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Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

La differenza tra primi consecutivi è stata oggetto di ampie ricerche: sebbene possa essere arbitrariamente grande (n! + 1 è seguito da n numeri composti), sembrano esserci infiniti casi nei quali si riduce a 2 (o a qualsiasi altro numero pari).

 

Una parte degli studi riguarda il limite inferiore per la massima differenza tra primi consecutivi.

 

Nel 1920 Harald Cramér dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, il massimo della differenza pn + 1pn non cresce più velocemente di sqrt(p(n)) * log(p(n)).

 

Nel 1931 E. Westzynthius dimostrò che Limite superiore dimostrato da Westzynthius, ossia la differenza tra primi consecutivi è infinite volte maggiore del logaritmo del minore dei due primi.

 

Robert Rankin dimostrò che esistono infiniti valori di n tali che Limite inferiore per la differenza tra primi consecutivi, superato infinite volte con c costante e c ≥ eγ ≈ 1.7810724180. In seguito János Pintz dimostrò che c ≥ 2eγ ≈ 3.5621448360; è possibile che la costante possa essere presa grande a piacere.

Rankin dimostrò anche che esiste una costante c tale che per infiniti primi vale Limite inferiore per la differenza tra primi consecutivi, superato infinite volte. A. Schonhage dimostrò nel 1963 che si può prendere per c il valore e^γ / 2. Helmut Maier e Carl Pomerance dimostrarono nel 1990 che si può prendere per c il valore 4 * e^γ / K, dove la costante K è la soluzione dell’equazione x = 3 + 1 / e^x e vale circa 3.0474784910.

 

Nel 2018 Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard, e Terence Tao migliorarono il risultato di Rankin, dimostrando che per infiniti primi Limite inferiore per la differenza tra primi consecutivi, superato infinite volte, per una costante c.

 

Una parte complementare degli studi riguarda il limite superiore per la massima differenza tra primi consecutivi.

 

Dan Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım dimostrarono che per infiniti valori di n Limite superiore per la differenza tra primi consecutivi, valido per infiniti primi e che esiste una costante c tale che i valori di n per i quali pn + 1pn < clogn sono una frazione non nulla dei numeri naturali.

János Pintz dimostrò poi che esiste una costante C tale che Limite superiore per la differenza tra primi consecutivi, valido per infiniti primi per infiniti valori di n.

 

H. Von Koch dimostrò nel 1901 che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, esiste una costante K tale che c’è almeno un primo nell’intervallo (x – K * sqrt(x) * log(x)^2, x), per x abbastanza grande.

 

Nel 1920 H. Cramér dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, esiste una costante K tale che c’è almeno un primo nell’intervallo (x – K * sqrt(x) * log(x), x), per x ≥ 2.

Nel 1983 D. Goldston dimostrò che si può prendere K = 5 per x abbastanza grande.

 

Nel 2003 O. Ramaré e Y. Saouter dimostrarono che c’è almeno un primo nell’intervallo (x – 8 / 5 * sqrt(x) * log(x), x], per x ≥ 2.

 

Nel 2014 Adrian W. Dudek dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann:

  • c’è almeno un primo nell’intervallo (x – 4 / π * sqrt(x) * log(x), x], per x ≥ 2;

  • per ogni ε > 0 c’è almeno un primo nell’intervallo (x – (1 + ε) * sqrt(x) * log(x), x], per x abbastanza grande.

 

A.E. Ingham dimostrò che esiste una costante K tale che Limite superiore per la differenza tra primi consecutivi, valido per infiniti primi e che vi è un primo tra n3 e (n + 1)3, se n > K8.

