Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

μ(n) è la funzione di Möbius, che vale:

  • 0, se n è il prodotto di fattori primi distinti non tutti differenti, cioè è multiplo di un quadrato;

  • 1, se n è 1 o è il prodotto di un numero pari di fattori primi distinti;

  • –1, se n è è il prodotto di un numero dispari di fattori primi distinti.

Pertanto μ(1) = 1, μ(p) = –1, se p è primo, μ(xy) = μ(x)μ(y), se x e y sono primi tra loro e la funzione è moltiplicativa.

 

Dalla definizione segue che μ(n) + μ(2n) = 0, per n dispari.

 

La notazione venne introdotta da Mertens nel 1874, in onore di Möbius, che la definì nel 1832, prendendo la prima lettera del cognome, nell’alfabeto greco.

 

Se Formula per la definizione della funzione FFormula per la definizione della funzione f (formula di inversione di Möbius).

 

Se f(n) è una funzione moltiplicativa e p1, p2, ... pm sono i fattori primi distinti di n, Formula che coinvolge la funzione μ.

 

Esiste una formula per calcolare μ(n) senza conoscere la scomposizione di n in fattori primi, anche se in pratica molto inefficiente: Formula per calcolare la funzione μ.

 

Alcune somme che coinvolgono la funzione μ:

Somma che coinvolge la funzione μ, per n > 1;

Somma che coinvolge la funzione μ;

Somma che coinvolge la funzione μ;

Somma che coinvolge la funzione μ (Landau, 1899);

Somma che coinvolge la funzione μ, per |x| < 1;

Somma che coinvolge la funzione μ, dove il prodotto va calcolato per tutti i numeri primi, vale per qualsiasi per z complesso diverso da uno, e in particolare Somma che coinvolge la funzione μ;

Somma che coinvolge la funzione μ per k > 1 (la somma va di fatto calcolata solo sugli interi non multipli di quadrati) e in particolare Somma che coinvolge la funzione μ;

Somma che coinvolge la funzione μ; la somma è uguale al numero di interi minori di n e non divisibili per un quadrato, che tende quindi a Limite cui tende la frazione degli interi non multipli di un quadrato;

Somma che coinvolge la funzione μ;

Somma che coinvolge la funzione μ, per 0 < x < 1 (Robert P. Schneider), e in particolare Somma che coinvolge la funzione μ.

 

Vale inoltre l’interessante prodotto infinito Prodotto che coinvolge la funzione μ.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

μ(n)

1

1

2

–1

3

–1

4

0

5

–1

6

1

7

–1

8

0

9

0

10

1

11

–1

12

0

13

–1

14

1

15

1

16

0

17

–1

18

0

19

–1

20

0

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