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Cahen (costante di)

Analisi 

Data una successione di numeri naturali an maggiori di 1, si può generalizzare la frazione continua che definisce la costante di Davison – Shallit nel modo seguente: si inizia con Zero diviso 1 e 1 diviso a(0), poi si utilizzano i denominatori q0 = 1 e q1 = a0 di queste frazioni per costruire una frazione continua Frazione continua per la definizione della costante di Cahen; il denominatore q2 di questa (opportunamente semplificato) si aggiunge alla sequenza dei denominatori ottenuti e si ricomincia, utilizzando i primi n – 2 denominatori per ottenere l’n-esimo.

In generale qn = qn – 2(an – 1qn – 1 + 1) per n > 1 e la sequenza di frazioni ottenute tende a Limite della sequenza di frazioni continue, dove il valore dipende dalla sequenza scelta, ma è comunque trascendente per qualsiasi sequenza scelta (J.L. Davison e J.O. Shallit, 1991).

 

Un caso particolare è a0 = 1 e Definizione della sequenza usata per definire la costante di Davison - Shallit per n > 0; se k = 1 otteniamo la costante di Davison – Shallit, mentre se k = 2, Formula per la definizione della costante di Davison - Shallit, dove sn è la sequenza di Sylvester, definita come s0 = 2 e Formula per la definizione della sequenza di Sylvester per n> 0; in questo caso il valore cui tende la sequenza di frazioni si chiama “costante di Cahen”, perché da questi studiata nel 1891.

La costante di Cahen è Formula per la definizione della costante di Cahen ed è trascendente.

Qui trovate le prime 104 cifre decimali della costante di Cahen.

 

Alla voce frazioni egizie si trova un’ottima approssimazione della costante.

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