Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Prodotti di valori
  4. 4. Valori

Г(z) è la funzione Gamma, ossia la generalizzazione del fattoriale ai numeri reali, definita come Formula per la definizione della funzione Γ. Sono possibili definizioni equivalenti, sempre tramite integrali: Formula per la definizione della funzione Γ.

Queste formule permettono di estendere la definizione della funzione ad argomenti complessi.

 

Valgono quindi le proprietà fondamentali dei fattoriali: Г(n) = (n – 1)! per n >0 e Г(x + 1) = xГ(x) per x > 0, non necessariamente intero.

 

Il problema di estendere il fattoriale ad argomenti non interi fu considerato per la prima volta da Daniel Bernoulli e Christian Goldbach intorno al 1720 e fu risolto da Eulero in uno scritto dal titolo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt (sulle progressioni trascendenti, ovvero quelle i cui termini generali non possono essere espressi algebricamente), inviato all’Accademia di S. Pietroburgo il 28/11/1729.

 

Eulero diede due diverse definizioni: Formula di Eulero per la definizione della funzione Γ  e Formula di Eulero per la definizione della funzione Γ, nelle quali l’argomento poteva essere un numero reale o complesso.

 

Nello stesso periodo James Stirling arrivò alla sua celebre approssimazione dei fattoriali, che può essere estesa ad argomenti reali, completando poi l’opera con una serie infinita che fornisce il valore esatto. Solo nel 1900 però C. Hermite dimostrò che la definizione di Stirling è equivalente a quella di Eulero.

 

Gauss dimostrò la formula Formula di Gauss per la funzione Γ e se ne servì per ricavare alcune proprietà della funzione.

 

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (Ostenfelde, Germania, 31/10/1815 – Berlino, 19/2/1897) dimostrò la formula Formula di Weierstrass per la funzione Γ, originariamente nella forma rovesciata, che dà il reciproco della funzione Г. Partendo dai risultati su questa funzione arrivò quindi alla dimostrazione del teorema di fattorizzazione: ogni funzione complessa intera (ossia olomorfa, cioè differenziabile infinite volte, in tutti i punti del piano complesso) può essere espressa come un prodotto che coinvolge i suoi zeri.

 

Il nome e il corrispondente simbolo le furono attribuiti nel 1811 da Legendre, che la ridefinì in modo tale che Г(n + 1) = n!. Questa definizione, rispetto alla più naturale Г(n) = n!, semplifica alcune formule, ma ne complica altre ed è stata severamente criticata da vari matematici, però è ormai di uso comune.

 

Il teorema di Bohr – Mollerup, dimostrato nel 1922, ci assicura che se una funzione f(x), definita per x tra 0 e infinito, è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa, vale f(x + 1) = xf(x) per ogni x > 0 e f(1) = 1, allora f è la funzione Г. In altre parole, Г è l’unica estensione continua della funzione fattoriale.

 

La trasformazione di fattoriali in funzioni Г è un caso particolare di una trasformazione più generale: se P e Q sono polinomi in una variabile di grado rispettivamente m e n, con coefficiente del termine di grado più alto uguale a 1, con radici p1, p2, … pm e q1, q2, … qn, allora Formula per la trasformazione di funzioni razionali in prodotti di funzioni Γ. Questo consente di trasformare funzioni razionali in prodotti di funzioni Γ, che possono essere più semplici da calcolare.

 

Tra le occorrenze inaspettate, merita menzione la costante di Pólya.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.