Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Progressioni aritmetiche di interi con lo stesso valore della funzione φ
  5. 5. Iterazioni della funzione

Sono note varie progressioni aritmetiche di interi con lo stesso valore di φ, comprendenti fino a 7 elementi, tuttavia se ne conosce solo una con differenza 1 tra termini consecutivi: φ(5186) = φ(5187) = φ(5188) = 2592; se ve ne sono altre, gli elementi sono maggiori di 1010.

Se n, n + d, n + 2d, … n + kd costituiscono una progressione aritmetica di interi con lo stesso valore di φ, e m è un intero i cui fattori primi dividono tutti i membri della progressione o nessuno di essi, anche mn, m(n + d), m(n + 2d) … m(n + kd) costituiscono una progressione aritmetica di interi con lo stesso valore di φ. In questo modo da una progressione aritmetica se ne possono ricavare altre; per esempio, dalla progressione di 6 termini che inizia da 550860 con d = 30 se ne ottengono altre della stessa lunghezza per tutti i valori di m fino a 3888.

In particolare, dato che 2, 3 e 5 dividono 583200 e 30, esistono infinite progressioni del genere di 6 termini, che iniziano con 2a3b5c583200m e differenza 2a3b5c30m, per ogni combinazione di interi positivi a, b e c e m non multiplo dei primi che dividono i termini della progressione che inizia con 583200.

 

La tabella seguente riporta il minimo intero n e la differenza d tra termini consecutivi delle progressioni aritmetiche di tre interi con lo stesso valore di φ, per n fino a 104 e d fino a 100 (M. Fiorentini, 2014).

d

n

1

5186

2

8

4

16

6

72, 78, 216, 222, 432, 732, 942, 1152, 3246, 5052, 5262, 6912, 7206, 7356, 8076, 8286, 9726

8

32

12

144, 156, 432, 444, 864, 1464, 1884, 2304, 6492, 7979

14

56

16

61, 64

18

216, 234, 648, 666, 1296, 2196, 2826, 3456, 9738

22

73, 88

24

288, 312, 627, 864, 888, 1728, 2928, 3768, 4608

26

104

28

112

30

360, 465, 820, 1080, 1110, 1800, 2160, 2715, 3165, 3660, 4710, 4820, 5620, 5760, 8115, 9465

32

122, 128

34

136, 148

36

432, 468, 1296, 1332, 2592, 4392, 5652, 6912

38

152

42

1512, 1554, 1582, 3024, 3934, 5124, 6594, 8064

44

146, 176

46

184

48

576, 624, 1254, 1728, 1776, 3456, 5856, 7536, 9216

52

208

54

648, 702, 1944, 1998, 3888, 6588, 8478

56

224

58

232

60

720, 930, 1640, 2160, 2220, 3600, 4320, 5430, 6330, 7320, 8115, 9420, 9465, 9640

62

248

64

241, 244, 256

66

438, 792, 858, 2376, 2442, 4752, 8052

68

272, 296, 407

72

864, 936, 1881, 2592, 2664, 5184, 8784

74

296

76

304

78

2808, 5616, 9516

80

305

82

313, 328

84

3024, 3108, 3164, 6048, 7868

86

344

88

292, 352

90

964, 1080, 1395, 2460, 3240, 3330, 5400, 6480, 8145, 9495

92

368

94

376

96

1152, 1248, 2161, 2508, 3456, 3552, 6912

98

392

 

La tabella seguente riporta il minimo intero n e la differenza d tra termini consecutivi delle progressioni aritmetiche di quattro interi con lo stesso valore di φ, per n fino a 106 e d fino a 200 (M. Fiorentini, 2014).

d

n

6

72, 216, 76326, 101526, 116646, 146886, 298086, 369366, 624966

12

144, 432, 152652, 203052, 233292, 293772, 596172, 738732

18

216, 648, 228978, 304578, 349938, 440658, 894258

24

288, 864, 305304, 406104, 466584, 587544

30

1080, 16200, 36000, 48600, 381630, 507630, 550860, 550890, 583200, 583230, 583260, 734430, 835260, 954060