 

G. Hoheisel dimostrò nel 1930 che esiste una costante θ minore di 1 tale che p(n + 1) – p(n) < p(n)^θ per p abbastanza grande. Hoheisel dimostrò che θ ≤ 32999 / 33000, iniziando la corsa alla riduzione dell’esponente:

  • nel 1933 H.A. Heilbronn dimostrò che θ ≤ 249 / 250;

  • nel 1936 N.G. Tchudakoff dimostrò che θ < 3 / 4 + ε, per ogni valore di ε maggiore di zero;

  • nel 1937 A.E. Ingham dimostrò che θ < 5 / 8 + ε, per ogni valore di ε maggiore di zero;

  • nel 1972 M.N. Huxley dimostrò che θ < 7 / 12 + ε, per ogni valore di ε maggiore di zero;

  • nel 1984 Henryk Iwaniec e J. Pintz dimostrarono che θ < 23 / 42;

  • nel 1985 H. Maier dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, θ < 1 / 2 + ε, per ogni valore di ε maggiore di zero;

  • nel 2001 R.C. Baker, G. Harman e J. Pintz dimostrarono che θ ≤ 0.525.

 

La tabella seguente mostra il minimo primo seguito da una sequenza di esattamente n numeri composti consecutivi, per n fino a 99.

n

Primo

0

2

1

3

3

7

5

23

7

89

9

139

11

199

13

113

15

1831

17

523

19

887

21

1129

23

1669

25

2477

27

2971

29

4297

31

5591

33

1327

35

9551

37

30593

39

19333

41

16141

43

15683

45

81463

47

28229

49

31907

51

19609

53

35617

55

82073

57

44293

59

43331

61

34061

63

89689

65

162143

67

134513

69

173359

71

31397

73

404597

75

212701

77

188029

79

542603

81

265621

83

461717

85

155921

87

544279

89

404851

91

927869

93

1100977

95

360653

97

604073

99

396733

 

La tabella seguente mostra i primi a partire dai quali si trova un intervallo tra primi consecutivi maggiore di tutti i precedenti, per tutti i primi fino a 1018 (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Intervallo

Primo iniziale

Scopritore e anno

1

2

 

2

3

 

4

7

 

6

23

 

8

89

 

14

113

 

18

523

 

20

887

 

22

1129

 

34

1327

 

36

9551

 

44

15683

 

52

19609

 

72

31397

 

86

155921

 

96

360653

 

112

370261

 

114

492113

 

118

1349533

 

132

1357201

 

148

2010733

 

154

4652353

 

