Indice
- 1. Pagina principale
- 2. Proprietà
- 3. Distribuzione dei numeri primi
- 4. Differenze tra primi consecutivi
- 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
- 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
- 7. Funzioni che producono numeri primi
- 8. Esami di primalità
- 9. Tabelle di primi
- 10. Grandi primi
- 11. Primi di forme particolari
- 12. Somme che coinvolgono numeri primi
- 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
- 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
- 15. Proprietà basate sulle cifre
- 16. Categorie di primi
Esistono progressioni aritmetiche di primi e quanto possono essere lunghe?
Una progressione aritmetica di n numeri primi ha differenza tra termini successivi che è un multiplo di (n – 1)#, quindi non possono esistere progressioni aritmetiche di lunghezza infinita.
Van der Corput dimostrò nel 1939 che esistono infinite progressioni aritmetiche di tre numeri primi e nel 1982 Grosswald dimostrò che il numero di progressioni aritmetiche di tre numeri primi minori di n tende a , dove C2 è la costante dei primi gemelli.
Ben Green dimostrò nel 2005 che ogni sottoinsieme dei numeri primi che ne contenga una frazione non nulla contiene una progressione aritmetica di tre numeri primi.
Heath-Brown dimostrò nel 1981 che esistono infinite progressioni aritmetiche formate da tre numeri primi e un quarto numero che ha al massimo due fattori ed è il primo o l’ultimo della progressione.
Nel 1982 Grosswald dimostrò, supponendo vera una congettura di Hardy e Littlewood non ancora provata, che è il numero di progressioni aritmetiche di m numeri primi minori di n tende a .
Nel 2004 Ben Green e Terence Tao dimostrarono che esistono progressioni aritmetiche di numeri primi di lunghezza arbitraria; la dimostrazione sfortunatamente non è costruttiva, vale a dire che non fornisce un metodo per trovare tali progressioni, ma si limita a stabilire che la prima progressione di n termini ha valori inferiori a . Questa è probabilmente una colossale sovrastima, dato che si ritiene che il limite sia n! + 1 o addirittura
(Granville, 2002).
Da questo teorema discendono alcune conseguenze interessanti:
-
per qualsiasi valore di d e n, esistono polinomi di grado d che generano primi per tutti valori della variabile da 0 a n;
-
per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi coppia sia un primo (come già dimostrato da Antal Balog nel 1990); iniziando con { 3, 7, 19 }, si può sempre trovare un primo da aggiungere all’insieme, mantenendo valida la proprietà;
-
per qualsiasi valore di n, esistono insiemi di n primi tali che la media di qualsiasi sottoinsieme sia un primo; in questo caso però non esiste alcun insieme che possa essere esteso all’infinito.
Non essendo la dimostrazione di Green e Tao costruttiva, la ricerca di insiemi del genere è difficile e i migliori insiemi noti (nel senso del minimo valore massimo degli elementi) non sono costituiti da primi in progressione aritmetica.
I minimi insiemi da 2 a 12 elementi per la media di qualsiasi coppia sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):
-
{ 3, 7 },
-
{ 3, 7, 19 },
-
{ 3, 11, 23, 71 },
-
{ 5, 29, 53, 89, 113 },
-
{ 3, 11, 83, 131, 251, 383 },
-
{ 5, 29, 113, 269, 353, 449, 509 },
-
{ 5, 17, 41, 101, 257, 521, 761, 881 },
-
{ 23, 431, 503, 683, 863, 1091, 1523, 1871, 2963 },
-
{ 31, 1123, 1471, 1723, 3463, 3571, 4651, 5563, 5743, 6991 },
-
{ 1181, 1553, 4373, 5801, 6173, 7853, 11393, 12473, 12821, 17093, 18521 },
-
{ 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611 };
-
{ 71, 1163, 1283, 2663, 4523, 5651, 9311, 13883, 13931, 14423, 25943, 27611, 69371 }.
I minimi insiemi da 2 a 5 elementi per la media di qualsiasi sottoinsieme sono (N.J.A. Sloane e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org):
-
{ 3, 7 },
-
{ 7, 19, 67 },
-
{ 5, 17, 89, 1277 },
-
{ 209173, 322573, 536773, 1217893, 2484733 }.
