Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

ψ(x) è la seconda funzione di Chebyshev, definita come Formula per la definizione della funzione ψ(x).

 

Von Mangoldt dimostrò che Formula per il calcolo della funzione ψ0(x), dove la somma va calcolata su tutti gli zeri non banali della funzione ζ e ψ0(x) è definita come ψ(x), salvo che nei punti di discontinuità (le potenze dei primi) assume un valore uguale alla media tra il valore che assume per x maggiore e quello che assume per x minore. Utilizzò quindi la formula per dimostrare il teorema dei numeri primi nella forma ψ(x) = x + o(x) per x tendente a infinito.

Nella forma di La Vallée Poussin il teorema si può esprimere come Formula per il teorema dei numeri primi, per una costante a.

 

L’ipotesi di Riemann è equivalente a Formula equivalente all'ipotesi di Riemann.

 

La funzione è legata alla prima funzione di Chebyshev dalla relazione Formula che lega le due funzioni di Chebyshev e alla funzione π(x) (I) dalla relazione Formula che lega le funzioni ψ(x) e π(x).

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione:

Formula che per il calcolo della funzione ψ(x);

Formula che per il calcolo della funzione ψ(x);

Formula che coinvolge la funzione ψ(x);

Formula che coinvolge la funzione ψ(x), per Re(z) > 1;

ψ(x) < 1.03883x;

Limite superiore per |ψ(x) – x|, per x > 1;

Limite superiore per |ψ(x) – x|, per x > e22;

Limiti inferiore e superiore per ψ(x) – θ(x), per x > 121;

Limite superiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 1 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1966);

Limite superiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 374.6354 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 2481.97 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 80489.724 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 2890319.61 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite inferiore per ψ(x) – θ(x), per x ≥ 121 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1975);

(ψ(2n) – θ(2x)) ≤ 2(ψ(n) – θ(x)), per x ≥ 25 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x + y) / θ(x + y), per x ≥ 2 e y ≥ 2 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x * y) / θ(x + y), per x ≥ 2 e y ≥ 2 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per ψ(x * y) / θ(x + y), per x ≥ 4 e y ≥ 4 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007).

 

Integrale da 0 a x di ψ(t) tende a x^2 / 2.

 

Supponendo vera l’ipotesi di Riemann, Limite asintotico per |ψ(x) – x|.

 

Hardy e Littlewood dimostrarono nel 1916 che Limite asintotico per |ψ(x) – x|.

 

Lowell Schoenfeld dimostrò nel 1976 che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, Limite superiore per |ψ(x) – x|, per x ≥ 73.2.

 

Esiste una costante K tale che |ψ(n) – n| < –K * sqrt(n) per infiniti numeri naturali n|ψ(n) – n| > K * sqrt(n) per infiniti numeri naturali n (Erhard Schmidt).

 

Non esiste alcuna costante K tale che ψ(x + y) > ψ(x) + ψ(y) per x e y maggiori di K o ψ(x + y) < ψ(x) + ψ(y) per x e y maggiori di K (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007).

 

Non esiste alcuna costante K tale che ψ(2x) ≥ 2ψ(x) per x maggiore di K o ψ(2x) ≤ 2ψ(x) per x maggiore di K (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007).

 

La funzione ψ(x) / x ha un massimo per x = 113, uguale a log(955888052326228459513511038256280353796626534577600) / 113.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione ψ

 

La tabella seguente mostra i valori di ψ(n) per n fino a 20.

n

ψ(n)

1

0

2

0.6931471806

3

1.7917594692

4

2.4849066498

5

4.0943445622

6

4.0943445622

7

6.0402547113

8

6.7334018918

9

7.8320141805

10

7.8320141805

11

10.229909453

12

10.229909453

13

12.794858811

14

12.794858811

15

12.794858811

16

13.488005991

17

16.321219335

18

16.321219335

19

19.265658315

20

19.265658315

 

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