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β(z) è la funzione beta di Dirichlet, definita come la somma dei reciproci dei numeri naturali dispari da 1 a infinito, elevati alla z, a segni alternati: Formula per la definizione della funzione β.

 

E’ strettamente legata alla funzione ζ di Riemann.

 

Per argomenti interi positivi dispari 2n + 1, è un multiplo razionale di π2n + 1: Formula per la funzione β con argomenti interi dispari, dove En è l’n-esimo numero di Eulero.

In particolare: Valore di β(1)Valore di β(3) e Valore di β(5).

 

Non si conoscono formule generali altrettanto semplici per argomenti interi positivi pari; in particolare β(2) ≈ 0.9159655942 è la costante di Catalan e Valore di β(4).

Come per i valori della funzione ζ con argomenti interi positivi dispari, nulla si sa sulla natura dei valori della funzione β per argomenti interi positivi pari. Tuttavia T. Rivoal e W. Zudilin dimostrarono nel 2003 che almeno uno tra β(2), β(4), β(6), β(8), β(10), β(12), β(14) è irrazionale.

 

Per argomenti interi negativi pari, Valore della funzione β per argomenti interi negativi pari, dove En è l’n-esimo numero di Eulero, quindi è un numero razionale con denominatore 2.

 

Per argomenti interi negativi dispari è zero.

 

Alcune formule:

Formula per il calcolo della funzione β; questa formula permette di estendere il calcolo ad argomenti reali negativi;

Formula per il calcolo della funzione β per x > 0;

Formula che coinvolge la funzione β e in particolare Formula che coinvolge la funzione β, dove C è la costante di Catalan;

Formula per il calcolo della funzione β, dove il primo prodotto va calcolato sui primi della forma 4n + 1, il secondo su quelli della forma 4n + 3 e il terzo su tutti i primi tranne 2.

 

La derivata può essere calcolata in modo relativamente semplice per argomenti interi: Formula per la derivata della funzione β con argomenti interi per n intero. In particolare: Formula per β'(-1), dove K è la costante di Catalan, Formula per β'(0) e Formula per β'(1).

 

La funzione appare in un interessante integrale: Integrale che coinvolge la funzione β.

 

La figura mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione β

La funzione ha oscillazioni di ampiezza crescente per x tendente a meno infinito e tende a 1 per x tendente a infinito.

 

La tabella seguente riporta i valori per alcuni argomenti interi.

n

β(n)

–20

Valore di β(-20) 

–19

0

–18

Valore di β(-18) 

–17

0

–16

Valore di β(-16) 

–15

0

–14

Valore di β(-14) 

–13

0

–12

Valore di β(-12) 

–11

0

–10

Valore di β(-10) 

–9

0

–8

Valore di β(-8) 

–7

0

–6

Valore di β(-6) 

–5

0

–4

Valore di β(-4) 

–3

0

–2

Valore di β(-2) 

–1

0

0

Valore di β(0) 

1

0.7853981634

2

0.9159655942

3

0.9689461463

4

0.9889445517

5

0.9961578281

6

0.9986852222

7

0.9995545079

8

0.9998499902

9

0.9999496842

10

0.9999831640

11

0.9999943750

12

0.9999981224

13

0.9999993736

14

0.9999997911

15

0.9999999303

16

0.9999999768

17

0.9999999923

18

0.9999999974

19

0.9999999991

20

0.9999999997

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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