel 2004 Ben Green e Terence Tao dimostrarono che esistono progressioni aritmetiche di numeri primi di lunghezza arbitraria; la dimostrazione sfortunatamente non è costruttiva, vale a dire che non fornisce un metodo per trovare tali progressioni, ma si limita a stabilire che la prima progressione di n termini ha valori inferiori a Limite superiore per la prima progressione di n termini . Questa è probabilmente una colossale sovrastima, dato che si ritiene che il limite sia n! + 1 o addirittura (Granville, 2002).

Da questo teorema discendono alcune conseguenze interessanti:

per qualsiasi valore di d e n, esistono polinomi di grado d che generano primi per tutti valori della variabile da 0 a n;
per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi coppia sia un primo (come già dimostrato da Antal Balog nel 1990); iniziando con { 3, 7, 19 }, si può sempre trovare un primo da aggiungere all’insieme, mantenendo valida la proprietà;
per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi sottoinsieme sia un primo; in questo caso però non esiste alcun insieme che possa essere esteso all’infinito.

Non essendo la dimostrazione di Green e Tao costruttiva, la ricerca di insiemi del genere è difficile e i migliori insiemi noti (nel senso del minimo valore massimo degli elementi) non sono costituiti da primi in progressione aritmetica.

I minimi insiemi da 2 a 12 elementi per la media di qualsiasi coppia sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

{ 3, 7 },
{ 3, 7, 19 },
{ 3, 11, 23, 71 },
{ 5, 29, 53, 89, 113 },
{ 3, 11, 83, 131, 251, 383 },
{ 5, 29, 113, 269, 353, 449, 509 },
{ 5, 17, 41, 101, 257, 521, 761, 881 },
{ 23, 431, 503, 683, 863, 1091, 1523, 1871, 2963 },
{ 31, 1123, 1471, 1723, 3463, 3571, 4651, 5563, 5743, 6991 },
{ 1181, 1553, 4373, 5801, 6173, 7853, 11393, 12473, 12821, 17093, 18521 },
{ 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611 };
{ 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611, 69371 }.

I minimi insiemi da 2 a 5 elementi per la media di qualsiasi sottoinsieme sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):

{ 3, 7 },
{ 7, 19, 67 },
{ 5, 17, 89, 1277 },
{ 209173, 322573, 536773, 1217893, 2484733 }.

Segnalo anche il seguente notevole insieme di 11 primi (in valore assoluto): {–2646613, –2311333, –1059181, –805213, 274019, 966227, 1075259, 1107467, 1119227, 1133219, 1146947, 1151963}. Avete visto la curiosa proprietà? La somma di due elementi qualsiasi è il quadrato di un primo.

Nel 2010 D.K.L. Shiu dimostrò che per ogni coppia di interi positivi a e m primi tra loro e per ogni intero positivo n, esiste una sequenza di n primi consecutivi della forma km + a. Trovare lunghe progressioni aritmetiche di primi conseutivi è però molto difficile.

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore iniziale) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Scopritore e anno
1	2	0
2	2	1
3	3	2
4	5	3#
5	5	3#
6	7	5#	G. Lemaire, 1909
7	7	5 • 5#	G. Lemaire, 1909
8	11	5763 • 7#
9	11	155577 • 7#	Siemion Fajtlowicz, 1993
10	11	1069022 • 7#	Gennady Gusev, 1999
11	11	7315048 • 7#	Günter Löh, 1986
12	13	641865320 • 11#	W. Holsztynski e Micha Hofri, 1994
13	13	4293861989 • 11#	Günter Löh, 1986
14	17	8858801964 • 13#	Gennady Gusev, 2001
15	17	8858801964 • 13#	Gennady Gusev, 2001
16	17	378230305161714 • 13#	Phil Carmody, 2005
17	17	11387819007325752 • 13#	Phil Carmody, 2001
18	19	251988718036418903 • 17#	Gennady Gusev, 2012
19	19	4244193265542951705 • 17#	Wojciech Izykowski, 2013
20	23	134181089232118748020 • 19#?	Wojciech Izykowski, 2017
21	124701216737?	9986827 • 19#?	Ryszard Walczak, 2009
22	1322554958713?	2861998 • 23#?	Jacek Kotnowski, 2009
23	20389023122473?	5785546 • 23#?	Eric Markle, 2009
24	39421708111691?	9740894 • 23#?	Mark Codding, 2009
25	2960886048458003?	2346233 • 23#?
26	3486107472997423?	1666981 • 23#?	James Fry, 2012
27	224584605939537911?	81292139 • 23#?	Rob Gahan, 2019