Segnalo anche il seguente notevole insieme di 11 primi (in valore assoluto): {–2646613, –2311333, –1059181, –805213, 274019, 966227, 1075259, 1107467, 1119227, 1133219, 1146947, 1151963}. Avete visto la curiosa proprietà? La somma di due elementi qualsiasi è il quadrato di un primo.
Nel 2010 D.K.L. Shiu dimostrò che per ogni coppia di interi positivi a e m primi tra loro e per ogni intero positivo n, esiste una sequenza di n primi consecutivi della forma km + a. Trovare lunghe progressioni aritmetiche di primi conseutivi è però molto difficile.
La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore iniziale) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Scopritore e anno |
1 |
2 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
|
3 |
3 |
2 |
|
4 |
5 |
3# |
|
5 |
5 |
3# |
|
6 |
7 |
5# |
G. Lemaire, 1909 |
7 |
7 |
5 • 5# |
G. Lemaire, 1909 |
8 |
11 |
5763 • 7# |
|
9 |
11 |
155577 • 7# |
Siemion Fajtlowicz, 1993 |
10 |
11 |
1069022 • 7# |
Gennady Gusev, 1999 |
11 |
11 |
7315048 • 7# |
Günter Löh, 1986 |
12 |
13 |
641865320 • 11# |
W. Holsztynski e Micha Hofri, 1994 |
13 |
13 |
4293861989 • 11# |
Günter Löh, 1986 |
14 |
17 |
8858801964 • 13# |
Gennady Gusev, 2001 |
15 |
17 |
8858801964 • 13# |
Gennady Gusev, 2001 |
16 |
17 |
378230305161714 • 13# |
Phil Carmody, 2005 |
17 |
17 |
11387819007325752 • 13# |
Phil Carmody, 2001 |
18 |
19 |
251988718036418903 • 17# |
Gennady Gusev, 2012 |
19 |
19 |
4244193265542951705 • 17# |
Wojciech Izykowski, 2013 |
20 |
23 |
134181089232118748020 • 19#? |
Wojciech Izykowski, 2017 |
21 |
124701216737? |
9986827 • 19#? |
Ryszard Walczak, 2009 |
22 |
1322554958713? |
2861998 • 23#? |
Jacek Kotnowski, 2009 |
23 |
20389023122473? |
5785546 • 23#? |
Eric Markle, 2009 |
24 |
39421708111691? |
9740894 • 23#? |
Mark Codding, 2009 |
25 |
2960886048458003? |
2346233 • 23#? |
|
26 |
3486107472997423? |
1666981 • 23#? |
James Fry, 2012 |
27 |
224584605939537911? |
81292139 • 23#? |
Rob Gahan, 2019 |
La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Scopritore e anno |
1 |
2 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
|
3 |
3 |
2 |
|
4 |
5 |
3# |
|
5 |
5 |
3# |
|
6 |
7 |
5# |
G. Lemaire, 1909 |
7 |
7 |
5 • 5# |
G. Lemaire, 1909 |
8 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
9 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
10 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
11 |
110437 |
6 • 11# |
Edgar Karst, 1967 |
12 |
110437 |
6 • 11# |
Edgar Karst, 1967 |
13 |
4943 |
2 • 13# |
V.N. Seredinskij, 1963 |
14 |
31385539 |
14 • 13# |
Paul A. Pritchard, 1983 |
15 |
115453391 |
138 • 13# |
Paul A. Pritchard, 1983 |
16 |
53297929 |
323 • 17# |
S. Weintraub, 1976 |
17 |
3430751869 |
171 • 17# |
S. Weintraub, 1977 |
18 |
4808316343 |
1406 • 17# |
Paul A. Pritchard, 1983 |
19 |
8297644387 |
431 • 19# |
Paul A. Pritchard, 1984 |
20 |
214861583621 |
1943 • 19# |
James Fry e J. Young, 1987 |
21 |
5749146449311 |
2681 • 19# |
Paul A. Pritchard 1992 |
22 |
11410337850553? |
475180 • 19#? |
Paul A. Pritchard, A. Moran e A. Thyssen, 1993 |
23 |
403185216600637? |
9523 • 23#? |
Markus Frind, 2006 |
24 |
515486946529943? |
136831 • 23#? |
Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008 |
