Primi (numeri)

Il quadrato di un primo maggiore di 3 ha la forma 24n + 1, dove n è un numero pentagonale generalizzato; come conseguenza la differenza tra due potenze di esponenti pari (anche diversi) di due primi maggiori di 3 è un multiplo di 24.

Un intero n divide 24 se e solo se per ogni numero k primo rispetto a n vale k² ≡ 1 mod n; gli interi con questa proprietà sono tutti e soli i divisori di 24.

 

Esistono vari teoremi sull’espressione dei primi come somma di quadrati di interi non negativi (v. anche numeri idonei):

• 2 e tutti e soli i primi della forma 4k + 1 possono essere espressi come x² + y² e la rappresentazione è unica (Fermat);

• 2 e tutti e soli i primi della forma 8k + 1 o 8k + 3 possono essere espressi come x² + 2y² e la rappresentazione è unica;

• 3 e tutti e soli i primi della forma 6k + 1 possono essere espressi come x² + 3y² e la rappresentazione è unica (Fermat);

• 7 e tutti e soli i primi della forma 14k + 1, 14k + 9 o 14k + 11 possono essere espressi come x² + 7y² e la rappresentazione è unica;

• 2, 3 e tutti e soli i primi della forma 24k + 5 o 24k + 11 possono essere espressi come 2x² + 3y² e la rappresentazione è unica;

• tutti e soli i primi della forma 3k + 1 possono essere espressi come  e la rappresentazione è unica;

• 3 e tutti e soli i primi della forma 3k + 1 possono essere espressi come x² – xy + y², ma la rappresentazione non è unica.

 

p = 4n + 3 è primo se e solo se T_{2n + 1} non può essere espresso come somma di due quadrati e un numero triangolare, ovvero se non esistono tre interi dispari x, y e z tali che p = x² + 8(y² + z²) (Byeong-Kweon Oh e Zhi-Wei Sun, 2009).

 

Il piccolo teorema di Fermat assicura che a^{p – 1} mod p = 1, se p è primo e non divide a. Una voce diffusa (e probabilmente falsa) è che gli antichi matematici cinesi pensassero che la formula valesse “solo se” p è primo; avrebbero sbagliato, anche se i numeri non primi per i quali vale sono relativamente rari (v. pseudoprimi di Fermat).

 

Nel 1893 S. Schatunowsky provò che gli unici numeri tali che i numeri inferiori primi rispetto a essi siano tutti primi sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 e 30, risultato dimostrabile anche a partire dalla disuguaglianza di Bonse (v. primoriali). Per esempio, 44 non ha questa proprietà perché 15, inferiore e primo rispetto a 44, non è primo.

Maillet generalizzò il teorema nel 1900, dimostrando che per ogni k fissato, esiste solo un numero finito di interi n, tali che tutti numeri inferiori primi rispetto a n hanno al massimo k fattori primi (non necessariamente distinti); il teorema di Schatunowsky corrisponde al caso k = 1.

Gli interi tali che i numeri inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi o potenze di primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18, 20, 24, 30, 42 e 60.

Gli interi tali che i numeri dispari inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 30, 45 e 105.

Gli interi tali che i numeri dispari inferiori primi rispetto a essi sono tutti primi o potenze di primi sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 33, 42, 45, 60, 75 e 105.

 

Fissati a, b e c, primi tra loro, esistono infinite soluzioni dell’equazione ap + bq + c = 0, con p e q primi.

 

Il numero di primi p minori di n e tali che anche p + k sia primo è minore di  per una costante c.

 

Se p è primo, a non è multiplo di p e ζ_p è una radice p-esima dell’unità, .

 

Se p è primo, p + 2n² è primo per tutti gli interi positivi n minori di p se e solo se p è 3, 5, 11 o 29 (G. Frobenius, 1912).

 

Dai numeri primi si può derivare un’interessante sequenza: si dimostra facilmente che esiste un limite alla massima lunghezza di una sequenza di interi consecutivi, tali che siano tutti divisibile per almeno uno dei primi n primi. Per esempio, per n = 4 i primi 4 primi sono 2, 3, 5 e 7 e una sequenza di interi divisibili per almeno uno di essi contiene al massimo 9 elementi. Per ogni valore di n, esistono infinite sequenze della lunghezza massima, con differenza p_n# tra una e la successiva; il problema quindi è trovare la lunghezza e la sequenza minima dato n.

