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Dickson (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1904 Dickson propose una congettura che estende il teorema di Dirichlet: dati k polinomi lineari irriducibili a coefficienti interi a1n + b1, a2n + b2, ... akn + bk, se non vi sono congruenze che rendano sempre almeno un polinomio multiplo di un intero, esistono infiniti valori di n che li rendono simultaneamente primi. Il teorema di Dirichlet corrisponde la caso k = 1.

La condizione sulle congruenze, equivalente alla condizione di condizione di Bunyakovsky (v. congettura di Bateman – Horn), vieta casi come la coppia di polinomi n + 3, n + 4: infatti, uno dei due valori è sempre pari e maggiore di 2, quindi al variare di n i due valori non possono essere contemporaneamente primi.

 

La congettura implica tra l’altro:

 

Nel 1973 R.C. Vaughan dimostrò che almeno una delle due affermazioni seguenti è vera:

  • esistono infiniti primi p tali che 8p + 1 sia primo o semiprimo;

  • esistono infiniti interi n tali che d(n) = d(n + 1).

La prima affermazione è un caso particolare della congettura di Dickson, ma la seconda fu dimostrata vera da Heath-Brown nel 1984 (v. funzione d), quindi la congettura resta aperta.

 

Dalla congetture seguirebbe l’esistenza di infinite terne di primi della forma (6k – 1, 6k + 1, 6k + 5) o (6k + 1, 6k + 5, 6k + 7), come di tutte le altre terne, quadruple e configurazioni di questo genere, se i numeri che vi compaiono non rendono automaticamente qualche elemento divisibile per un numero maggiore di 1. Nel 1974 Hensley e Richards però dimostrarono che questa affermazione è incompatibile con la congettura, altrettanto plausibile, che π(x + y) ≤ π(x) + π(y) (v. congetture di Hardy e Littlewood sui numeri primi).

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