25 |
6171054912832631? |
366384 • 23#? |
Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewsk, 2008 |
26 |
3486107472997423? |
1666981 • 23#? |
James Fry, 2012 |
27 |
224584605939537911? |
81292139 • 23#? |
Rob Grahan, 2019 |
La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi, con la minima differenza nota.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Scopritore e anno |
1 |
2 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
|
3 |
3 |
2 |
|
4 |
5 |
3# |
|
5 |
5 |
3# |
|
6 |
7 |
5# |
G. Lemaire, 1909 |
7 |
7 |
5 • 5# |
G. Lemaire, 1909 |
8 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
9 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
10 |
199 |
7# |
Edward B. Escott, 1910 |
11 |
60858179 |
11# |
David W. Wilson, 1999 |
12 |
147692845283 |
11# |
David W. Wilson, 1999 |
13 |
14933623 |
13# |
David W. Wilson, 1999 |
14 |
834172298383 |
13# |
Gennady Gusev, 2004 |
15 |
115894476585908771453391 |
13# |
Jens Kruse Andersen, 2004 |
16 |
1275290173428391 |
13# |
Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004 |
17 |
259268961766921 |
17# |
Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2004 |
18 |
1027994118833642281 |
17# |
Gennady Gusev e Jens Kruse Andersen, 2005 |
19 |
1424014323012131633 |
19# |
Jaroslaw Wroblewski, 2008 |
20 |
1424014323012131633 |
19# |
Jaroslaw Wroblewski, 2008 |
21 |
28112131522731197609 |
19# |
Jaroslaw Wroblewski, 2008 |
22 |
166537312120867? |
9959 • 19#? |
Markus Frind, 2006 |
23 |
403185216600637? |
9523 • 23#? |
Markus Frind, 2006 |
24 |
158209144596158501? |
65073 • 23#? |
Bryan Little, 2014 |
25 |
6171054912832631? |
366384 • 23#? |
Raanan Chermoni e Jaroslaw Wroblewski, 2008 |
26 |
3486107472997423? |
1666981 • 23#? |
James Fry, 2012 |
27 |
224584605939537911? |
81292139 • 23#? |
Rob Gahan, 2019 |
La tabella seguente riporta le minime (nel senso di minimo valore per il massimo primo che contengono) progressioni aritmetiche di n primi consecutivi. I valori indicati con un punto interrogativo sono i minimi esempi noti, ma probabilmente non i minimi casi esistenti.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Scopritore e anno |
1 |
2 |
0 |
|
2 |
2 |
1 |
|
3 |
3 |
2 |
|
4 |
251 |
6 |
|
5 |
9843019 |
30 |
|
6 |
121174811 |
30 |
Lander e Parkin, 1967 |
7 |
71137654873189893604531? |
210? |
Paul Zimmermann, 2018 |
8 |
84493371139288259185220689643315884399840249027? |
210? |
Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004 |
9 |
4355366522293445336754711760727358255149646862241704525180491475581059388504103? |
210? |
Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2004 |
10 |
100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719? |
210? |
Manfred Toplic, 1998 |
La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi nota.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Cifre |
Scopritore e anno |
3 |
2723880039837 • 21290000 – 1 |
4125 • 21445205 – 2723880039837 • 21290000 |
435054 |
David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, 2016 |
4 |
1021747532 • 60013# + 1 |
7399459 • 60014# |
25992 |
Ken Davis, 2019 |
5 |
161291608 • 24001# + 1 |
59874860 • 24001# |
10378 |
Ken Davis, 2018 |
6 |
1445494494 • 16301# + 1 |
