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Costruibili (numeri)

Algebra  Geometria  Vari 

Sono i numeri corrispondenti a lunghezze di segmenti che si possono tracciare con riga e compasso, fissata un’unità, secondo i canoni della geometria greca.

Sono chiamati anche “numeri di Euclide” o “numeri euclidei”.

 

La caratterizzazione completa si deve a Pierre-Laurent Wantzel, che nel 1937 dimostrò che sono tutti e soli i numeri che si possono esprimere con una combinazione finita delle quattro operazioni e dell’estrazione di radice quadrata, a partire da numeri interi, pertanto sono tutti algebrici, di grado 2n e quindi includono i numeri razionali. I numeri costruibili sono però solo un sottoinsieme dei numeri algebrici di grado 2n.

 

Lorenzo Mascheroni (Bergamo, 13/5/1750 – Parigi, 14/7/1800) dimostrò nel 1797 (Geometria del compasso, con dedica in versi a Napoleone, Pavia 1797) che ogni costruzione fattibile con riga e compasso può anche essere effettuata col solo compasso (tranne tracciare una riga).

Per riconoscere i giusti meriti, va precisato che le stesse conclusioni erano state raggiunte nel 1672 dal poco noto matematico danese Georg Mohr (Copenhagen, 1/4/1640 – Kieslingswalde, 26/1/1697), ma il suo libro Euclides danicus fu completamente dimenticato (ci si chiede se mai ne fu venduta una copia!) e scoperto per caso nel 1928 dal danese J. Hjelmslev, in un negozio di libri usati. Il merito della scoperta fu quindi attribuito a Mascheroni e anche oggi l’opera di Mohr è spesso ignorata nelle bibliografie.

 

Nel 1673 lo sfortunato Mohr aveva pubblicato un libretto di 24 pagine, Compendium Euclidis Curiosi: il più completo trattato dall’antichità sull’uso del compasso ad apertura fissa (detto anche “compasso arrugginito”), ma nonostante una traduzione inglese, quattro anni dopo, per opera dell’idrografo reale Joseph Moxon (1627 – 1700), la sua opera fu completamente ignorata.

Solo nel XIX secolo Jacob Steiner (Utzendorf, 18/3/1796 – Berna, 1/1/1863), sviluppando un’idea di Jean Victor Poncelet (Metz, 1/7/1788 – Parigi, 22/12/1867) dimostrò rigorosamente che con riga e compasso fisso si possono ottenere tutte le costruzioni ottenibili con riga e compasso normale (tranne naturalmente tracciare un cerchio di raggio arbitrario). Steiner dimostrò che il compasso poteva essere sostituito da un unico cerchio, insieme col suo centro, disegnato dovunque sul piano e all’inizio del XX secolo venne dimostrato che tale cerchio poteva ridursi a un arco, piccolo a piacere, o essere sostituito da due cerchi che s’intersecano, anche senza centri noti, o da tre cerchi disgiunti, sempre senza centri noti.

Si può anche dimostrare che un intero cerchio privo del centro e persino due cerchi non intersecantisi non bastano, se il loro centro è ignoto, per effettuare le costruzioni classiche con la sola riga; le dimostrazioni, basate su un’ingegnosa proiezione dei cerchi con coni obliqui, possono essere trovate in The Enjoyment of Mathematics (v. bibliografia).

 

Gauss dimostrò che sono costruibili tutti e soli i lati dei poligoni regolari di 2nk lati, dove n è un numero naturale, anche nullo, e k è il prodotto di qualsiasi combinazione primi di Fermat differenti e nel 1937 Pierre-Laurent Wantzel dimostrò che questi sono gli unici poligoni regolari costruibili.

 

Nel 1826 Abel estese il teorema di Gauss alla lemniscata, dimostrando che la si può dividere in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per primi di Fermat distinti.

 

Il lato di un poligono regolare di n lati inscritto in una circonferenza di raggio unitario è Lunghezza del lato di un poligono regolare con n lati.

