Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

α(z) è la funzione alpha, definita come la somma dei reciproci dei numeri naturali da 1 a infinito, elevati alla z, a segni alternati: Formula per la definizione della funzione α, per z diverso da 0.

Dirichlet la chiamò funzione η (eta) ed è talvolta chiamata ζ* o “funzione ζ alternata”.

 

E’ strettamente legata alla funzione ζ di Riemann dalla formula α(z) = (1 – 21 – z)ζ(z), che permette di estenderne il calcolo ad argomenti reali negativi e complessi.

In particolare: Valore di α(0), α(1) = log2 ≈ 0.6931471806, Valore di α(2), Valore di α(3), Valore di α(4), Valore di α(5).

Dalla definizione si ricava inoltre α’(z) = 21 – z(log2)ζ(z) + (1 – 21 – z)ζ’(z) e Limite della derivata di α(x) per x tendente a zero.

 

La derivata n-esima di α(x) per x = 1 si può calcolare tramite la serie Serie per la derivata n-esima di α(x), dove γn è l’n-esima costante di Stieltjes, e in particolare α’(1)α"(1) (W.E. Briggs e S. Chowla, 1955).

 

La funzione è legata ad alcuni integrali:

Integrale che coinvolge la funzione α, per n intero maggiore di zero;

Integrale che coinvolge la funzione α;

Integrale che coinvolge la funzione α.

 

Come la funzione ζ, per argomenti interi positivi pari 2n il valore è un multiplo razionale di π2n: Valore di α(2n).

 

Per argomenti interi negativi dispari è un numero razionale, con denominatore uguale a una potenza di 2 ed è zero per argomenti interi negativi pari.

Gli zeri si trovano in corrispondenza di quelli della funzione ζ e sulla retta Re(z) = 1, in corrispondenza dei valori Zeri della funzione α, per qualsiasi valore intero di n diverso da zero.

 

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della parte immaginaria del primo zero della funzione α con Re(z) = 1.

 

La figura mostra una parte del grafico della funzione α(x).

 

Grafico della funzione α

 

La funzione ha oscillazioni di ampiezza crescente per x tendente a meno infinito e tende a 1 per x tendente a infinito.

 

La tabella seguente riporta i valori per alcuni argomenti interi.

n

α(n)

–20

0

–19

Valore di α(-19) 

–18

0

–17

Valore di α(-17) 

–16

0

–15

Valore di α(-15) 

–14

0

–13

Valore di α(-13) 

–12

0

–11

Valore di α(-11) 

–10

0

–9

Valore di α(-9) 

–8

0

–7

Valore di α(-7) 

–6

0

–5

Valore di α(-5) 

–4

0

–3

Valore di α(-3) 

–2

0

–1

Valore di α(-1) 

0

Valore di α(0)

1

log2 ≈ 0.6931471806

2

0.8224670334

3

0.9015426774

4

0.9470328295

5

0.9721197704

6

0.9855510913

7

0.9925938199

8

0.9962330019

9

0.9980942975

10

0.9990395076

11

0.9995171435

12

0.9997576851

13

0.9998785428

14

0.9999391703

15

0.9999695512

16

0.9999847642

17

0.9999923783

18

0.9999961879

19

0.9999980935

20

0.9999990466

 

La funzione α(z) si annulla in corrispondenza di tutti gli zeri della funzione ζ e per z = 1 + i * 2 * π * n / log(2), per n intero non nullo, anche negativo.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.