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Scopritore e anno
1	2	0
2	2	1
3	3	2
4	5	3#
5	5	3#
6	7	5#	G. Lemaire, 1909
7	7	5 • 5#	G. Lemaire, 1909
8	199	7#	Edward B. Escott, 1910
9	199	7#	Edward B. Escott, 1910
10	199	7#	Edward B. Escott, 1910
11	110437	6 • 11#	Edgar Karst, 1967
12	110437	6 • 11#	Edgar Karst, 1967
13	4943	2 • 13#	V.N. Seredinskij, 1963
14	31385539	14 • 13#	Paul A. Pritchard, 1983
15	115453391	138 • 13#	Paul A. Pritchard, 1983
16	53297929	323 • 17#	S. Weintraub, 1976
17	3430751869	171 • 17#	S. Weintraub, 1977
18	4808316343	1406 • 17#	Paul A. Pritchard, 1983
19	8297644387	431 • 19#	Paul A. Pritchard, 1984
20	214861583621	1943 • 19#	James Fry e J. Young, 1987
21	5749146449311	2681 • 19#	Paul A. Pritchard 1992
22	11410337850553?	475180 • 19#?	Paul A. Pritchard, A. Moran e A. Thyssen, 1993
23	403185216600637?	9523 • 23#?	Markus Frind, 2006
24	515486946529943?	136831 • 23#?	Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008
25	6171054912832631?	366384 • 23#?	Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008
26	3486107472997423?	1666981 • 23#?	James Fry, 2012
27	224584605939537911?	81292139 • 23#?	Rob Grahan, 2019

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi, con la minima differenza nota.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Scopritore e anno
1	2	0
2	2	1
3	3	2
4	5	3#
5	5	3#
6	7	5#	G. Lemaire, 1909
7	7	5 • 5#	G. Lemaire, 1909
8	199	7#	Edward B. Escott, 1910
9	199	7#	Edward B. Escott, 1910
10	199	7#	Edward B. Escott, 1910
11	60858179	11#	David W. Wilson, 1999
12	147692845283	11#	David W. Wilson, 1999
13	14933623	13#	David W. Wilson, 1999
14	834172298383	13#	Gennady Gusev, 2004
15	115894476585908771453391	13#	Jens Kruse Andersen, 2004
16	1275290173428391	13#	Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004
17	259268961766921	17#	Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004
18	1027994118833642281	17#	Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2005
19	1424014323012131633	19#	Jaroslaw Wroblewski, 2008
20	1424014323012131633	19#	Jaroslaw Wroblewski, 2008
21	28112131522731197609	19#	Jaroslaw Wroblewski, 2008
22	166537312120867?	9959 • 19#?	Markus Frind, 2006
23	403185216600637?	9523 • 23#?	Markus Frind, 2006
24	158209144596158501?	65073 • 23#?	Bryan Little, 2014
25	6171054912832631?	366384 • 23#?	Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2008
26	3486107472997423?	1666981 • 23#?	James Fry, 2012
27	224584605939537911?	81292139 • 23#?	Rob Gahan, 2019

La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi consecutivi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Scopritore e anno
1	2	0
2	2	1
3	3	2
4	251	6
5	9843019	30
6	121174811	30	Lander e Parkin, 1967
7	71137654873189893604531?	210?	Paul Zimmermann, 2018
8	84493371139288259185220689643315884399840249027?	210?	Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004
9	4355366522293445336754711760727358255149646862241704525180491475581059388504103?	210?	Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004
10	100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719?	210?	Manfred Toplic, 1998