180

17051707

Derrick Henry Lehmer, 1957

210

20831323

Derrick Henry Lehmer, 1957

220

47326693

Kenneth I. Appel e J. Barkley Rosser, 1961

222

122164747

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

234

189695659

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

248

191912783

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

250

387096133

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

282

436273009

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

288

1294268491

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

292

1453168141

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

320

2300942549

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

336

3842610773

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

354

4302407359

L.J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

382

10726904659

L. J. Lander e Thomas R. Parkin, 1967

384

20678048297

Richard P. Brent, 1973

394

22367084959

Richard P. Brent, 1973

456

25056082087

Richard P. Brent, 1973

464

42652618343

Richard P. Brent, 1973

468

127976334671

Richard P. Brent, 1973

474

182226896239

Richard P. Brent, 1973

486

241160624143

Richard P. Brent, 1973

490

297501075799

Richard P. Brent, 1973

500

303371455241

Richard P. Brent, 1973

514

304599508537

Richard P. Brent, 1973

516

416608695821

Richard P. Brent, 1973

532

461690510011

Richard P. Brent, 1973

534

614487453523

Richard P. Brent, 1973

540

738832927927

Richard P. Brent, 1973

582

1346294310749

Richard P. Brent, 1973

588

1408695493609

Richard P. Brent, 1973

602

1968188556461

Richard P. Brent, 1973

652

2614941710599

Richard P. Brent, 1973

674

7177162611713

Jeff Young e Aaron Potler, 1989

716

13829048559701

Jeff Young e Aaron Potler, 1989

766

19581334192423

Jeff Young e Aaron Potler, 1989

778

42842283925351

Jeff Young e Aaron Potler, 1989

804

90874329411493

Jeff Young e Aaron Potler, 1991

806

171231342420521

Thomas R. Nicely, 1995

906

218209405436543

Thomas R. Nicely, 1996

916

1189459969825483

Thomas R. Nicely, 1998

924

1686994940955803

Bertil Nyman, 1999

1132

1693182318746371

Bertil Nyman, 1999

1184

43841547845541059

Bertil Nyman, 2002

1198

55350776431903243

Tomás Oliveira e Silva, 2002

1220

80873624627234849

Tomás Oliveira e Silva, 2003

1224

203986478517455989

Tomás Oliveira e Silva, 2005

1248

218034721194214273

Tomás Oliveira e Silva, 2005

1272

305405826521087869

Tomás Oliveira e Silva, 2006

1328

352521223451364323

Tomás Oliveira e Silva, 2006

1356

401429925999153707

Donald E. Knuth, 2006

1370

418032645936712127

Donald E. Knuth, 2006

1442

804212830686677669

Siegfried Herzog e Tomás Oliveira e Silva, 2005

1476

1425172824437699411

Tomás Oliveira e Silva, 2009

1488

5733241593241196731

 

1510

6787988999657777797

 

1526

15570628755536096243

 

1530

17678654157568189057

 

1550

18361375334787046697

 

1612

91008005685955879916401

 

1632

671442875163990116829497

 

1710

708664733765282327176751

 

1728

42461577000200688572056091

 

1752

124761313603144336451517347

 

1764

198245298028246350476778643

 

1786

508253313027343345210322131

 

1798

517021551027178550547527491

 

1850

622337118707239085237867807

 

1990

685245298027055418345996361

 

1992

1212259297458031081639302751771

 

1998

46242083809774032061673394226721

 

 

Sono anche noti alcuni enormi intervalli senza numeri primi; per esempio dopo 1028115851618596629291338345969573325611755920349536050557212232499695006537951219758531796175900069032891331924471789768801982206373781256863397261378749560954919306544976939787158337949999354774683917895083444495414063479003554272907008549459458538251939796513140998638325548245763384142725024936784489478601651435629427940289616359380108925040409462881632270278716570882306451587569 c’è un intervallo di 12540 interi prima del successivo primo.

Si conoscono una differenza uguale a 337446 tra primi di 7976 cifre e una uguale a 2254930 tra primi di 86853 cifre.

V. anche numeri composti.

 

Secondo la congettura dei primi gemelli la minima differenza tra primi consecutivi che compare infinite volte è 2; Per ora è stato dimostrato che non supera 246 (v. congettura dei primi gemelli).

 

Per i primi piccoli la differenza più frequente tra primi consecutivi è 2, tuttavia arrivando a 131 la differenza più frequente diviene 4 (11 occorrenze, contro le 10 di 2). Prima di raggiungere 1000 fa la sua comparsa 6, che, dopo un certo valore, rimane la differenza più frequente, secondo alcune stime sino a circa 1.74 • 1035, dopodiché la differenza più frequente diviene 30; bisogna arrivare a circa 10425, sempre secondo una stima non verificata, perchè una nuova differenza, 210, divenga la più frequente. La differenza più frequente cambia più volte, ma sembra possa assumere solo i valori 1 (una sola volta, tra 3 e 2), 4 e i primoriali. La congettura che questo sia sempre vero attende una dimostrazione.

Dato che le differenze crescono molto lentamente, sia in media, che come valore massimo, sono note le prime occorrenze di ogni differenza solo fino a 1150.

 

M.N. Huxley dimostrò che esistono infinite differenze tra primi consecutivi inferiori a 0.4 volte la differenza media.

 

Per i primi equidistanti dal precedente e dal successivo, ossia tali che pn – 1pn = pn + 1pn, v. primi bilanciati.

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