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Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari
  12. 12. Somme che coinvolgono numeri primi
  13. 13. Prodotti che coinvolgono numeri primi
  14. 14. Rappresentazioni di interi come somma di numeri primi
  15. 15. Proprietà basate sulle cifre
  16. 16. Categorie di primi

Parallelamente alla funzione π(I), che indica il numero di primi non superiori a n, è stata molto studiata la sequenza pn dei valori dell’n-esimo primo, strettamente correlata.

La sequenza è irregolare, perché, sebbene pn tenda asintoticamente a nlogn, è facile dimostrare che vi sono intervalli di interi di ampiezza grande a piacere senza numeri primi. Vi sono anzi, intervalli di interi di ampiezza grande a piacere privi di numeri primi e loro potenze; la dimostrazione costituiva uno dei problemi proposti nelle Olimpiadi internazionali di Matematica del 1989.

 

Per quanto riguarda l’n-esimo primo, indicato con pn, dal teorema dei numeri primi si ricava che tende a nlogn; stime migliore sono:

  • p(n) < sqrt(2) * n * log(n) (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • pn < n(logn + loglogn), per n > 7 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • pn > nlogn (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per p(n), per n > 19; p19 = 67 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • pnn(logn + loglogn – 0.9385), per n > 7022; p7022 = 70919 (Robin, 1983);

  • pnn(logn + loglogn – 0.9427), per n ≥ 15985; p15985 = 175939;

  • Limite superiore per p(n), per n ≥ 688383; p688383 = 10384261; (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite inferiore per p(n), per n ≥ 3; p3 = 5; (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per p(n), per n > 12; p12 = 37 (Massias e Robin, 1996);

  • Limite superiore per p(n), per n ≥ 178974; p178974 = 2439889 (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per p(n), per n ≥ 463; p463 = 3299 (Pierre Dusart, 1998);

  • pn > n(logn + loglogn – 1) (Pierre Dusart 1999);

  • Limite superiore per p(n), per k <1794 e Limite inferiore per p(n), per k ≥ 1794; p1794 = 15359.

 

Per altri limiti più precisi v. funzione π(I).

 

Una buona approssimazione per pn è n(logn + loglogn – 1); in particolare per n > 5 |pnn(logn + loglogn)| ≤ n,

 

Dal teorema dei numeri primi si deduce che in media (p(n + 1) – p(n)) / log(n) dovrebbe essere vicino a 1, tuttavia se la congettura dei primi gemelli è vera, il limite inferiore del rapporto deve essere zero. Per lungo tempo sembrò impossibile stablilire un limite inferiore poi nel 1926 Hardy e Littlewood dimostrarono che, supponendo vera una forma generalizzata dell’ipotesi di Riemann, Limite inferiore per n tendente a infinito di (p(n + 1) – p(n)) / log(n) minore di 2 / 3, limite poi ridotto da Rankin a 3 / 5, sempre supponendo vera la stessa ipotesi.

In seguito il limite fu stabilito e progressivamente ridotto senza ricorso ad alcuna congettura:

  • nel 1940 Erdös dimostrò che è minore di 1;

  • nel 1966 E. Bombieri e H. Davenport dimostrarono che è inferiore a (2 + sqrt(3)) / 8;

  • nel 1972 Pil’tai dimostrò che è inferiore a (2 * sqrt(2) – 1) / 4;

  • nel 1976 Huxley dimostrò che è inferiore a 1 / 4 + π / 16;

  • nel 1986 Helmut Maier dimostrò che è inferiore a 0.248;

  • nel 2004 Dan A. Goldston e Cem Yalçin Yıldırım dimostrarono che è inferiore a circa 0.085786;

  • infine nel 2005 Dan A. Goldston, János Pintz e Cem Yalçin Yıldırım dimostrarono che è zero, correggendo un errore in una loro dimostrazione del 2003.

Purtoppo questo non basta a dimostrare che esistono infiniti primi gemelli: il limite sarebbe zero anche se la differenza tra primi consecutivi avesse per n grande un minimo maggiore di 2 (ossia potrebbe esistere solo un numero finito di primi con differenza inferiore a una certa costante). Addirittura la differenza minima potrebbe crescere senza limite: basterebbe che la crescita sia più lenta del logaritmo.

 

Dalla distribuzione dei numeri primi si deduce che in genere se ne dovrebbe trovare almeno uno in un intervallo sufficientemente ampio, tuttavia siccome la distribuzione è solo un limite asintotico, non ci fornisce indicazioni sicure sull’ampiezza di tali intervali, che è stata oggetto di numerose ricerche.

 

J. Bertrand, suppose nel 1845 che per n > 1 esista sempre un primo tra n e 2n (v. postulato di Bertrand). Nel 1854 Chebyshev dimostrò che per n > 3 esiste sempre un primo tra n e 2n – 2 e che per n abbastanza grande esiste sempre un primo tra n e 6 / 5 * n.