La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi nota.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Cifre	Scopritore e anno
3	2723880039837 • 2^1290000 – 1	4125 • 2^1445205 – 2723880039837 • 2^1290000	435054	David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, 2016
4	1021747532 • 60013# + 1	7399459 • 60014#	25992	Ken Davis, 2019
5	161291608 • 24001# + 1	59874860 • 24001#	10378	Ken Davis, 2018
6	1445494494 • 16301# + 1	141836149 • 16301#	7036	Ken Davis, 2018
7	234043271 • 7001# + 1	481789017 • 7001#	3019	Ken Davis, 2012
8	48098104751 • 5303# + 1	3026809034 • 5303#	2271	Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis, 2019
9	65502205462 • 2371# + 1	6317280828 • 2371#	1014	Ken Davis, Paul Underwood, 2012
10	20794561384 • 1050# + 1	1638155407 • 1050#	450	Norman Luhn, 2019
11	16533786790 • 666# + 1	1114209832 • 666#	289	Norman Luhn, 2019
12	15079159689 • 420# + 1	502608831 • 420#	180	Norman Luhn, 2019
13	50448064213 • 229# + 1	4237116495 • 229#	103	Norman Luhn, 2019
14	55507616633 • 229# + 1	670355577 • 229#	103	Norman Luhn, 2019
15	14512034548 • 149# + 1	87496195 • 149#	68	Norman Luhn, 2019
16	(9700128038 + 75782144) • 83# + 1	75782144 • 83#	43	Norman Luhn, 2019
17	9700128038 • 83# + 1	75782144 • 83#	43	Norman Luhn, 2019
18	(33277396902 + 139569962) • 53# + 1	139569962 • 53#	31	Norman Luhn, 2019
19	33277396902 • 53# + 1	139569962 • 53#	31	Norman Luhn, 2019
20	23	134181089232118748020 • 19#	29	Wojciech Izykowski, 2017
21	5547796991585989797641	29#	22	Jaroslaw Wroblewski, 2014
22	22231637631603420833 + 8 • 41#	8 • 41#	20	Jaroslaw Wroblewski, 2014
23	22231637631603420833	8 • 41#	20	Jaroslaw Wroblewski, 2014
24	224584605939537911 + 81292139 • 3 • 23#	81292139 • 23#	18	Rob Gahan, 2019
25	224584605939537911 + 81292139 • 2 • 23#	81292139 • 23#	18	Rob Gahan, 2019
26	224584605939537911 + 81292139 • 23#	81292139 • 23#	18	Rob Gahan, 2019
27	224584605939537911	81292139 • 23#	18	Rob Gahan, 2019

La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi consecutivi nota.

n	Primo termine	Differenza tra i termini	Cifre	Scopritore e anno
3	1213266377 • 2³⁵⁰⁰⁰ – 19	2430	10546	David Broadhurst, 2014
4		6	3025	Gerd Lamprecht e Norman Luhn, 2019
5	2746496109133 • 3001# + 26891	30	1290	Norman Luhn, Gerd Lamprecht, 2018
6	386140564676 • 1000# + 26861	30	427	Gerd Lamprecht, 2018
7	4785544287883 • 613# + 16175992989053204713048025383565873984999798362551566710304737512811811999113122595507343738745205361485193009243279475076747466798588167801824787244319665878436724087733884457881427402743296218118798273	210	266	Jens Kruse Andersen, 2007
8	10097274767216 • 250# + 158794709618074229409987416174386945728371523590452459863667791687440944143462160821328735143564091	210	112	Jens Kruse Andersen, 2003
9	3824754188464203291 • 199# + 279872509634587186332039135414046330728180994209092523040703520843811319320930380677867	210	101	Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2005
10	1180477472752474 • 193# + 54538241683887582668189703590110659057865934764604873840781923513421103495579	210	93	Manfred Toplic, 2008

Se n = 3k + 1, le progressioni aritmetiche di primi della forma p – 2n, p, p + 2n sono in numero finito; in particolare:

solo 3, 5, 7 per n = 1;
solo 3, 11, 19 per n = 4;
solo 3, 17, 31 per n = 7;
solo 3, 23, 43 per n = 10;
nessuna per n = 13.

Tabelle numeriche

Il minimo primo seguito da una sequenza di esattamente n numeri composti consecutivi, per n fino a 1997,
I valori della somma su tutti i primi di 1 / (pⁿ * log(p)) per n da 1 a 80,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p + 1)) per n da 1 a 5,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p – 1)) per n da 1 a 4,
Le prime 1000 cifre decimali dei valori del prodotto su tutti i primi di 1 – 1 / (pⁿ * (p² – 1)) per n da 0 a 2,
I primi che hanno le somme delle cifre, dei loro quadrati, dei cubi e delle potenze successive prime, fino a 10⁶ per i cubi, fino a 10⁷ per i biquadrati e le quinte potenze, fino a 10⁸ per le seste e settime potenze, fino a 10⁹ per tutte le potenze con esponenti superiori.

Vedi anche

Congetture di Zhi-Wei Sun, Congetture sui numeri primi, Costante dei numeri primi, Costante di Magata, Costante di Mertens, Funzione P, Funzione π, Numeri composti, Numeri dell’apocalisse, Numeri di de Polignac, Numero di Skewes, Primoriali, Radicali continui.

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