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de Bruijn – Newman (costante di)

Analisi  Teoria dei numeri 

La famosa ipotesi avanzata da Riemann nel 1859 è che gli zeri non banali della funzione ζ, estesa ai numeri complessi, abbiano tutti parte reale uguale a Un mezzo.

 

De Bruijn dimostrò che esiste una costante che vale zero se e solo se l’ipotesi di Riemann è vera.

La definizione è abbastanza complicata: si definiscono due funzioni ad argomento complesso: Formula per la definizione della funzione ξ e Formula per la definizione della funzione Ξ, poi applicando la trasformazione di Fourier inversa a Ξ(z / 2) / 8 si ottiene una funzione ad argomento reale Formula per la definizione della funzione Φ; la trasformata di Fourier di Funzione della quale calcolare la trasformata di Fourier è una funzione Hλ(z), che contiene la funzione originale come caso particolare, se λ = 0.

Non è difficile dimostrare che l’ipotesi di Riemann è vera se e solo se tutti gli zeri di Ξ per argomenti maggiori di zero sono reali; N.G. de Bruijn provò nel 1950 che la funzione Hλ(z) ha solo zeri reali per λ maggiore o uguale a un mezzo e C.M. Newmann dimostrò nel 1976 che esiste una costante Λ tale che tutti gli zeri sono reali per λ ≥ Λ. L’ipotesi di Riemann è dunque equivalente all’affermazione che Λ ≤ 0.

 

A questo punto sembra che la prova dell’ipotesi di Riemann si riduca al calcolo di una costante, ma purtroppo questa si rivela particolarmente elusiva.

Nel 1988 G. Csordas, T.S. Norfolk e R.S. Varga trovarono uno zero non reale per λ = –50, utilizzando una particolare approssimazione polinomiale di grado 16, con coefficienti calcolati con oltre 60 cifre di precisione. Aumentando il grado del polinomio sino a 142, T. Ruttan T.S. Norfolk e R.S. Varga trovarono zeri non reali per valori superiori di λ sino a –8.

Con una tecnica ancor più raffinata, basata sulla ricerca di zeri della funzione ζ particolarmente vicini tra loro, gli stessi autori trovarono nel 1990 zeri non reali per valori maggiori di λ, dimostrando che –0.385 < Λ.

 

Il limite inferiore per il valore di Λ è stato progressivamente avvicinato a zero:

  • –5.895 • 10–9 (1993),

  • –2.7 • 10–9 (A.M. Odlyzko, 2000),

  • –1.14541 • 10–12 (Yannick Saouter, Xavier Gourdon e Patrick Demichel, 2011).

 

Nel 2009 H. Ki, Y.O. Kim e J. Lee dimostrarono che Λ < 1 / 2

C.M. Newman nel 1960 avanzò la congettura che la costante sia maggiore o uguale a zero.

Vedi anche

Congettura di Newman.

Bibliografia

  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.

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