Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore
  4. 4. Approssimazioni

(lettera greca gamma)

 

Detta anche “costante di Eulero – Mascheroni”.

 

Eulero la definì nel 1734 in De Progressionibus harmonicis observationes (Osservazioni sulle progressioni armoniche) come Formula per la definizione di γ, utilizzando come simbolo la lettera C o la lettera O.

Mascheroni nel 1790 la indicò con le lettere a e A, ma infine prevalse il nome γ, datole da altri matematici per i suoi legami con la funzione Γ.

La prima occorrenza che abbia trovato del nome moderno risale al 1835 e si deve al matematico tedesco Carl Anton Bretschneider (27/5/1808 – 6/11/1878).

 

Importanti (e innumerevoli) le occorrenze nella teoria dei numeri, in particolar modo quando si tratta di numeri primi e divisori. Riporto solo alcuni esempi:

  • la somma degli interi, il quadrato dei quali divide n, tende in media a Limite cui tende la somma degli interi il qui quadrato divide n;

  • il prodotto di Termine del prodotto calcolato sui primi minori di n tende a Limite cui tende il prodotto;

  • L. Dirichlet dimostrò nel 1838 che la media del numero di divisori degli interi non superiori a n, cioè Media del numero di divisori degli interi non superiori a n, cresce come logn + 2γ – 1;

  • se si prende un numero n a caso e lo si divide per gli interi minori di n, si ottengono numeri della forma a più b diviso p, con b < p; le parti frazionarie sembrano distribuite apparentemente a caso e ci si potrebbe quindi aspettare che la loro media sia Un mezzo, ma de La Vallée Poussin dimostrò nel 1898 che tende a 1 – γ; più precisamente, Limite della media del complemento a 1 delle parti frazionarie.

 

La costante compare in molte situazioni che coinvolgono numeri armonici, anche nel calcolo delle probabilità.

Per esempio, supponiamo di generare n variabili casuali, con identica distribuzione continua di probabilità, e contiamo quante volte l’ultima generata è maggiore di tutte le precedenti; se chiamiamo Rn tale numero, e E(Rn) il suo valore atteso, Limite cui tende il valore atteso del numero di variabili maggiori delle precedenti.

Oppure supponiamo di voler completare una collezione di n figurine, pescandone a caso una alla volta: il valore atteso E(Rn) del numero di tentativi necessari per completare la raccolta soddisfa la relazione Limite cui tende il valore atteso del numero di tentativi.

Altre apparizioni di γ sono più inattese: per esempio, se prendiamo una permutazione a caso di n oggetti, al crescere di n la probabilità che non contenga due cicli di uguale lunghezza (si vedano i numeri di Stirling di prima specie per le definizioni), tende a e–γ.

 

E’ probabilmente irrazionale, forse trascendente, ma tutto ciò che possiamo dire oggi è che se è razionale, il denominatore ha almeno 242080 cifre (Papanikolaou 1997).

Si narra che Hardy si dichiarò pronto a lasciare la sua cattedra di Cambridge se qualcuno fosse riuscito a dimostrarne l’irrazionalità, tuttavia non esistono testimonianze scritte né Hardy citò mai nei suoi scritti questa affermazione, che potrebbe essere una leggenda.

Conway e Guy si dichiararono pronti a scommettere che sia trascendente e sicuri di non vivere abbastanza da vedere la dimostrazione.

 

Un primo passo verso la dimostrazione dell’irrazionalità fu compiuto da Jonathan Sondow che nel 2003 dimostrò che γ è irrazionale se Limite per dimostrare l'irrazionalità di γ, dove dn indica il minimo comune multiplo degli interi da 1 a n e ||x|| indica la differenza tra x e l’intero più vicino. Calcoli effettuati indicano che il limite potrebbe essere zero, ma siamo lontani da una dimostrazione.

Vedi anche

Costanti di Stieltjes.

Bibliografia

  • Berggren, Lenhart;  Borwein, Jonathan Michael;  Borwein, Peter Benjamin;  Pi: a Source Book, Springer-Verlag, 1997 -

    Tutto su π, ma non solo. Contiene anche un articolo di J. Todd sulla costante della lemniscata e un articolo di David A. Cox sulla media aritmetico-geometrica di Gauss.

  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

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