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Stieltjes (costanti di)

Analisi 

La funzione ζ può essere espressa come somma di una serie infinita per ogni numero complesso, partendo dal suo polo semplice per z = 1: Sviluppo in serie di potenze della funzione ζ. I coefficienti γn che compaiono nell’espressione sono numeri reali chiamati “costanti di Stieltjes”; in particolare γ0 = γ.

 

Alcune formule per il calcolo delle costanti di Stieltjes:

Formula per il calcolo di γ(1);

Formula per il calcolo di γ(1) (Olivier Oloa, 2014);

Formula per il calcolo di γ(1) (Hardy 1912);

Formula per il calcolo di γ(1) (Donald F. Connon, 2009);

Formula per il calcolo di γ(1) (Mark W. Coffey, 2010);

Formula per il calcolo di γ(1) (Mark W. Coffey, 2010);

Formula per il calcolo di γ(1) (Iaroslav V. Blagouchine, 2015);

Formula per il calcolo di γ(1) (M.W. Coffey, 2007);

Formula per il calcolo di γ(1);

Formula per il calcolo di γ(1) (Donald F. Connon, 2011);

Formula per il calcolo di γ(1) (Donald F. Connon, 2009);

Formula per il calcolo di γ(1) (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(1) (J. Franel, 1895);

Formula per il calcolo di γ(1) (si veda la formula simile per γ);

Formula per il calcolo di γ(1), per n intero e maggiore di 1 (Mark W. Coffey, 2010);

Formula per il calcolo di γ(2) (Donald F. Connon, 2009);

Formula per il calcolo di γ(2) (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(2);

Formula per il calcolo di γ(2) (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(3);

Formula per il calcolo di γ(3) (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(3) (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(n), dove Bn(x) è l’n-esimo polinomio di Bernoulli;

Formula per il calcolo di γ(n) (Donald F. Connon, 2009), dove Bn è l’n-esimo numero di Bernoulli;

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 1, dove Bn(x) è l’n-esimo polinomio di Bernoulli (J.C. Kluyver 1927);

Formula per il calcolo di γ(n) (Iaroslav V. Blagouchine, 2015);

Formula per il calcolo di γ(n) (Donald F. Connon, 2009);

Formula per il calcolo di γ(n) (Iaroslav V. Blagouchine, 2016);

Formula per il calcolo di γ(n), dove bn è un numero di Bernoulli di seconda specie (Iaroslav V. Blagouchine, 2016);

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 0, dove Nn è un numero di Nørlund (Iaroslav V. Blagouchine, 2016);

Formula per il calcolo di γ(n) (M.W. Coffey, 2006);

Formula per il calcolo di γ(n) (W.E. Briggs, 1955);

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 1;

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 0 (O.R. Ainsworth e L.W. Howell, 1985);

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 1 (J. Franel, 1895);

Formula per il calcolo di γ(n), per n > 0 (O.R. Ainsworth e L.W. Howell, 1985);

Formula per il calcolo di γ(n) (T.J. Osler, 2004) e in particolare Formula per il calcolo di γ(1);

Formula per il calcolo di γ(n), dove Bn(x1, x2, x3, …, xn è un polinomio completo di Bell (Donald F. Connon, 2011);

Formula per il calcolo di γ(2 * n), per n > 0 (Junesang Choi, 2013);

Formula per il calcolo di γ(2 * n + 1) (Junesang Choi, 2013).

 

Alcune somme che coinvolgono le costanti di Stieltjes:

Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes (Roberto Tauraso, 2014);

Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes (Mark W. Coffey, 2005);

Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes, dove ζ(n) è la derivata n-esima della funzione ζ (O. Marichev, 2008) e in particolare Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes;

Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes, per |z| < 1;

Somma che coinvolge le costanti di Stieltjes (Donald F. Connon).

 

Alcuni limiti che coinvolgono le costanti di Stieltjes:

Limite che coinvolge le costanti di Stieltjes;

Limite che coinvolge le costanti di Stieltjes, dove ζ(n) è la derivata n-esima della funzione ζ;

Limite che coinvolge le costanti di Stieltjes (Stieltjes, 1885).

 

Il calcolo delle costanti con elevata precisione non è semplice ed è stato affrontato solo in tempi piuttosto recenti: solo nel 1972 J.J. Liang e J. Todd pubblicarono le prime 20 con buona precisione. In seguito furono sviluppati metodi per rendere più veloce il calcolo e furono calcolate sempre più costanti, con precisione sempre maggiore: O.R. Ainsworth e L.W. Howell calcolarono nel 1985 le prime 200 costanti; nel 2013 Fredrik Johansson calcolò γn per n fino a 100000 con oltre 10000 cifre decimali di precisione.

