Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Triangolo di Calabi (costante del)

Geometria 

Su di ogni lato di un triangolo si può costruire verso l’interno un solo quadrato massimo, tale cioè che sia interamente contenuto nel triangolo, abbia un lato giacente lungo il lato del triangolo e abbia la massima possibile area.

In generale, sui lati di un triangolo si possono costruire tre quadrati massimi diversi, ma naturalmente nel caso del triangolo equilatero, mostrato nella figura, i tre quadrati sono uguali, perché si ottengono ruotando il disegno di 120°.

 

Massimo quadrato inscrivibile in un triangolo equilatero

 

In questo caso il massimo quadrato costruibile su ogni lato ha sempre lato uguale alla metà dell’altezza del triangolo.

 

Esistono altri triangoli nei quali il massimo quadrato costruibile è uguale per ogni lato?

Eugenio Calabi dimostrò che ne esiste uno solo, mostrato nella figura.

 

Massimi quadrati inscrivibili nel triangolo di Calabi

 

Per trovare il rapporto tra i lati chiamiamo l il lato DE = FG = FA del quadrato, x la base BC del triangolo e h la sua altezza AH. Supponendo che i lati obliqui siano di lunghezza 1, dato che i triangoli BDE e BHA sono simili, abbiamo la relazione: Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi, cioè Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi.

Anche i triangoli BGF e BHA sono simili, perché hanno gli angoli uguali, quindi Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi, e pertanto x – l = 2(1 – l), cioè l = 2 – x.

La terza equazione che ci serve per determinare x ci è fornita dal solito teorema di Pitagora, applicato al triangolo ABH: Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi. Ricavando h e sostituendo nella prima relazione abbiamo Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi. Semplificando otteniamo: Equazione per determinare i lati del triangolo di Calabi, da cui 2x4 – 6x3 + x2 + 8x – 4 = 0.

Eliminando la soluzione x = 2, che riduce il triangolo a un segmento e il quadrato a un punto, ci resta l’equazione: 2x3 – 2x2 – 3x + 2 = 0, la cui unica soluzione compresa tra 1 e 2 è Rapporto tra i lati del triangolo di Calabi, detta “costante del triangolo di Calabi”.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre della costante.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante.

 

Non è frequente che la soluzione di un problema di geometria piana, coinvolgente solo triangoli e quadrati, che non richiede più del teorema di Pitagora per essere affrontato, produca un’equazione di terzo grado.

Il triangolo di Calabi non è costruibile con riga e compasso, secondo i canoni della geometria antica, perché la lunghezza di un lato coinvolge una radice cubica irrazionale.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.