La tabella seguente riassume i risultati noti (Max Alekseyev, Jud McCranie e Mario Ziller, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n	pn	Massima lunghezza	Intero iniziale della minima sequenza di almeno n interi	Intero iniziale della minima sequenza di esattamente n interi
1	2	1	2	2
2	3	3	2	2
3	5	5	2	2
4	7	9	2	2
5	11	13	114	114
6	13	21	9440	9440
7	17	25	60044	217128
8	19	33	60044	60044
9	23	39	20332472	20332472
10	29	45	417086648	417086648
11	31	57	74959204292	74959204292
12	37	65	187219155594	187219155594
13	41	73	14478292443584	79622514581574
14	43	89	14478292443584	14478292443584
15	47	99	6002108856728918	6002108856728918
16	53	105	12288083384384462	12288083384384462
17	59	117	5814429911995661690	5814429911995661690
18	61	131	14719192159220252523420	14719192159220252523420
19	67	151	7714600835154917969172	7714600835154917969172
20	71	173	396499427735806558888610	396499427735806558888610
21	73	189	3084626641924131277081102880	3084626641924131277081102880
22	79	199	77624949518856340312883476188	77624949518856340312883476188
23	83	215	23314635458774315797705662793622	23314635458774315797705662793622
24	89	233	990578949024486399796411481983580	990578949024486399796411481983580

 

La massima lunghezza è j(p_n#) – 1; dove j(n) è la funzione di Jacobsthal.

Deteminare le sequenze per piccoli valori di n non è difficile, tanto che due furono usate come problema il 22/4/1986 nelle Olimpiadi americane di matematica, per studenti delle medie superiori (si veda USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, citato nella bibliografia), ma il compito diventa arduo per valori maggiori e non si conosce un metodo generale.

 

Phil Carmody dimostrò che la lunghezza della sequenza relativa a n è almeno 2p_{n – 1} – 1; per n = 9 la lunghezza della sequenza è per la prima volta maggiore di questo valore.

 

La somma dei reciproci dei numeri primi diverge, ma cresce con estrema lentezza. La tabella seguente mostra il minimo valore m tale che , ossia il minimo primo tale che la somma dei reciproci dei primi da 2 a m sia maggiore di n (Eric Bach, Ulrich Schimke, Jon Sorenson e Robert G. Wilson v, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n	m	Numero di termini	Scopritore e anno
1	5	3
2	277	59
3	5195977	361139	Ulrich Schimke
4	1801241230056600523	43922730588128390	Eric Bach e Jon Sorenson, 2005
5	> 4.2 • 1049

 

Supponiamo di costruire una sequenza nel seguente modo: si inizia con un intero qualsiasi e si aggiunge di volta in volta il minimo intero maggiore dell’ultimo, che non abbia fattori comuni con quelli già presenti. Per esempio, iniziando con 3 aggiungeremo 4, 5, 7, 11, 13 17, 19, 23 .... Nel 1978 Erdös dimostrò che la sequenza ottenuta contiene solo primi o potenze di primi se e solo se si inizia con uno dei numeri 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 22, 24, 30 o 70.

 

Se un insieme finito di interi consecutivi contiene un numero primo, contiene un intero primo rispetto agli altri (J.P. Zahlen, 1948). Il teorema segue facilmente dal postulato di Bertrand, perché se l’insieme non contiene multipli del massimo primo p che contiene, p è primo rispetto agli altri interi dell’insieme; d’altra parte non può contenere un multiplo di p, perché questo sarebbe almeno 2p e tra p e 2p vi è almeno un altro primo maggiore di p.

 

Alcune proprietà di vari interi, legate ai primi.

• L’unico primo p noto tale che al variare di n tra 1 e p, n! mod p dia p – 1 valori distinti è 5 (il resto mancante è 3); eventuali altri dovrebbero essere della forma 4k + 1.

• 97 è l’unico primo p noto tale che esista un intero n tale che il numero di primi non superiori a n sia uguale al numero di primi nell’intervallo da p a p + n, estremi inclusi. Nel caso di 97, n = 16: ci sono 6 primi non superiori a 16 e altrettanti tra 97 e 97 + 16.

• Carl Pomerance notò che se si sottrae da 210 uno dei primi compresi tra 210 e la sua metà, si ottiene un numero primo. Nel 1993 fu dimostrato che 210 è l’unico intero con questa proprietà.

• Gli interi inferiori a 10 e primi rispetto a esso sono 1, 3, 7 e 9; sommati a 10 danno tutti numeri primi. Gli unici interi con questa proprietà sono 1, 2, 4, 6, 10 e 12.

