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Eulero (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

I numeri di Eulero, comunemente indicati con En, sono così chiamati in onore del grande matematico svizzero Leonhard Euler (Basilea, 15/4/1707 – S. Pietroburgo, 18/9/1783). Ricevettero tuttavia il nome non da Eulero stesso, che era alquanto modesto, ma da Scherk, che nel 1825 calcolò i primi 30. La notazione moderna fu introdotta da Chrystal nel 1889.

Le prime relazioni tra questi e i numeri di Bernoulli furono scoperte da Louis Saalschütz (Königsberg, Prussia, oggi Kaliningrad, Russia, 1/12/1835 – Königsberg, 25/5/1913) nel 1893.
 

Eulero fu allievo di Johan Bernoulli I e all’età di soli 20 anni, già noto in tutta Europa, succedette a Nicholaus Bernoulli II nel ruolo di matematico alla corte imperiale di S. Pietroburgo.

Produsse oltre la metà dei suoi risultati dopo essere divenuto cieco. Fu il matematico più prolifico di ogni tempo: per dare un’idea della quantità dei suoi lavori, nei campi più disparati della matematica e della fisica, basti dire che l’Accademia di S. Pietroburgo impiegò circa 50 anni dopo la sua morte a pubblicare tutti i lavori arretrati! E non che non ne avesse pubblicati prima: dal 1729 circa la metà delle pagine pubblicate proveniva da lui, come accadeva anche all’Accademia di Berlino.

Nel 1910 si decise di iniziare la pubblicazione della raccolta dei suoi lavori, un compito titanico, visto, che una prima ricerca fece rinvenire 866 pubblicazioni, praticamente senza duplicazioni, e 25 volumi, oltre a 3000 pagine di appunti e alcuni libri in preparazione: il solo catalogo dei suoi lavori bastò a riempire un libro. Per ora sono stati pubblicati circa settanta volumi dell’Opera omnia e mancano ancora vari manoscritti.

Dobbiamo a lui le notazioni f(x) per una funzione, Σ per le somme e molte altre, la diffusione del simbolo π, il simbolo di integrale, i simboli e per la “sua” costante e i per l’unità immaginaria.

Impossibile ricordare, anche per sommi capi, tutti i suoi risultati; mi limito a riportare quello che gli diede la notorietà in gioventù: nel 1737 risolse il problema di calcolare Somma dei reciproci dei quadrati degli interi da 1 a infinito, noto come “problema di Basilea”, che aveva sconfitto l’intera dinastia dei Bernoulli oltre che Leibniz, Stirling, de Moivre e molti altri, dimostrando che la somma vale π^2 / 6. Procedette quindi a trovare somme analoghe del tipo Somma dei reciproci delle potenze di esponente 2n degli interi da 1 a infinito, per n fino a 6, poi nel 1737 dimostrò che Formula che trasforma la somma dei reciproci delle potenze degli interi da 1 a infinito in un prodotto che coinvolge i numeri primi, dove il prodotto va calcolato su tutti i numeri primi e nel 1739 dimostrò che per ogni valore intero positivo di n, Somma dei reciproci delle potenze di esponente 2n degli interi da 1 a infinito si può esprimere come Cπ2n, dove la costante C è razionale ed esprimibile in termini di numeri di Bernoulli.

 

Tutti i numeri di Eulero di indice dispari sono uguali a zero; quelli di indice pari hanno segni alterni.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di Eulero.

E2n = (–1)nE*2n + 1 per n pari, dove E*n è un numero di Eulero a zig zag.

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero, dove En(x) è un polinomio di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero, che per indici pari equivale a Formula per il calcolo dei numeri di Eulero e a Formula per il calcolo dei numeri di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero, per n pari e maggiore di zero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero, per n > 0;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero;

Formula per il calcolo dei numeri di Eulero.

 

Alcune somme che coinvolgono numeri di Eulero:

Somma che coinvolge i numeri di Eulero, per n > 0, da cui Formula per il calcolo dei numeri di Eulero, per n > 0;

Somma che coinvolge i numeri di Eulero, per n > 1;

Somma che coinvolge i numeri di Eulero;

Somma che coinvolge i numeri di Eulero.

 

Altre proprietà:

Formula che coinvolge i numeri di Eulero, per Valore assoluto di x minore di π diviso 2;

Formula che coinvolge i numeri di Eulero è un numero irrazionale (conseguenza di un teorema dimostrato da Engel nel 1913);

EkEm mod 2n se e solo se km mod 2n (proprietà suggerita da Sylvester nel 1861 e dimostrata da Stern nel 1875).

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 13 esista un primo q < p tale che Eq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

 

Alcune funzioni generatrici:

  • Funzione generatrice dei numeri di Eulero;

  • Funzione generatrice dei numeri di Eulero;

  • Funzione generatrice dei numeri di Eulero.

 

I valori soddisfano le diseguaglianze Limiti inferiore e superiore per i valori dei numeri di Eulero e Limite inferiore per i valori dei numeri di Eulero.

 

Nel 2013 Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono che sono vere le congetture proposte da Zhi-Wei Sun l’anno precedente:

  • Formula che coinvolge i numeri di Eulero è strettamente crescente;

  • Formula che coinvolge i numeri di Eulero è strettamente decrescente per n > 0.

 

Nel 2011 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni n > 1 esista un primo p tale che E2n ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

 

Valgono le approssimazioni asintotiche: Limite asintotico per i valori dei numeri di Eulero, Limite asintotico per i valori dei numeri di Eulero, Limite asintotico per i valori dei numeri di Eulero.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Eulero fino a E50.

n

En

0

1

2

–1

4

5

6

–61

8

1385

10

–50521

12

2702765

14

–199360981

16

19391512145

18

–2404879675441

20

370371188237525

22

–69348874393137901

24

15514534163557086905

26

–4087072509293123892361

28

1252259641403629865468285

30

–441543893249023104553682821

32

177519391579539289436664789665

34

–80723299235887898062168247453281

36

41222060339517702122347079671259045

38

–23489580527043108252017828576198947741

40

14851150718114980017877156781405826684425

42

–10364622733519612119397957304745185976310201

44

7947579422597592703608040510088070619519273805

46

–6667537516685544977435028474773748197524107684661

48

6096278645568542158691685742876843153976539044435185

50

–6053285248188621896314383785111649088103498225146815121

 

Tra questi, solo 5, 61 e 23489580527043108252017828576198947741 sono primi.

Bibliografia

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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