 

La tabella seguente mostra i valori (approssimati) delle costanti di Stieltjes fino a γ20.

n

γn

0

0.5772156649

1

–0.0728158455

2

–0.0096903632

3

0.0020538344

4

0.0023253701

5

0.0007933238

6

–0.0002387693

7

–0.0005272896

8

–0.0003521234

9

–0.0000343948

10

0.0002053328

11

0.0002701844

12

0.0001672729

13

–0.0000274638

14

–0.0002092093

15

–0.0002834687

16

–0.0001996969

17

0.0000262770

18

0.0003073684

19

0.0005036055

20

0.0004663436

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di γ1.

 

Valori e segni delle costanti sono molto irregolari:

  • W.E. Briggs dimostrò nel 1955 che esistono infiniti valori positivi e infiniti valori negativi;

  • D. Mitrovic dimostrò nel 1962 che lo stesso vale sia per le costanti con indice dispari, che per quelle con indice pari;

  • Y. Matsuoka dimostrò nel 1989 che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di costanti di Sieltjes consecutive con lo stesso segno.

 

I valori assoluti delle prime costanti sembrano ridursi progressivamente, ma è solo apparenza: vi sono costanti di valore assoluto arbitrariamente grande.

Negli anni sono stati stabiliti limiti sempre più stringenti per i valori delle costanti:

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) (W.E. Briggs, 1955);

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) per n pari, per n pari, e Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) per n dispari, per n dispari (B.C. Berndt, 1972);

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) per n > 10, per n > 10 (Y. Matsuoka, 1985); il miglior limite noto per il valore assoluto;

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) (A.F. Lavrik, 1976);

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) per n pari, per n pari, e Limite superiore per il valore assoluto di γ(n) per n dispari, per n dispari (Zhang Nan-You e K.S. Williams, 1994);

  • Limite superiore per il valore assoluto di γ(n), dove Formula per la definizione di m (José A: Adell, 2011);

  • Limiti inferiore e superiore per γ(n) per n pari, per n pari, e Limiti inferiore e superiore per γ(n) per n dispari, per n dispari (Iaroslav V. Blagouchine, 2015); il miglior limite col segno dei valori;

 

Charles Knessl e Mark W. Coffey dimostrarono nel 2011 che |γn| tende al valore assoluto di Limite asintotico cui tende il valore assoluto di γ(n), dove v è la radice dell’equazioneEquazione per il calcolo di v , con Limiti inferiore e superiore per v e u = vtanv. La formula approssima abbastanza bene il valore assoluto di γn, per n grande; l’unico caso nel quale il segno non sia corretto per n fino a 100000 è n = 137.

 

Lazhar Fekid-Ahmed dimostrò nel 2014 che γn tende a Limite asintotico cui tende il valore assoluto di γ(n) e che si può approssimare con Approssimazione per γ(n), dove Formula per il calcolo di z. La formula fornisce buone approssimazioni anche con pochi termini: per esempio, con m = 2 la formula dà un errore maggiore del 5% in soli 9 casi con n fino a 100000 e con m = 4 la formula fornisce approssimazioni migliori di quella di Knessl e Coffey. Stranamente però anche questa formula non dà un valore corretto per n = 137.

 

Strettamente legate alle costanti di Stieltjes sono le costanti τn, definite come Formula per la definizione di τ(n). Infatti Formula per il calcolo di τ(n), a partire dalle costanti di Stieltjes e Formula per il calcolo costanti di Stieltjes, a partire dalle costanti τ(n).

 

La tabella seguente mostra i valori (approssimati) di queste costanti fino a τ20.

 

n

τn

0

–0.6931471806

1

0.1598689037

2

0.0653725926

3

0.0094139502

4

–0.0179969381

5

–0.0245149077

6

–0.0166857960

7

–0.0008344014

8

0.0164160758

9

0.0281131649

10

0.0276282519

11

0.0102151223

12

–0.0243956698

13

–0.0685519626

14

–0.1032515679

15

–0.0967750233

16

–0.0090996457

17

0.1923877262

18

0.4996239621

19

0.8097109290

20

0.8577210307

 

 

Se lo sviluppo in serie della funzione ζ viene considerato dall’origine, otteniamo Sviluppo in serie di potenze della funzione ζ, dove i coefficienti δn sono dati da Formula per la definizione di δ(n), dove ζ(n) è la derivata n-esima della funzione ζ (R. Sitaramachandrarao, 1986) e in particolare δ(0) = 1 / 2, Valore di δ(1)Valore di δ(2) e Valore di δ(2).

 

La tabella seguente mostra i valori (approssimati) di queste costanti fino a δ20.

 

n

δn

0

0.5000000000

1

–0.0810614668

2

–0.0063564559

3

0.0047111669

4

0.0028968120

5

0.0002329076

6

–0.0009368251

7

–0.0008498238

8

–0.0002324317

9

0.0003305897

10

0.0005432341

11

0.0003754932

12

–0.0000196035

13

–0.0004072412

14

–0.0005704920

15

–0.0003939271

16

0.0000834588

17

0.0006609437

18

0.0010262273

19

0.0008655758

20

0.0000192937

 

Vedi anche

Funzione ζ, γ.

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