Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà
  3. 3. Distribuzione dei numeri primi
  4. 4. Differenze tra primi consecutivi
  5. 5. Progressioni aritmetiche di numeri primi
  6. 6. Progressioni aritmetiche contenenti numeri primi
  7. 7. Funzioni che producono numeri primi
  8. 8. Esami di primalità
  9. 9. Tabelle di primi
  10. 10. Grandi primi
  11. 11. Primi di forme particolari

Il quadrato di un primo maggiore di 3 ha la forma 24n + 1, dove n è un numero pentagonale generalizzato; come conseguenza la differenza tra due potenze di esponenti pari (anche diversi) di due primi maggiori di 3 è un multiplo di 24.

Un intero n divide 24 se e solo se per ogni numero k primo rispetto a n vale k2 ≡ 1 mod n; gli interi con questa proprietà sono tutti e soli i divisori di 24.

 

Esistono vari teoremi sull’espressione dei primi come somma di quadrati di interi non negativi (v. anche numeri idonei):

  • 2 e tutti e soli i primi della forma 4k + 1 possono essere espressi come x2 + y2 e la rappresentazione è unica (Fermat);

  • 2 e tutti e soli i primi della forma 8k + 1 o 8k + 3 possono essere espressi come x2 + 2y2 e la rappresentazione è unica;

  • 3 e tutti e soli i primi della forma 6k + 1 possono essere espressi come x2 + 3y2 e la rappresentazione è unica (Fermat);

  • 7 e tutti e soli i primi della forma 14k + 1, 14k + 9 o 14k + 11 possono essere espressi come x2 + 7y2 e la rappresentazione è unica;

  • 2, 3 e tutti e soli i primi della forma 24k + 5 o 24k + 11 possono essere espressi come 2x2 + 3y2 e la rappresentazione è unica;

  • tutti e soli i primi della forma 3k + 1 possono essere espressi come (x^2 + 27 * y^2) / 4 e la rappresentazione è unica;

  • 3 e tutti e soli i primi della forma 3k + 1 possono essere espressi come x2xy + y2, ma la rappresentazione non è unica.

 

p = 4n + 3 è primo se e solo se T2n + 1 non può essere espresso come somma di due quadrati e un numero triangolare, ovvero se non esistono tre interi dispari x, y e z tali che p = x2 + 8(y2 + z2) (Byeong-Kweon Oh e Zhi-Wei Sun, 2009).

 

Il piccolo teorema di Fermat assicura che ap – 1 mod p = 1, se p è primo e non divide a. Una voce diffusa (e probabilmente falsa) è che gli antichi matematici cinesi pensassero che la formula valesse “solo se” p è primo; avrebbero sbagliato, anche se i numeri non primi per i quali vale sono relativamente rari (v. pseudoprimi di Fermat).

 

Nel 1893 S. Schatunowsky provò che gli unici numeri tali che i numeri inferiori primi rispetto a essi siano tutti primi sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 e 30, risultato dimostrabile anche a partire dalla disuguaglianza di Bonse (v. primoriali). Per esempio, 44 non ha questa proprietà perché 15, inferiore e primo rispetto a 44, non è primo.

Maillet generalizzò il teorema nel 1900, dimostrando che per ogni k fissato, esiste solo un numero finito di interi n, tali che tutti numeri inferiori primi rispetto a n hanno al massimo k fattori primi (non necessariamente distinti); il teorema di Schatunowsky corrisponde al caso k = 1.

Gli interi tali che i numeri inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi o potenze di primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 42 e 60.

Gli interi tali che i numeri dispari inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 30, 45 e 105.

Gli interi tali che i numeri dispari inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi o potenze di primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 33, 42, 45, 60, 75 e 105.

 

Fissati a, b e c, primi tra loro, esistono infinite soluzioni dell’equazione ap + bq + c = 0, con p e q primi.

 

Il numero di primi p minori di n e tali che anche p + k sia primo è minore di Limite superiore per il numero di primi p minori di n e tali che anche p + k sia primo per una costante c.

 

Se p è primo, a non è multiplo di p e ζp è una radice p-esima dell’unità, Somma che coinvolge le radici p-esime dell'unità.

 

Se p è primo, p + 2n2 è primo per tutti gli interi positivi n minori di p se e solo se p è 3, 5, 11 o 29 (G. Frobenius, 1912).

 

Dai numeri primi si può derivare un’interessante sequenza: si dimostra facilmente che esiste un limite alla massima lunghezza di una sequenza di interi consecutivi, tali che siano tutti divisibile per almeno uno dei primi n primi. Per esempio, per n = 4 i primi 4 primi sono 2, 3, 5 e 7 e una sequenza di interi divisibili per almeno uno di essi contiene al massimo 9 elementi. Per ogni valore di n, esistono infinite sequenze della lunghezza massima, con differenza pn# tra una e la successiva; il problema quindi è trovare la lunghezza e la sequenza minima dato n.

