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La funzione rk(n) è il numero di modi per rappresentare n come somma di k quadrati anche nulli, contando separatamente i diversi ordini degli addendi e i loro segni. Per esempio:

  • r2(1) = 4, perché 1 = 02 + 12 = 0 + (–1)2 = 12 + 02 = (–1)2 + 02;
  • r3(4) = 6, perché 4 = (±2)2 + 02 + 02 = 02 + (±2)2 + 02 = 02 + 02 + (±2)2;
  • r2(5) = 8, perché 5 = (±1)2 + (±2)2 = (±2)2 + (±1)2.

 

Si tratta di una funzione molto studiata, in connessione al problema di rappresentare un intero come somma di quadrati, soprattutto per i primi valori di k.

 

La funzione è piuttosto irregolare; per esempio, r2(n) assume infinite volte il valore zero, per i numeri non rappresentabili come somma di 2 quadrati, ma anche valori arbitrariamente grandi.

 

P.T. Bateman dimostrò nel 1969 e nel 1972 che:

  • Formula per una funzione moltiplicativa è moltiplicativa se e solo se k è 1, 2, 4 o 8;

  • Formula per una funzione moltiplicativa è moltiplicativa se e solo se k non è maggiore di 8;

  • rk(n) è un polinomio in k di grado n le cui radici reali non superano Trentun sesti.

 

Il calcolo della funzione in generale non è semplice: Jacobi (1829) trovò formule per rk(n) per k uguale a 2, 4, 6 e 8; le soluzioni per k uguale a 10 e 12 furono trovate da Liouville (1864 e 1866). Successivamente furono trovate altre formule per valori maggiori (pari) di k, al prezzo di introdurre funzioni modulari (Eisenstein e Glaisher, 1907).

Infine Boulyguine (1915) trovò una formula generale per k pari, contenente solo funzioni aritmetiche.

Il caso k = 3 fu risolto da Dirichlet, mentre i casi k = 5 e k = 7 furono risolti da Eisenstein, Smith, e Minkowski.

Mordell, Hardy e Ramanujan svilupparono un metodo applicabile a tutti i valori dispari di k.

 

Nel 1996 Stephen C. Milne scoprì formule molto generali, ma anche estremamente complesse, per determinare in numero di modi per esprimere un intero come somma di quadrati e come somma di numeri triangolari.

 

Se Scomposizione di n come prodotto di potenze di primi distinti, dove i vari p sono primi della forma 4k + 1 e i fattori primi di q sono tutti della forma 4k + 3, allora Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di due quadrati, dove dm(n) è la somma dei divisori di n della forma 4k + m. La formula implica che d1(n) ≥ d3(n) per ogni n composto.

Quindi in particolare un numero è rappresentabile come somma di due quadrati se e solo se nella sua scomposizione tutti i fattori primi della forma 4k + 3 compaiono con esponente pari.

Come si vede dalle formule, r2(n) è sempre un multiplo di 4.

 

r2(n) soddisfa alcune identità a dir poco inattese:

  • Identità coinvolgente il numero di rappresentazioni di n come somma di due quadrati, dove a e b sono arbitrari numeri complessi con parte reale maggiore di zero;

  • Identità coinvolgente il numero di rappresentazioni di n come somma di due quadrati;

  • Identità coinvolgente il numero di rappresentazioni di n come somma di due quadrati, dove J1(x) è la funzione di Bessel di prima specie.

 

Per quadrati uguali alla somma di due quadrati v. anche numeri poligonali e numeri pitagorici (I).

 

Gauss dimostrò che se n non è multiplo di quadrati e h(n) è il numero di classe di n:

  • r3(n) = 24h(–n), se n mod 8 = 3;

  • r3(n) = 0, se n mod 8 = 7;

  • r3(n) = 12h(–4n) altrimenti.

 

Definendo R(n) come Formula per la definizione di R(n), se n ≡ 1 mod 4, Formula per la definizione di R(n), se n ≡ 3 mod 4, dove Simbolo di Jacobi (n | k) è il simbolo di Jacobi, vale Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di tre quadrati.

 

Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di quattro quadrati (Jacobi), quindi se n = 2km con k > 0 e m dispari, r4(n) = 24σ(m).

 

Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di sei quadrati, dove χ(n) è 0 se n è pari, 1 se ha la forma 4k + 1 e –1 se ha la forma 4k –1.

 

Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di otto quadrati.

 

Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di sedici quadrati, dove Formula per la definizione di σ'(n).

 

 Formula per il numero di rappresentazioni di n come somma di ventiquattro quadrati, dove Formula per la definizione di σ"(n).

 

E’ stato dimostrato che:

  • Limite della media del numero di rappresentazioni di k come somma di due quadrati e in generale Limite della media del numero di rappresentazioni di k come somma di due quadrati, dove Volume di una sfera a s dimensioni è il volume di una sfera di raggio 1 a s dimensioni (v. anche costanti di Hermite);

  • Somma del numero di rappresentazioni di k come somma di due quadrati diviso k tende a π(K + logn);

  • Media del numero di rappresentazioni del quadrato di k come somma di due quadrati tende a Valore del limite della media del numero di rappresentazioni del quadrato di k come somma di due quadrati, dove Formula per la definizione di Ŝ (Sierpiński, 1908);

  • Media del quadrato del numero di rappresentazioni di k come somma di due quadrati tende a 4(logn + S’)n, dove Formula per la definizione di S’ (Sierpiński, 1908).

In queste formule K è la costante di Sierpiński.

 

Il numero di scomposizioni come somma di due quadrati, ignorando i segni e l’ordine è Numero di scomposizioni di n come somma di due quadrati, ignorando i segni e l’ordine, se r2(n) è un multiplo di 8, Numero di scomposizioni di n come somma di due quadrati, ignorando i segni e l’ordine altrimenti, dove a è l’esponente della massima potenza di 2 che divida n.

Il numero di scomposizioni come somma di uno o due quadrati, ignorando i segni, ma considerando l’ordine degli addendi è Numero di scomposizioni di n come somma di uno o due quadrati, ignorando i segni.

 

Vedi anche

Quadrati.

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