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α(z) è la funzione alpha, definita come la somma dei reciproci dei numeri naturali da 1 a infinito, elevati alla z, a segni alternati: Formula per la definizione della funzione α, per z diverso da 0.

Dirichlet la chiamò funzione η (eta) ed è talvolta chiamata ζ* o funzione ζ alternata.

 

E’ strettamente legata alla funzione ζ di Riemann dalla formula α(z) = (1 – 21 – z)ζ(z), che permette di estenderne il calcolo ad argomenti reali negativi e complessi.

In particolare: Valore di α(0), α(1) = log2 ≈ 0.6931471806, Valore di α(2), Valore di α(3), Valore di α(4), Valore di α(5).

Dalla definizione si ricava inoltre α’(z) = 21 – z(log2)ζ(z) + (1 – 21 – z)ζ’(z) e Limite della derivata di α(x) per x tendente a zero.

 

La derivata n-esima di α(x) per x = 1 si può calcolare tramite la serie Serie per la derivata n-esima di α(x), dove γn è l’n-esima costante di Stieltjes, e in particolare α’(1)α"(1) (W.E. Briggs e S. Chowla, 1955).

 

La funzione è legata ad alcuni integrali:

Integrale che coinvolge la funzione α, per n intero maggiore di zero;

Integrale che coinvolge la funzione α;

Integrale che coinvolge la funzione α.

 

Come la funzione ζ, per argomenti interi positivi pari 2n, è un multiplo razionale di π2n: Valore di α(2n).

 

Per argomenti interi negativi dispari è un numero razionale, con denominatore uguale a una potenza di 2 ed è zero per argomenti interi negativi pari.

Gli zeri si trovano in corrispondenza di quelli della funzione ζ e sulla retta Re(z) = 1, in corrispondenza dei valori Zeri della funzione α, per qualsiasi valore intero di n diverso da zero.

 

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della parte immaginaria del primo zero della funzione α con Re(z) = 1.

 

La figura mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione α

 

La tabella seguente riporta i valori per alcuni argomenti interi.

n

α(n)

–20

0

–19

Valore di α(-19) 

–18

0

–17

Valore di α(-17) 

–16

0

–15

Valore di α(-15) 

–14

0

–13

Valore di α(-13) 

–12

0

–11

Valore di α(-11) 

–10

0

–9

Valore di α(-9) 

–8

0

–7

Valore di α(-7) 

–6

0

–5

Valore di α(-5) 

–4

0

–3

Valore di α(-3) 

–2

0

–1

Valore di α(-1) 

0

Valore di α(0)

1

log2 ≈ 0.6931471806

2

0.8224670334

3

0.9015426774

4

0.9470328295

5

0.9721197704

6

0.9855510913

7

0.9925938199

8

0.9962330019

9

0.9980942975

10

0.9990395076

11

0.9995171435

12

0.9997576851

13

0.9998785428

14

0.9999391703

15

0.9999695512

16

0.9999847642

17

0.9999923783

18

0.9999961879

19

0.9999980935

20

0.9999990466

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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