• Se invece di sommare, sottraiamo al numero di partenza i numeri primi rispetto a esso, allora otteniamo 1 o numeri primi se iniziamo con 2, 3, 4, 6, 8, 12, 18, 24 e 30; non è stato dimostrato che non esistano altri interi con la stessa proprietà, ma non credo che ve ne siano.

• Erdös ipotizzò che gli unici interi n tali che n – 2^k sia primo per ogni k > 0 tale che n > 2^k siano solo: 1, 7, 15, 21, 45, 75, 105 (v. congetture di Erdös sui numeri primi).

• E’ possibile che siano in numero finito anche gli interi tali che sottraendo i fattoriali inferiori (escluso 1) si ottengano numeri primi.

• L’unico numero primo uguale alla somma e alla differenza di due numeri primi è 5: 5 = 3 + 2 = 7 – 2.

• Gli unici numeri noti che dividano la somma dei primi inferiori a essi sono 2, 5, 71, 369119 e 415074643; se ve ne solo altri sono maggiori di 10¹⁴ (Giovanni Resta, 2014).

• Il numero 1683 è l’unico intero n che possa essere espresso come somma di 3 primi distinti in n modi diversi (considerando irrilevante l’ordine dei primi nella somma).

• Il minimo primo maggiore della somma delle radici cubiche dei primi inferiori è 283.

• 2491 è il minimo valore composto dispari k per il quale 2ⁿ + k non è mai primo per n > k.

• 3301, 3307 e 3313 sono tre primi consecutivi che sono anche numeri fortunati consecutivi.

• La somma dei primi sino a 33773 è un numero primo, come pure le somme dei loro quadrati, cubi e quarte potenze.

• Tra 128981 e il primo successivo vi è una differenza 2; tra questo è il seguente la differenza è 4, poi 6, 8, e così via sino a 14.

• Il minimo intero che produca primi se gli si sommano potenze di 10 da 10 sino a 10⁹ è 54621.

• Il minimo primo p tale che p mod q sia primo mettendo al posto di q i primi 17 primi dispari è 1364103977.

• La media dei primi n numeri primi (ossia la loro somma divisa per n) è un intero per n uguale a 1, 23, 53, 853, 11869, 117267 (Jo Yeong Uk, 1998), 339615 (Jo Yeong Uk, 1998), 3600489 (Jo Yeong Uk, 1998), 96643287 (Jack Brennen, 1999), 2664167025 (Giovanni Resta, 2004), 43435512311 (Giovanni Resta, 2004), 501169672991 (Donovan Johnson, 2010), 745288471601 (Robert Price, 2013), 12255356398093 (Giovanni Resta, 2014) (Alexander Adamchuk, Jud McCranie, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Non è noto se esistano infiniti casi del genere; Javier Cilleruelo e Florian Luca dimostrarono nel 2007 che i valori di n con questa proprietà minori di m sono meno di  per una costante c, quindi hanno densità asintotica nulla.

• A parte i primi gemelli, 7841 è l’unico primo noto tale che p_n! ≡ 1 mod p_{n + 1} (Thomas Ordowski e Robert Israel, 2016).

 

Esiste un solo valore reale diverso da zero di x tale che , pari a circa –0.6292332131.

Qui trovate le prime 104 cifre decimali di tale valore (Jon Perry, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Il minimo quadrato magico di numeri primi è il seguente, attribuito a Rudolf Ondrejka.

17	113	47
89	59	29
71	5	101

Da notare che tutti i primi che compaiono in questo quadrato sono primi di Chen; Iil quadrato è pertanto anche il minimo quadrato magico formato da primi di Chen.

 

Nel 1988 Harry Nelson, utilizzando uno dei più veloci calcolatori di allora, riuscì a vincere il premio offerto da Gardner per il primo quadrato magico di ordine 3, formato da primi consecutivi, trovando 22 quadrati. Il seguente è quello con la minima costante, 4440084513 (che ha due soli fattori).

1480028201	1480028129	1480028183
1480028153	1480028171	1480028189
1480028159	1480028213	1480028141

 

Questo quadrato è superato in eleganza solo da quello trovato da Hans Rosenthal e Jens Kruse Andersen nel 2004, formato da 9 primi consecutivi in progressione aritmetica a partire da 4355366522293445336754711760727358255149646862241704525180491475581059388504103, con differenza 210 tra termini successivi.

 

Per altre congetture sulle proprietà dei numeri primi v. congetture sui numeri primi.

Vedi anche

Numeri dell’apocalisse.

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