La tabella seguente riassume i risultati noti (Max Alekseyev, Jud McCranie e Mario Ziller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

pn

Massima lunghezza

Intero iniziale della minima sequenza di almeno n interi

Intero iniziale della minima sequenza di esattamente n interi

1

2

1

2

2

2

3

3

2

2

3

5

5

2

2

4

7

9

2

2

5

11

13

114

114

6

13

21

9440

9440

7

17

25

60044

217128

8

19

33

60044

60044

9

23

39

20332472

20332472

10

29

45

417086648

417086648

11

31

57

74959204292

74959204292

12

37

65

187219155594

187219155594

13

41

73

14478292443584

79622514581574

14

43

89

14478292443584

14478292443584

15

47

99

6002108856728918

6002108856728918

16

53

105

12288083384384462

12288083384384462

17

59

117

5814429911995661690

5814429911995661690

18

61

131

14719192159220252523420

14719192159220252523420

19

67

151

7714600835154917969172

7714600835154917969172

20

71

173

396499427735806558888610

396499427735806558888610

21

73

189

3084626641924131277081102880

3084626641924131277081102880

22

79

199

77624949518856340312883476188

77624949518856340312883476188

23

83

215

23314635458774315797705662793622

23314635458774315797705662793622

24

89

233

990578949024486399796411481983580

990578949024486399796411481983580

 

La massima lunghezza è j(pn#) – 1; dove j(n) è la funzione di Jacobsthal.

Deteminare le sequenze per piccoli valori di n non è difficile, tanto che due furono usate come problema il 22/4/1986 nelle Olimpiadi americane di matematica, per studenti delle medie superiori (si veda USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, citato nella bibliografia), ma il compito diventa arduo per valori maggiori e non si conosce un metodo generale.

 

Phil Carmody dimostrò che la lunghezza della sequenza relativa a n è almeno 2pn – 1 – 1; per n = 9 la lunghezza della sequenza è per la prima volta maggiore di questo valore.

 

La somma dei reciproci dei numeri primi diverge, ma cresce con estrema lentezza. La tabella seguente mostra il minimo valore m tale che Somma dei reciproci dei primi non maggiori di m maggiore o uguale a n, ossia il minimo primo tale che la somma dei reciproci dei primi da 2 a m sia maggiore di n (Eric Bach, Ulrich Schimke, Jon Sorenson e Robert G. Wilson v, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

m

Numero di termini

Scopritore e anno

1

5

3

 

2

277

59

 

3

5195977

361139

Ulrich Schimke

4

1801241230056600523

43922730588128390

Eric Bach e Jon Sorenson, 2005

5

> 4.2 • 1049

 

 

 

Supponiamo di costruire una sequenza nel seguente modo: si inizia con un intero qualsiasi e si aggiunge di volta in volta il minimo intero maggiore dell’ultimo, che non abbia fattori comuni con quelli già presenti. Per esempio, iniziando con 3 aggiungeremo 4, 5, 7, 11, 13 17, 19, 23 .... Nel 1978 Erdös dimostrò che la sequenza ottenuta contiene solo primi o potenze di primi se e solo se si inizia con uno dei numeri 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 22, 24, 30 o 70.

 

Se un insieme finito di interi consecutivi contiene un numero primo, contiene un intero primo rispetto agli altri (J.P. Zahlen, 1948). Il teorema segue facilmente dal postulato di Bertrand, perché se l’insieme non contiene multipli del massimo primo p che contiene, p è primo rispetto agli altri interi dell’insieme; d’altra parte non può contenere un multiplo di p, perché questo sarebbe almeno 2p e tra p e 2p vi è almeno un altro primo maggiore di p.

 

Alcune proprietà di vari interi, legate ai primi.

  • L’unico primo p noto tale che al variare di n tra 1 e p, n! mod p dia p – 1 valori distinti è 5 (il resto mancante è 3); eventuali altri dovrebbero essere della forma 4k + 1.

  • 97 è l’unico primo p noto tale che esista un intero n tale che il numero di primi non superiori a n sia uguale al numero di primi nell’intervallo da p a p + n, estremi inclusi. Nel caso di 97, n = 16: ci sono 6 primi non superiori a 16 e altrettanti tra 97 e 97 + 16.

  • Carl Pomerance notò che se si sottrae da 210 uno dei primi compresi tra 210 e la sua metà, si ottiene un numero primo. Nel 1993 fu dimostrato che 210 è l’unico intero con questa proprietà.

