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Carmichael – Lucas (numeri di)

Teoria dei numeri 

Dato un intero positivo D della forma 4k o 4k + 1, un numero naturale composto si chiama “numero di Carmichael – Lucas rispetto a D” se è primo rispetto a D e pseudoprimo di Lucas rispetto a qualsiasi coppia di interi P, Q, tali che D = P2 – 4Q.

 

Mentre i numeri di Carmichael sono pseudoprimi di Fermat rispetto a qualsiasi base, i numeri di Carmichael – Lucas sono pseudoprimi rispetto a qualsiasi sequenza di Lucas (fissato D).

 

Il primo a considerarli fu Hugh C. Williams, nel 1977, che dimostrò che se n è un numero di Carmichael – Lucas rispetto a D, per ogni suo fattore primo pp meno Jacobi(D, p) divide n meno Jacobi(D, n), dove Jacobi(D, n) indica il simbolo di Jacobi.

Di conseguenza se n è uno pseudoprimo di Lucas rispetto a 1, è un numero di Carmichael – Lucas rispetto a 1.

 

Somer dimostrò che i numero di Carmichael – Lucas non sono multipli di quadrati.

 

Un numero di Carmichael – Lucas rispetto a n è anche un numero di Carmichael – Lucas rispetto a 4n.

 

Mentre i numeri di Carmichael devono avere almeno tre fattori primi, esistono numeri di Carmichael – Lucas che sono il prodotto di due soli fattori, come 323 (rispetto a 5).

 

La tabella seguente mostra i numeri di Carmichael – Lucas rispetto a n minori di 106, per n fino a 20.

n

Numeri di Carmichael – Lucas

1

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 825265, 838201, 852841, 997633

4

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 825265, 838201, 852841, 997633

5

323, 6601, 6721, 11663, 17119, 19043, 30889, 34561, 35207, 39203, 51983, 90287, 104663, 121103, 138601, 142883, 150121, 163081, 186961, 199801, 252601, 266071, 268801, 283361, 381923, 399001, 506521, 512461, 655201, 685583, 736163, 798571, 852841, 925681

8

35, 385, 899, 2915, 6083, 6601, 10403, 15841, 18241, 20909, 22499, 23219, 34561, 37345, 39203, 45961, 49105, 52633, 53041, 60059, 72899, 74305, 86241, 107801, 133951, 135749, 155819, 160921, 162401, 186961, 194833, 196811, 203699, 213443, 283361, 311905, 315001, 344641, 362881, 410041, 427349, 430417, 469201, 501337, 502945, 675683, 700321, 837899, 966779, 980099

9

1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721, 658801, 670033, 748657, 825265, 838201, 852841, 997633

12

35, 143, 323, 385, 455, 595, 665, 899, 935, 1045, 1295, 1547, 1729, 1763, 2639, 2737, 2821, 2915, 3289, 3599, 3655, 3689, 4355, 4465, 5005, 5183, 5291, 6083, 6479, 6721, 7021, 7055, 8099, 8569, 8855, 8911, 9215, 9361, 10153, 10403, 10439, 10465, 11305, 11663, 11951, 15841, 17119, 17423, 17641, 18095, 18239, 19043, 19981, 20705, 20909, 20999, 22499, 22607, 23219, 23435, 25415, 29315, 29341, 30745, 30889, 31535, 32399, 34561, 34595, 35207, 36863, 37259, 37345, 38665, 39203, 44099, 46079, 46189, 46657, 47879, 49283, 51359, 51983, 52633, 52649, 53041, 54839, 55981, 56581, 57239, 57599, 63503, 63973, 66385, 66563, 67199, 68255, 70741, 71497, 72215, 72899, 73439, 73535, 73645, 74305, 74399, 76589, 76609, 76751, 78913, 79523, 79883, 80011, 80189, 81719, 82621, 90287, 91945, 94393, 94535, 97343, 103285, 104195, 113183, 113221, 115921, 117215, 118405, 120581, 120959, 121103, 122617, 122759, 126217, 128843, 133951, 135749, 138565, 138601, 141155, 146329, 147455, 150121, 152279, 155701, 158401, 160921, 160979, 162719, 163081, 163799, 166439, 166463, 168299, 172081, 176399, 185003, 185185, 186623, 188461, 191101, 191807, 192151, 194327, 194545, 195299, 196559, 199801, 207901, 207935, 208559, 209077, 213443, 216359, 223901, 230159, 230399, 248941, 254881, 256139, 256409, 265895, 268801, 270865, 272483, 273239, 289007, 290339, 293761, 294409, 303031, 311905, 314821, 316511, 317735, 324899, 328321, 334153, 340561, 348517, 352079, 352835, 359999, 362881, 364895, 369721, 374543, 381923, 388079, 391391, 396253, 396899, 399001, 403651, 404639, 412163, 418285, 430199, 432181, 435455, 435599, 436645, 442513, 446039, 455039, 464185, 483479, 485459, 488881, 491855, 492803, 495935, 506521, 508679, 512461, 516559, 521101, 530881, 545905, 547561, 553679, 558145, 560735, 566137, 570505, 576719, 582001, 590519, 592703, 597793, 628705, 630721, 635999, 638495, 644221, 646415, 651419, 651937, 653939, 655201, 656099, 658801, 663299, 664631, 670033, 675683, 679535, 683279, 683353, 685583, 709019, 716579, 718201, 721259, 725903, 736163, 741169, 741311, 745199, 745921, 748657, 753059, 761039, 776567, 777923, 782101, 785915, 792901, 802655, 809999, 812581, 824879, 825265, 827099, 837865, 837899, 838201, 843695, 848521, 860161, 867359, 872423, 876095, 880319, 884305, 895679, 898703, 903959, 913031, 924373, 925681, 930097, 941545, 953281, 955031, 966779, 973559, 976981, 977185, 991799, 997633

13

1763, 3599, 19043, 22847, 24769, 39203, 46079, 67199, 79523, 85281, 117215, 122617, 146329, 164641, 186623, 191101, 223901, 230159, 241535, 432181, 481151, 495935, 507529, 516559, 558145, 651419, 675683, 685583, 753059, 860161, 895679, 919201

16

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361, 101101, 115921, 126217, 162401, 172081, 188461, 252601, 278545, 294409, 314821, 334153, 340561, 399001, 410041, 449065, 488881, 512461, 530881, 552721, 656601, 658801, 670033, 748657, 825265, 838201, 852841, 997633

17

143, 1045, 1763, 3289, 4355, 4991, 8569, 10153, 12719, 29315, 30745, 47879, 49105, 51983, 72899, 73645, 121103, 122617, 170819, 176399, 186623, 196559, 199199, 207901, 223901, 272483, 321937, 334153, 362881, 364895, 446039, 485459, 495935, 558145, 570505, 679535, 685583, 736163, 776567, 777923, 785915, 798571, 966239

20

323, 6601, 6721, 11663, 17119, 19043, 30889, 34561, 35207, 39203, 51983, 90287, 104663, 121103, 138601, 142883, 150121, 163081, 186961, 199801, 252601, 266071, 268801, 283361, 381923, 399001, 506521, 512461, 655201, 685583, 736163, 798571, 852841, 925681

 

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