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Pólya (costante di)

Probabilità e statistica 

Supponiamo di avere un reticolo regolare infinito a d dimensioni; partendo dall’origine, a ogni passo si percorre a caso uno dei 2d cammini possibili di lunghezza unitaria.

Qual è la probabilità p(d) che, procedendo all’infinito, si ritorni prima o poi al punto di partenza?

Pólya dimostrò nel 1921 che tale probabilità è 1 in 1 o 2 dimensioni, come è logico attendersi, ma inaspettatamente è minore in 3 o più.

La probabilità di ritornare all’origine in 3 dimensioni, ossia in un reticolo cubico infinito, è detta “costante di Pólya”.

 

G.N. Watson (1886 – 1965) dimostrò nel 1939 che la costante è pari a Formula per la costante di Pólya; l’integrale nella formula si ricava dal terzo integrale triplo di Watson.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante di Pólya.

 

E.W. Montroll nel 1956 dimostrò la formula generale per d dimensioni: Formula per p(d), dove gli integrali sono d. Il risultato tende, all’aumentare di n, a 1 / (2 * n), uguale alla probabilità di tornare indietro dopo la prima mossa. Come dire che in molte dimensioni se non si torna a casa subito, non ci si riesce più.

 

In tre dimensioni la costante si può anche esprimere come Formula per la costante di Pólya e Formula per la costante di Pólya, mentre non sono note formule simili per d > 3.

 

La tabella seguente riporta i valori (approssimati) di p(d) per d fino a 8 (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

d

p(d)

1

1

2

1

3

0.340537329550999142826273184432902896710608217124302097763236105377791969458962384642528081889057130994

4

0.1932016732249839373418709733293691605758733864501395

5

0.1351786

6

0.10471549

7

0.08584493

8

0.07291265

 

Il numero di cammini distinti per tornare all’origine in n passi in un reticolo tridimensionale è Formula per il numero di cammini distinti per tornare all’origine in n passi in un reticolo tridimensionale, per n pari.

 

Se tre viaggiatori partono dall’origine e si muovono simultaneamente e indipendentemente a caso in una dimensione, il numero medio di passi per il primo di loro che ritorna all’origine è Numero medio di passi per il primo che ritorna all’origine. In 2 o più dimensioni il numero medio di passi è infinito, per qualsiasi numero di viaggiatori.

 

Al crescere di n, il numero medio di vertici distinti visitati in un percorso di n passi tende a Limite cui tende il numero medio di vertici distinti visitati in un percorso di n passi in una dimensione in una dimensione, a Limite cui tende il numero medio di vertici distinti visitati in un percorso di n passi in due dimensioni in due e a Limite cui tende il numero medio di vertici distinti visitati in un percorso di n passi in tre dimensioni in tre (G.H Vineyard, 1963).

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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