 

La tabella seguente riporta le lunghezze dei lati dei poligoni regolari costruibili, inscritti in una circonferenza di raggio unitario, sino a 24 lati.

n

Lato

Valore approssimato

3

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 3 lati

1.7320508076

4

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 4 lati

1.4142135624

5

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 5 lati

1.1755705046

6

1

1

7

Non costruibile

0.8677674782

8

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 8 lati

0.7653668647

9

Non costruibile

0.6840402867

10

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 10 lati

0.6180339887

11

Non costruibile

0.5634651137

12

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 12 lati

0.5176380902

13

Non costruibile

0.4786313286

14

Non costruibile

0.4450418679

15

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 15 lati

0.4158233816

16

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 16 lati

0.3901806440

17

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 17 lati

0.3674990356

18

Non costruibile

0.3472963553

19

Non costruibile

0.3291891806

20

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 20 lati

0.3128689301

21

Non costruibile

0.2980845324

22

Non costruibile

0.2846296765

23

Non costruibile

0.2723332982

24

 Lunghezza del lato di un poligono regolare con 24 lati

0.2610523844

 

I seguenti quattro problemi classici non possono essere risolti con riga e compasso, perché equivalgono a costruire segmenti con lunghezze espresse da numeri non costruibili:

  • rettificare una circonferenza equivale a costruire un segmento di lunghezza п, trascendente;

  • quadrare un cerchio equivale a costruire un segmento di lunghezza Radice quadrata di π, trascendente;

  • duplicare un cubo equivale a costruire un segmento di lunghezza Radice cubica di 2, algebrico di grado 3 (v. costante di Delo);

  • trisecare un angolo equivale a costruire un segmento di lunghezza algebrica di grado 3.

 

Riga e compasso non sono però gli unici strumenti disponibili; servendosi di altri strumenti, relativamente semplici, è possibile ampliare l’insieme dei numeri costruibili.

In particolare nel caso dell’origami, arte di costruire fantasiose figure piegando un foglio di carta, uno “strumento” consiste nel piegare il foglio, in modo che la piega passi per due punti determinati o in modo da portare due punti su due rette prefissate. Con questa semplice estensione, è possibile estrarre radici cubiche (ossia costruire un segmento di lunghezza uguale alla radice cubica della lunghezza di un altro, fissata un’unità di misura), come dimostrò la matematica italiana Margherita Piazzolla Beloch nel 1936 in due articoli: Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione di problemi geometrici e Sulla risoluzione dei problemi di terzo e quarto grado col metodo del ripiegamento della carta.

In questo modo diventa possibile costruire lunghezze algebriche di grado 2n3m e quindi risolvere gli ultimi due problemi; Beloch stessa dimostrò come costruire un segmento di lunghezza Radice cubica di 2.

Diviene addirittura possibile costruire un ettagono regolare, come dimostrò Benedetto Scimemi nel 1989, e in generale un qualsiasi poligono regolare di 2n3mk lati, dove k è il prodotto di qualsiasi combinazione primi di Pierpont differenti. In particolare sono costruibili tutti i poligoni con un numero di lati sino a 21, tranne l’endecagono.

 

David A. Cox e Jerry Shurman estesero nel 2005 il teorema dimostrando che potendo trisecare un angolo (e in particolare con l’origami) si può:

  • dividere la lemniscata in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 7 o della forma 4k + 1 (quindi escludendo 19, 163, 487, 1459 e 39367);

  • dividere la curva a trifoglio, descritta in coordinate polari dall’equazione Equazione della curva a trifoglio, (v. primi di Pierpont) in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 5, 17 o della forma 3k + 1, (quindi escludendo 257 e 65537).

 

Cox e Shurman dimostrarono anche che sorprendentemente con riga e compasso si può dividere in un numero qualsiasi di parti uguali la cardioide, esprimibile in coordinate polari come Equazione della cardioide e mostrata nella figura seguente.

 

Raffigurazione della cardioide

Bibliografia

  • Beloch, Margherita Piazzolla;  "Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici" in Periodico di Matematiche, serie 4, vol. 16, 1936, pag. 104 – 108.
  • Niven, Ivan;  Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.
  • Pegg, Ed Jr.;  Rodgers, Tom;  Schoen, Alan H.;  Homage to a Pied Puzzler, A.K. Peters, 2009 -

    Una sorta di “atti del convegno” relativi al settimo “Gathering for Gardner”, del 2006. Splendida raccolta di problemi, centrati sul tema del convegno, ovvero il numero 7.

  • Rademacher, Hans;  Toeplitz, Otto;  The Enjoyment of Mathematics, New York, Dover, 1960 -

    Traduzione di Von Zahlen und Figuren: Proben Mathematischen Denkens für Liebhaber der Mathematik, Springer, Berlino 1933, alquanto difficile da trovare.

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