141836149 • 16301# |
7036 |
Ken Davis, 2018 |
7 |
234043271 • 7001# + 1 |
481789017 • 7001# |
3019 |
Ken Davis, 2012 |
8 |
48098104751 • 5303# + 1 |
3026809034 • 5303# |
2271 |
Norman Luhn, Paul Underwood, Ken Davis, 2019 |
9 |
65502205462 • 2371# + 1 |
6317280828 • 2371# |
1014 |
Ken Davis, Paul Underwood, 2012 |
10 |
20794561384 • 1050# + 1 |
1638155407 • 1050# |
450 |
Norman Luhn, 2019 |
11 |
16533786790 • 666# + 1 |
1114209832 • 666# |
289 |
Norman Luhn, 2019 |
12 |
15079159689 • 420# + 1 |
502608831 • 420# |
180 |
Norman Luhn, 2019 |
13 |
50448064213 • 229# + 1 |
4237116495 • 229# |
103 |
Norman Luhn, 2019 |
14 |
55507616633 • 229# + 1 |
670355577 • 229# |
103 |
Norman Luhn, 2019 |
15 |
14512034548 • 149# + 1 |
87496195 • 149# |
68 |
Norman Luhn, 2019 |
16 |
(9700128038 + 75782144) • 83# + 1 |
75782144 • 83# |
43 |
Norman Luhn, 2019 |
17 |
9700128038 • 83# + 1 |
75782144 • 83# |
43 |
Norman Luhn, 2019 |
18 |
(33277396902 + 139569962) • 53# + 1 |
139569962 • 53# |
31 |
Norman Luhn, 2019 |
19 |
33277396902 • 53# + 1 |
139569962 • 53# |
31 |
Norman Luhn, 2019 |
20 |
23 |
134181089232118748020 • 19# |
29 |
Wojciech Izykowski, 2017 |
21 |
5547796991585989797641 |
29# |
22 |
Jaroslaw Wroblewski, 2014 |
22 |
22231637631603420833 + 8 • 41# |
8 • 41# |
20 |
Jaroslaw Wroblewski, 2014 |
23 |
22231637631603420833 |
8 • 41# |
20 |
Jaroslaw Wroblewski, 2014 |
24 |
224584605939537911 + 81292139 • 3 • 23# |
81292139 • 23# |
18 |
Rob Gahan, 2019 |
25 |
224584605939537911 + 81292139 • 2 • 23# |
81292139 • 23# |
18 |
Rob Gahan, 2019 |
26 |
224584605939537911 + 81292139 • 23# |
81292139 • 23# |
18 |
Rob Gahan, 2019 |
27 |
224584605939537911 |
81292139 • 23# |
18 |
Rob Gahan, 2019 |
La tabella seguente riporta la massima progressione aritmetica di n primi consecutivi nota.
n |
Primo termine |
Differenza tra i termini |
Cifre |
Scopritore e anno |
3 |
1213266377 • 235000 – 19 |
2430 |
10546 |
David Broadhurst, 2014 |
4 |
|
6 |
3025 |
Gerd Lamprecht e Norman Luhn, 2019 |
5 |
2746496109133 • 3001# + 26891 |
30 |
1290 |
Norman Luhn, Gerd Lamprecht, 2018 |
6 |
386140564676 • 1000# + 26861 |
30 |
427 |
Gerd Lamprecht, 2018 |
7 |
4785544287883 • 613# + 16175992989053204713048025383565873984999798362551566710304737512811811999113122595507343738745205361485193009243279475076747466798588167801824787244319665878436724087733884457881427402743296218118798273 |
210 |
266 |
Jens Kruse Andersen, 2007 |
8 |
10097274767216 • 250# + 158794709618074229409987416174386945728371523590452459863667791687440944143462160821328735143564091 |
210 |
112 |
Jens Kruse Andersen, 2003 |
9 |
3824754188464203291 • 199# + 279872509634587186332039135414046330728180994209092523040703520843811319320930380677867 |
210 |
101 |
Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen, 2005 |
10 |
1180477472752474 • 193# + 54538241683887582668189703590110659057865934764604873840781923513421103495579 |
210 |
93 |
Manfred Toplic, 2008 |
Se n = 3k + 1, le progressioni aritmetiche di primi della forma p – 2n, p, p + 2n sono in numero finito; in particolare:
-
solo 3, 5, 7 per n = 1;
-
solo 3, 11, 19 per n = 4;
-
solo 3, 17, 31 per n = 7;
-
solo 3, 23, 43 per n = 10;
-
nessuna per n = 13.