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Soldner - Ramanujan (costante di)

Analisi 

Si chiama “costante di Soldner – Ramanujan” o “costante di Soldner” il valore di x maggiore di zero nel quale si annulla la funzione logaritmo integrale, indicata comunemente come Li(x).

 

La costante prende il nome del matematico che per primo la studiò e di colui che la rese famosa, legandola, in una lettera a Hardy, a una formula sorprendente: Formula per π(n) che coinvolge la costante di Soldner – Ramanujan.

 

La costante, comunemente indicata come μ, vale circa 1.4513692349.

Qui trovate le prime 1003 cifre decimali della costante di Soldner – Ramanujan (Robert Price e Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Dato che Li(μ) = 0, abbiamo che Li(x) = Li(x) – Li(μ), e quindi Formula per il calcolo di Li(x), relazione che semplifica il calcolo della funzione per valori di x maggiori di μ.

 

Dato che Li(x) = Ei(logx), Ei(logμ) ≈ 0.3725074108 è l’unico zero positivo della funzione Ei.

Qui trovate le prime 1003 cifre decimali di logμ (Robert Price e Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Ramanujan calcolò un’approssimazione della costante, con 4 cifre decimali corrette, ignorando che Johann Georg von Soldner (Feuchtwangen, Germania, 16/7/1776– Berlino, 13/5/1833) aveva già calcolato le prime 9 cifre nel 1812.

 

In seguito la costante attrasse poco l’attenzione e venne ignorata sino al 1999, quando P. Sebah ne calcolò 10000 cifre, per poi migliorare il record nel 2001 con 75500.

Nel 2013 Eric W. Weisstein calcolò 107 cifre della costante.

 

Una curiosa approssimazione è Approssimazione della costante di Soldner – Ramanujan, che dà le prime 6 cifre decimali corrette.

 

Alle voci >espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazione della costante di Soldner – Ramanujan e della costante più 1 / 6; la frazione continua di quest’ultimo numero ha i primi 14 termini uguali a quelli di φ.

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