Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

M(x) è la “funzione di Mertens”, definita come la somma dei primi n valori della funzione μ di Möbius: Formula per la definizione della funzione M.

 

Non si conosce una formula per calcolarla efficientemente, tuttavia Titchmarsh dimostrò nel 1960 che se l’ipotesi di Riemann è vera e la funzione ζ non ha zeri multipli, allora esiste una sequenza Tk, con kTkk + 1, tale che Formula per il calcolo della funzione M, dove Zero non banale della funzione ζ è uno degli zeri non banali della funzione ζ, γ è la sua parte immaginaria e la seconda somma va calcolata su tutti gli zeri tali che |γ| < Tk.

 

Alcune formule:

Formula che coinvolge la funzione M, dove C è una curva chiusa che circonda tutte le radici di ζ(s);

Formula che coinvolge la funzione M per Re(s) > 1.

 

La funzione oscilla intorno allo zero, cambiando segno infinite volte, con oscillazioni che crescono lentamente.

La tabella seguente mostra il numero di zeri della funzione tra uno e alcuni limiti superiori.

Limite superiore

Numero di zeri

1

1

10

6

102

92

103

406

104

1549

105

5361

106

12546

107

41908

108

141121

 

Curiosamente, M(n) è il determinante della matrice di Redheffer n×n, nelle quali l’elemento amn è 1 se m divide n o n è 1, 0 altrimenti. Per esempio, la matrice di Redheffer 12 × 12 è Matrice di Redheffer 12 × 12. Tali matrici hanno Numero di autovalori di una matrice di Redheffer n × n autovalori unitari.

 

Nel 1885 Stieltjes scrisse a Hermite che aveva dimostrato che è Valore assoluto di M(n) diviso radice quadrata di n una funzione limitata e riteneva che il massimo valore fosse inferiore a 1. Questo equivale a dire che tra gli interi minori di n e non multipli di un quadrato, la differenza tra il numero di quelli con un numero dispari di fattori primi e quelli con un numero pari è inferiore a Radice quadrata di n.

La dimostrazione non fu però mai pubblicata e quando Mertens pubblicò una tabella con i valori sino a 10000, suggerendo gli stessi limiti, questa divenne nota come “congettura di Mertens”.

 

Nel 1987 von Sterneck propose la congettura che |M(n)| < sqrt(n) / 2, per n > 200; questa versione fu dimostrata falsa da Jurkat nel 1961.

 

Nel 1985 A.M. Odlyzko e Hermanus Johannes Joseph te Riele dimostrarono che la congettura di Mertens è falsa, nel senso che esistono valori di n che rendono la funzione maggiore di 1.06 e minore di –1.009.

Gli esperti ritengono tuttavia che un limite ai valori del rapporto esista e in questa forma resta una congettura aperta.

 

E’ stato dimostrato che Limite di M(n) / n = 0 per n tendente a infinito, ma il miglior limite numerico noto è solo |M(n)| ≤ n / 2360 per n ≥ 617974 (F. Dress e M. El Marrani, 1993).

 

La tabella seguente mostra i primi valori della funzione.

n

M(n)

1

1

2

0

3

–1

4

–1

5

–2

6

–1

7

–2

8

–2

9

–2

10

–1

11

–2

12

–2

13

–3

14

–2

15

–1

16

–1

17

–2

18

–2

19

–3

20

–3

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione per alcune potenze di dieci.

n

M(n)

1

1

10

–1

102

1

103

2

104

–23

105

–48

106

212

107

1037

108

1928

109

–222

1010

–33722

1011

–87856

1012

62366

1013

599582

1014

–875575

1015

–3216373

1016

–3195437

1017

–21830259

 

Tabelle numeriche

I primi valori della funzione M.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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