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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore
  4. 4. Approssimazioni

Non è semplice calcolare il valore di γ con elevata precisione: non si conoscono, per esempio, algoritmi a convergenza quadratica, tuttavia la storia del calcolo del valore di questa costante, relativamente giovane, conta già vari capitoli.

 

Per oltre due secoli il principale metodo utilizzato per il calcolo fu l’approssimazione di Eulero Approssimazione di Eulero per il calcolo di γ; Eulero stesso nel 1736 calcolò 16 cifre decimali della costante con n = 10.

 

Mascheroni nel 1790 calcolò le prime 32 cifre, solo 19 delle quali corrette.

 

Nel 1809 Johann von Soldner (1766 – 1833), ricalcolando la costante si trovò in disaccordo col valore dato da Mascheroni dopo la diciannovesima cifra.

 

Nel 1812 il giovane calcolatore prodigio Nicolai (1793 – 1846), sotto la supervisione di Gauss, calcolò 40 cifre, confermando il calcolo di von Soldner, usando la formula di Eulero con n = 50 e n = 100.

 

Nel 1962 Donald Ervin Knuth utilizzò un calcolatore per arrivare a 1271 cifre con n = 10000.

 

Sweneey ne calcolò 3566 cifre usando l’approssimazione Approssimazione per il calcolo di γ, dove α è la soluzione dell’equazione α(logα – 1) = 1 e vale circa 3.5911214767, che dà un errore dell’ordine di en.

Un’approssimazione più promettente per il calcolo di molte cifre di γ è Approssimazione per il calcolo di γ, dove β è la soluzione dell’equazione β(logβ – 1) = 3 e vale circa 4.9706257595, che dà un errore dell’ordine di e–4n.

La formula può essere trasformata in una procedura iterativa: si inizia con u0 = a0 = –logn, b0 = 1, v0 = 1, poi si calcolano Formula per il calcolo di b(k), Formula per il calcolo di a(k), uk = uk – 1 + ak, vk = vk – 1 + bk e si ottiene un’approssimazione di γ come Formula per l'approssimazione di γ, dove Formula peril calcolo di λ e d è il numero di cifre desiderate.

 

Migliorando la formula si ottiene Approssimazione per il calcolo di γ, che dà un errore dell’ordine di e–8n. Con questa Xavier Gourdon calcolo; nel 1999 oltre 108 milioni di cifre di γ.

 

Una formula più generale è Approssimazione per il calcolo di γ per m > 0, che però permette al massimo di arrivare a un errore dell’ordine di e–4.5n per m = 3.

 

La tabella riassume i principali record nel calcolo delle cifre decimali.

Cifre

Anno

Autore

5

1734

L. Eulero

16

1736

L. Eulero

19

1790

Lorenzo Mascheroni

22

1809

J. von Soldner

22

1811

Carl Friedrich Gauss

40

1812

Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai

19

1825

A.M. Legendre

34

1857

Christian Fredrik Lindman

41

1861

Ludwig Oettinger

49

1867

William Shanks

59

1869

William Shanks

99

1871

James Whitbread Lee Glaisher

110

1871

William Shanks

262

1877

John Couch Adams

328

1952

John William Wrench, Jr.

1050

1961

Helmut Fischer and Karl Zeller

1271

1962

Donald Ervin Knuth

3566

1962

Dura W. Sweeney

4879

1973

William A. Beyer e Michael S. Waterman

20,700

1977

Richard Peirce Brent

30,100

1980

Richard Peirce Brent e Edwin Mattison McMillan

172,000

1993

Jonathan Michael Borwein

1,000,000

1997

T. Papanikolaou

7,286,255

1998

Xavier Gourdon

108,000,000

1999

Xavier Gourdon e P. Demichel

116,580,041

2006

Alexander J. Yee

29,844,489,545

2009

Alexander J. Yee e Raymond Chan

 

Papanikolaou calcolò anche i primi 470006 termini dello sviluppo di γ come frazione continua, per dedurre un limite inferiore per il numero di cifre del denominatore, se la costante fosse razionale.

 

Qui trovate 1,000,000 di cifre decimali di γ (1 Mbyte).

Vedi anche

Costanti di Stieltjes.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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