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ψn(z)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Funzione trigamma

I valori di ψn per alcuni argomenti razionali possono essere espressi tramite costanti note, per infiniti valori di n:

ψn(1) = (–1)n + 1n!ζ(n + 1), per n > 0, e in particolare Valore di ψ1(1), ψ2(1) = –2ζ(3) ≈ –2.4041138063 e Valore di ψ3(1);

Valore di ψ(2 * n – 1)(1 / 4), per n > 0, (K.S. Kölbig, 1995) e in particolare Valore di ψ1(1 / 4) e Valore di ψ3(1 / 4);

Valore di ψ(2 * n)(1 / 4), per n > 0, (K.S. Kölbig, 1995) e in particolare Valore di ψ2(1 / 4) e Valore di ψ4(1 / 4);

Valore di ψ(2 * n)(1 / 3), per n > 0, e in particolare Valore di ψ2(1 / 3) e Valore di ψ4(1 / 3);

Valore di ψn(1 / 2), per n > 0, e in particolare Valore di ψ1(1 / 2), Valore di ψ2(1 / 2) e Valore di ψ4(1 / 2);

Valore di ψ(2 * n)(2 / 3), per n > 0, e in particolare Valore di ψ2(2 / 3)

e Valore di ψ4(2 / 3);

Valore di ψ(2 * n – 1)(3 / 4), per n > 0, (K.S. Kölbig, 1995) e in particolare Valore di ψ1(3 / 4) e Valore di ψ3(3 / 4);

Valore di ψ(2 * n)(3 / 4), per n > 0, (K.S. Kölbig, 1995) e in particolare Valore di ψ2(3 / 4) e Valore di ψ4(3 / 4).

 

R. Manzoni dimostrò che la funzione poligamma con argomenti razionali può essere espressa tramite funzioni di Clausen; alcuni valori particolari:

Valore di ψ1(1 / 3);

Valore di ψ1(2 / 3);

Valore di ψ1(5 / 4), dove C è la costante di Catalan);

Valore di ψ1(3 / 2);

Valore di ψ1(2);

Valore di ψ2(1 / 6);

Valore di ψ2(5 / 6);

Valore di ψ3(1 / 3);

Valore di ψ3(2 / 3);

Valore di ψ4(1 / 6);

Valore di ψ4(5 / 6).

 

Varie somme di valori della funzione possono essere espresse tramite altre costanti:

ψ1(1 / 4) – 3 * ψ1(1 / 3) – 3 * ψ1(2 / 3) = 8 * C – 3 * π^2, dove C è la costante di Catalan;

4 * ψ1(1 / 4) – 3 * ψ1(1 / 3) – 3 * ψ1(2 / 3) = 32 * C, dove C è la costante di Catalan;

ψ1(1 / 5) + ψ1(2 / 5) + ψ1(3 / 5) + ψ1(4 / 5) = 4 * π^2 (S. Plouffe, 2016);

ψ1(1 / 3) + ψ1(5 / 6) = 4 * ψ1(2 / 3);

15 * ψ1(1 / 3) – 3 * ψ1(1 / 6) = 4 * π^2;

ψ2(3 / 4) – ψ2(1 / 4) = 4 * π^3;

63 * ψ2(2 / 3) – 9 * ψ2(1 / 6) = 64 * sqrt(3) * π^3;

ψ2(5 / 6) – 9 * ψ2(2 / 3) = 52 * ζ(3);

ψ2(1 / 8) + ψ2(5 / 8) = 8 * ψ2(1 / 4);

54 * ψ2(1 / 3) – ψ2(1 / 12) – ψ2(7 / 12) = 52 * ζ(3) + 8 * sqrt(3) * π^3;

ψ5(1 / 5) – ψ5(2 / 5) – ψ5(4 / 5) = 67 * sqrt(5) / 5 * (2 * π)^6 (S. Plouffe, 2016);

ψ6(3 / 4) – ψ6(1 / 4) = 3905 * π^7 (S. Plouffe, 2016);

ψ7(1 / 3) + ψ7(2 / 3) = 41 / 3 * (2 * π)^8 (S. Plouffe, 2016);

ψ11(1 / 5) – ψ11(2 / 5) – ψ11(3 / 5) + ψ11(4 / 5) = 1150921 * sqrt(5) * (2 * π)^12 (S. Plouffe, 2016);

ψ19(1 / 5) – ψ19(2 / 5) – ψ19(3 / 5) + ψ19(4 / 5) = 564172514549641 * sqrt(5) * (2 * π)^20 (S. Plouffe, 2016);

ψ(2 * n)(1 / 8) – ψ(2 * n)(3 / 8) + ψ(2 * n)(5 / 8) + ψ(2 * n)(7 / 8) = 2^(2 * n + 1) * π^n * E(2 * n), dove En è l’n-esimo numero di Eulero (S. Plouffe, 2016);

 

Le figure seguenti mostrano due diverse parti del grafico delle funzioni da ψ1 a ψ4.

 

Grafico della funzione ψn

 

Grafico della funzione ψn

 

n(x)| è strettamente decrescente per x > 0 e n > 0.

 

ψn(x) tende a infinito, positivo o negativo, per x tendente a un intero negativo o a zero e a zero per x tendente a infinito.

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