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θ(x) (funzione theta) è la prima funzione di Chebyshev, definita come Formula per la definizione della funzione θ, ovvero la somma dei logaritmi dei primi non superiori a x.

 

La funzione è legata alla seconda funzione di Chebyshev dalla relazione Formula perche lega le funzioni θ e ψ.

 

Alcune formule relative alla funzione θ:

Formula per il calcolo della funzione θ;

Limite che coinvolge la funzione θ.

 

Limiti dei valori della funzione θ:

θ(x) < (1 + ε)x, per qualsiasi ε > 0 (Diamond e Erdös, 1980);

Limiti inferiore e superiore per θ(x), per x ≥ 563 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x > 1 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 41 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 32297 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 10443773 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 10544111 (P. Dusart, 2010);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x > 1 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 32299 (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 3594641 (P. Dusart, 2010);

Limite superiore per |θ(x) – x|, per x ≥ 2 (P. Dusart, 2010);

Limiti inferiore e superiore per θ(x) e in particolare Limite inferiore per θ(x) (Chebyshev);

Limite inferiore per θ(p(n)), per n ≥ 1011.

Limite superiore per θ(p(n)), per n ≥ 198.

 

Esiste una costante c maggiore di zero tale che vi siano infiniti primi p tali che Limite superiore per θ(p) e infiniti primi p tali che Limite inferiore per θ(p) (Geoffrey Caveney, Jean Louis Nicolas e Jonathan Sondow, 2012).

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione θ

 

La tabella seguente mostra i valori di θ(n) per n fino a 20.

n

θ(n)

1

0

2

0.6931471806

3

1.7917594692

4

1.7917594692

5

3.4011973817

6

3.4011973817

7

5.3471075307

8

5.3471075307

9

5.3471075307

10

5.3471075307

11

7.7450028035

12

7.7450028035

13

10.3099521610

14

10.3099521610

15

10.3099521610

16

10.3099521610

17

13.1431655050

18

13.1431655050

19

16.0876044842

20

16.0876044842

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