Da allora sono state compiute molte ricerche per determinare il minimo intervallo della forma n .. kn o an .. bn che contenga almeno un numero primo. Ora sappiamo che:

  • vi è almeno un numero primo tra 2n e 3n, estremi inclusi (M. El Bachraoui, 1998);

  • vi è almeno un numero primo tra 3n e 4n, estremi inclusi (Andi Loo, 2011);

  • vi è almeno un numero primo tra 9n e 10n, estremi inclusi (Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse IV e Peter J.C. Moses, 2013);

  • vi è almeno un numero primo tra 14n e 15n, estremi inclusi (Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse IV e Peter J.C. Moses, 2013);

  • per n ≥ 25 vi è almeno un numero primo tra n e 6 / 5 * n, estremi inclusi (Jitsuro Nagura, 1952) e quindi vi è almeno un primo tra 5n e 6n;

  • per n > 48 vi è almeno un numero primo tra n e 9 / 8 * n, estremi inclusi;

  • per n ≥ 2010760 vi è almeno un numero primo tra n e (1 + 1 / 16597) * n, estremi inclusi (Lowell Schoenfeld, 1976);

  • per n ≥ 3275 vi è almeno un numero primo tra n(1 + 1 / (2 * log(n)^2)) * n (Pierre Dusart, 1998);

  • per n ≥ 10726905042 vi è almeno un numero primo tra n e (1 + 1 / 28314000) * n, estremi esclusi (O. Ramaré e Y. Saouter, 2003);

  • per n ≥ 396738 vi è almeno un numero primo tra n(1 + 1 / (25 * log(n)^2)) * n (Pierre Dusart, 2010);

  • per n ≥ 2898239 vi è almeno un numero primo tra n(1 + 1 / (111 * log(n)^2)) * n (T. Trudgian, 2014);

  • per n ≥ 58837 vi è almeno un numero primo tra n(1 + 1.188 / log(n)^3) * n (Christian Axler, 2015);

  • per n > 6 tra n e 2n vi sono sempre almeno un primo della forma 4k + 1 e almeno uno della forma 4k + 3 (Erdös);

  • per n > 117 tra n e 4 / 3 * n vi è almeno un numero primo per ciascuna delle quattro forme 12k + 1, 12k + 5, 12k + 7 e 12k + 11 (K. Molsen, 1949);

  • per n > 8 tra n e 2n vi sono almeno 3 primi (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld 1975);

  • per qualsiasi k vi sono almeno k primi tra n e 2n, per n abbastanza grande (Erdös);

  • per n > 15 tra n e 2n vi è almeno un numero multiplo di tre primi differenti;

  • tra 30 numeri dispari consecutivi non possono esserci più di 15 primi (L. Aubry, 1911).

Da queste dimostrazioni si ricava che per qualsiasi ε vi è sempre almeno un primo tra n e (1 + ε)n, per n abbastanza grande.

 

Una generalizzazione del postulato di Bertrand, dimostrata da Sylvester, è che se n > k, la sequenza degli interi da n a n + k – 1 contiene almeno un multiplo di un primo maggiore di k (il postulato di Bertrand corrisponde al caso n = k + 1).

 

Gli unici interi k noti tali che l’intervallo da kn a (k + 1)n contenga almeno un numero primo per ogni valore di n sono 1, 2, 3, 5, 9 e 14; se ve ne sono altri sono maggiori di 5 • 107 (Vladimir Shevelev, Charles R. Greathouse IV e Peter J.C. Moses, 2013).

 

Sono state effettuati anche studi per determinare il minimo intervallo della forma n .. nk che contenga almeno un numero primo; nel 1993 S. Lou e Q. Yao ridussero l’esponente a 6 / 11, stabilendo l’attuale record. L’oponione di tutti gli esperti è che per qualsiasi ε vi sia sempre almeno un primo tra n e n(1 + ε), per n abbastanza grande.

 

Sappiamo che pn + pn + 1 > pn + 2 per n > 1 e pnpm > pn + m.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun dimostrò che, chiamando S(n, m) la media aritmetica delle potenze m-esime dei primi n primi, ossia Formula per la definizione di S(n, m), valgono le seguenti proprietà:

  • S(n, m)^(1 / n) è strettamente decrescente per n > 1;

  • (S(n, m) / n)^(1 / n) è strettamente decrescente per n > max(100, e2 • 1.348m + 1);

  • S(n+1, m)^(1 / (n + 1)) / S(n, m)^(1 / n) è strettamente crescente per n > 4;

  • (S(n+1, m) / (n + 1))^(1 / (n + 1)) / (S(n, m) / n)^(1 / n) è strettamente crescente per n > max(350000, exp((1.2^(2 * m + 1) * (m + 1)^2 + 1.2^(m + 1) * (m + 1)) / m)).

 

Per quanto riguarda il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi, valgono i seguenti limiti (Christian Axler, 2017):

  • Limite inferiore per il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi, per n > 61;

  • Limite inferiore per il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi, per n > 138;

  • Limite superiore per il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi, per n > 1;

  • Limite superiore per il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi, per n > 294634;

  • Limite superiore per il rapporto tra media aritmetica e geometrica dei primi n primi.

 

Per la media geometrica dei primi n primi v. anche primoriali.

 

Naturalmente anche in questo campo abbondano le congetture, che sono per lo più ritenute estremamente difficili da dimostrare; per altre congetture sulla distribuzione dei numeri primi v. congetture sui numeri primi.

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