  • Gli interi inferiori a 10 e primi rispetto a esso sono 1, 3, 7 e 9; sommati a 10 danno tutti numeri primi. Gli unici interi con questa proprietà sono 1, 2, 4, 6, 10 e 12.

  • Se invece di sommare, sottraiamo al numero di partenza i numeri primi rispetto a esso, allora otteniamo 1 o numeri primi se iniziamo con 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 e 30; non è stato dimostrato che non esistano altri interi con la stessa proprietà, ma non credo che ve ne siano.

  • Erdös ipotizzò che gli unici interi n tali che n – 2k sia primo per ogni k > 0 tale che n > 2k siano solo: 1, 7, 15, 21, 45, 75, 105 (v. congetture di Erdös sui numeri primi).

  • E’ possibile che siano in numero finito anche gli interi tali che sottraendo i fattoriali inferiori (escluso 1) si ottengano numeri primi.

  • L’unico numero primo uguale alla somma e alla differenza di due numeri primi è 5: 5 = 3 + 2 = 7 – 2.

  • Gli unici numeri noti che dividano la somma dei primi inferiori a essi sono 2, 5, 71, 369119 e 415074643; se ve ne solo altri sono maggiori di 1014 (Giovanni Resta, 2014).

  • Il numero 1683 è l’unico intero n che possa essere espresso come somma di 3 primi distinti in n modi diversi (considerando irrilevante l’ordine dei primi nella somma).

  • Il minimo primo maggiore della somma delle radici cubiche dei primi inferiori è 283.

  • 2491 è il minimo valore composto dispari k per il quale 2n + k non è mai primo per n > k.

  • 3301, 3307 e 3313 sono tre primi consecutivi che sono anche numeri fortunati consecutivi.

  • La somma dei primi sino a 33773 è un numero primo, come pure le somme dei loro quadrati, cubi e quarte potenze.

  • Tra 128981 e il primo successivo vi è una differenza 2; tra questo è il seguente la differenza è 4, poi 6, 8, e così via sino a 14.

  • Il minimo intero che produca primi se gli si sommano potenze di 10 da 10 sino a 109 è 54621.

  • Il minimo primo p tale che p mod q sia primo mettendo al posto di q i primi 17 primi dispari è 1364103977.

  • La media dei primi n numeri primi (ossia la loro somma divisa per n) è un intero per n uguale a 1, 23, 53, 853, 11869, 117267 (Jo Yeong Uk, 1998), 339615 (Jo Yeong Uk, 1998), 3600489 (Jo Yeong Uk, 1998), 96643287 (Jack Brennen, 1999), 2664167025 (Giovanni Resta, 2004), 43435512311 (Giovanni Resta, 2004), 501169672991 (Donovan Johnson, 2010), 745288471601 (Robert Price, 2013), 12255356398093 (Giovanni Resta, 2014) (Alexander Adamchuk, Jud McCranie, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Non è noto se esistano infiniti casi del genere; Javier Cilleruelo e Florian Luca dimostrarono nel 2007 che i valori di n con questa proprietà minori di m sono meno di m / exp(c * (log(m)^3 / log(log(m)))^(1 / 5)) per una costante c, quindi hanno densità asintotica nulla.

  • A parte i primi gemelli, 7841 è l’unico primo noto tale che pn! ≡ 1 mod pn + 1 (Thomas Ordowski e Robert Israel, 2016).

 

Esiste un solo valore reale diverso da zero di x tale che Somma di x^p per p primo uguale a zero, pari a circa –0.6292332131.

Qui trovate le prime 104 cifre decimali di tale valore (Jon Perry, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il minimo quadrato magico di numeri primi è il seguente, attribuito a Rudolf Ondrejka.

17

113

47

89

59

29

71

5

101

Da notare che tutti i primi che compaiono in questo quadrato sono primi di Chen; Iil quadrato è pertanto anche il minimo quadrato magico formato da primi di Chen.

 

Nel 1988 Harry Nelson, utilizzando uno dei più veloci calcolatori di allora, riuscì a vincere il premio offerto da Gardner per il primo quadrato magico di ordine 3, formato da primi consecutivi, trovando 22 quadrati. Il seguente è quello con la minima costante, 4440084513 (che ha due soli fattori).

1480028201

1480028129

1480028183

1480028153

1480028171

1480028189

1480028159

1480028213

1480028141

 

Questo quadrato è superato in eleganza solo da quello trovato da Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen nel 2004, formato da 9 primi consecutivi in progressione aritmetica a partire da 4355366522293445336754711760727358255149646862241704525180491475581059388504103, con differenza 210 tra termini successivi.

 

Per altre congetture sulle proprietà dei numeri primi v. congetture sui numeri primi.

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