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(lettera greca gamma)
Detta anche “costante di Eulero – Mascheroni”.
Eulero la definì nel 1734 in De Progressionibus harmonicis observationes (Osservazioni sulle progressioni armoniche) come 
, utilizzando come simbolo la lettera C o la lettera O.
Mascheroni nel 1790 la indicò con le lettere a e A, ma infine prevalse il nome γ, datole da altri matematici per i suoi legami con la funzione Γ.
La prima occorrenza che abbia trovato del nome moderno risale al 1835 e si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider (27/5/1808 – 6/11/1878).
Importanti (e innumerevoli) le occorrenze nella teoria dei numeri, in particolar modo quando si tratta di numeri primi e divisori. Riporto solo alcuni esempi:
-
la somma degli interi, il quadrato dei quali divide n, tende in media a
; -
il prodotto di
calcolato sui primi minori di n tende a 
; -
L. Dirichlet dimostrò nel 1838 che la media del numero di divisori degli interi non superiori a n, cioè
, cresce come logn + 2γ – 1; -
se si prende un numero n a caso e lo si divide per gli interi minori di n, si ottengono numeri della forma
, con b < p; le parti frazionarie sembrano distribuite apparentemente a caso e ci si potrebbe quindi aspettare che la loro media sia 
, ma de La Vallée Poussin dimostrò nel 1898 che tende a 1 – γ; più precisamente, 
.
La costante compare in molte situazioni che coinvolgono numeri armonici, anche nel calcolo delle probabilità.
Per esempio, supponiamo di generare n variabili casuali, con identica distribuzione continua di probabilità, e contiamo quante volte l’ultima generata è maggiore di tutte le precedenti; se chiamiamo Rn tale numero, e E(Rn) il suo valore atteso, 
.
Oppure supponiamo di voler completare una collezione di n figurine, pescandone a caso una alla volta: il valore atteso E(Rn) del numero di tentativi necessari per completare la raccolta soddisfa la relazione 
.
Altre apparizioni di γ sono più inattese: per esempio, se prendiamo una permutazione a caso di n oggetti, al crescere di n la probabilità che non contenga due cicli di uguale lunghezza (si vedano i numeri di Stirling di prima specie per le definizioni), tende a e–γ.
E’ probabilmente irrazionale, forse trascendente, ma tutto ciò che possiamo dire oggi è che se è razionale, il denominatore ha almeno 242080 cifre (Papanikolaou 1997).
Si narra che Hardy si dichiarò pronto a lasciare la sua cattedra di Cambridge se qualcuno fosse riuscito a dimostrarne l’irrazionalità, tuttavia non esistono testimonianze scritte né Hardy citò mai nei suoi scritti questa affermazione, che potrebbe essere una leggenda.
Conway e Guy si dichiararono pronti a scommettere che sia trascendente e sicuri di non vivere abbastanza da vedere la dimostrazione.
Un primo passo verso la dimostrazione dell’irrazionalità fu compiuto da Jonathan Sondow che nel 2003 dimostrò che γ è irrazionale se 
, dove dn indica il minimo comune multiplo degli interi da 1 a n e ||x|| indica la differenza tra x e l’intero più vicino. Calcoli effettuati indicano che il limite potrebbe essere zero, ma siamo lontani da una dimostrazione.
Bibliografia
- Berggren, Lenhart; Borwein, Jonathan Michael; Borwein, Peter Benjamin; Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -
Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.
- Havil, Julian; Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -
Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.