γ

Non è semplice calcolare il valore di γ con elevata precisione: non si conoscono, per esempio, algoritmi a convergenza quadratica, tuttavia la storia del calcolo del valore di questa costante, relativamente giovane, conta già vari capitoli.

 

Per oltre due secoli il principale metodo utilizzato per il calcolo fu l’approssimazione di Eulero ; Eulero stesso nel 1736 calcolò 16 cifre decimali della costante con n = 10.

 

Mascheroni nel 1790 calcolò le prime 32 cifre, solo 19 delle quali corrette.

 

Nel 1809 Johann von Soldner (1766 – 1833), ricalcolando la costante si trovò in disaccordo col valore dato da Mascheroni dopo la diciannovesima cifra.

 

Nel 1812 il giovane calcolatore prodigio Nicolai (1793 – 1846), sotto la supervisione di Gauss, calcolò 40 cifre, confermando il calcolo di von Soldner, usando la formula di Eulero con n = 50 e n = 100.

 

Nel 1962 Donald Ervin Knuth utilizzò un calcolatore per arrivare a 1271 cifre con n = 10000.

 

Sweneey ne calcolò 3566 cifre usando l’approssimazione , dove α è la soluzione dell’equazione α(logα – 1) = 1 e vale circa 3.5911214767, che dà un errore dell’ordine di e^–n.

Un’approssimazione più promettente per il calcolo di molte cifre di γ è , dove β è la soluzione dell’equazione β(logβ – 1) = 3 e vale circa 4.9706257595, che dà un errore dell’ordine di e^–4n.

La formula può essere trasformata in una procedura iterativa: si inizia con u₀ = a₀ = –logn, b₀ = 1, v₀ = 1, poi si calcolano , , u_k = u_{k – 1} + a_k, v_k = v_{k – 1} + b_k e si ottiene un’approssimazione di γ come , dove  e d è il numero di cifre desiderate.

 

Migliorando la formula si ottiene , che dà un errore dell’ordine di e^–8n. Con questa Xavier Gourdon calcolo; nel 1999 oltre 108 milioni di cifre di γ.

 

Una formula più generale è  per m > 0, che però permette al massimo di arrivare a un errore dell’ordine di e^–4.5n per m = 3.

 

La tabella riassume i principali record nel calcolo delle cifre decimali.

Cifre	Anno	Autore
5	1734	L. Eulero
16	1736	L. Eulero
19	1790	Lorenzo Mascheroni
22	1809	J. von Soldner
22	1811	Carl Friedrich Gauss
40	1812	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai
19	1825	A.M. Legendre
34	1857	Christian Fredrik Lindman
41	1861	Ludwig Oettinger
49	1867	William Shanks
59	1869	William Shanks
99	1871	James Whitbread Lee Glaisher
110	1871	William Shanks
262	1877	John Couch Adams
328	1952	John William Wrench Jr.
1050	1961	Helmut Fischer and Karl Zeller
1271	1962	Donald Ervin Knuth
3566	1962	Dura W. Sweeney
4879	1973	William A. Beyer e Michael S. Waterman
20,700	1977	Richard Peirce Brent
30,100	1980	Richard Peirce Brent e Edwin Mattison McMillan
172,000	1993	Jonathan Michael Borwein
1,000,000	1997	T. Papanikolaou
7,286,255	1998	Xavier Gourdon
108,000,000	1999	Xavier Gourdon e P. Demichel
116,580,041	2006	Alexander J. Yee
29,844,489,545	2009	Alexander J. Yee e Raymond Chan

 

Papanikolaou calcolò anche i primi 470006 termini dello sviluppo di γ come frazione continua, per dedurre un limite inferiore per il numero di cifre del denominatore, se la costante fosse razionale.

 

Qui trovate 1,000,000 di cifre decimali di γ (1 Mbyte).

 

Per sequenze di cifre uguali consecutive v. sequenze di Earls.

Vedi anche

Costanti di Eulero – Lehmer, Costanti di Stieltjes.

Bibliografia

• Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

  Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

• Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

  Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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