36

432, 1296, 457956, 609156, 699876, 881316

42

1512, 84672, 534282, 710682, 816522

48

576, 1728, 610608, 812208, 933168

54

648, 1944, 686934, 913734

60

2160, 32400, 72000, 97200, 763260

66

792, 2376, 287496, 418176, 839586

72

864, 2592, 915912

78

12168, 992238

84

3024, 169344

90

3240, 48600, 108000, 145800

96

1152, 3456

102

1224, 3672

108

1296, 3888

114

1368

120

4320, 64800, 144000, 194400

126

4536, 254016

132

1584, 4752, 574992, 836352

138

1446, 1656, 4968

144

1728, 5184

150

5400, 81000, 180000, 243000

156

24336

162

1944, 5832

168

6048, 338688

174

2088, 6264

180

6480, 97200, 216000, 291600

186

2232, 6696

192

2304, 6912

198

2376, 7128, 862488

 

La tabella seguente riporta il minimo intero n e la differenza d tra termini consecutivi delle progressioni aritmetiche di cinque interi con lo stesso valore di φ, per n fino a 109 e d fino a 1000 (M. Fiorentini, 2014).

d

n

30

550860, 583200, 583230, 1609260, 3196860, 7992030, 9331200, 9374460, 12704430, 16182030, 18018030, 19908030, 27241230, 29862060, 33418830, 40147230, 44506830, 49723230, 50202030, 77364030, 93290430, 94525230, 100098030, 106390860, 108410430, 123382830, 124819230, 142354860, 142603260, 143942430, 153446430, 162388830, 165488430, 165488460, 167706030, 170046060, 175190430, 175770060, 182350830, 184615260, 198547260, 198979260, 229824030, 229996860, 256003260, 258854430, 268606860, 280879230, 281664030, 287532030, 291992430, 311018460, 368550060, 379134060, 382687260, 390679230, 408942060, 416350860, 424742460, 462196830, 473958060, 476053230, 479782830, 484070430, 504932430, 504932460, 506394030, 509641260, 536738430, 544924830, 544924860, 547592460, 553039230, 557802030, 559386060, 564454830, 564962430, 576298830, 598978830, 601045230, 612284430, 636253230, 654544860, 669740460, 682570830, 696124860, 714700830, 740556030, 741866430, 759758430, 786794430, 794278830, 794808030, 810529260, 819126060, 879080430, 883990860, 892306830, 892306860, 906271230, 952106460, 986983230, 992480430

60

1101720; 1166400; 1166460; 3218520; 6393720; 15984060; 18662400; 18748920; 25408860; 32364060; 36036060; 39816060; 54482460; 59724120; 66837660; 80294460; 89013660; 99446460; 100404060; 154728060; 186580860; 189050460; 200196060; 212781720; 216820860; 246765660; 249638460; 284709720; 285206520; 287884860; 306892860; 324777660; 330976860; 330976920; 335412060; 340092120; 350380860; 351540120; 364701660; 369230520; 397094520; 397958520, 459648060, 459993720, 512006520, 517708860, 537213720, 561758460, 563328060, 575064060, 583984860, 622036920, 737100120, 758268120, 765374520, 781358460, 817884120, 832701720, 849484920, 924393660, 947916120, 952106460, 959565660, 968140860

90

1652580, 1749600, 1749690, 4827780, 9590580, 23976090, 27993600, 28123380, 38113290, 48546090, 54054090, 59724090, 81723690, 89586180, 100256490, 120441690, 133520490, 149169690, 150606090, 232092090, 279871290, 283575690, 300294090, 319172580, 325231290, 370148490, 374457690, 427064580, 427809780, 431827290, 460339290, 487166490, 496465290, 496465380, 503118090, 510138180, 525571290, 527310180, 547052490, 553845780, 595641780, 596937780, 689472090, 689990580, 768009780, 776563290, 805820580, 842637690, 844992090, 862596090, 875977290, 933055380

120

2203440, 2332800, 2332920, 6437040, 12787440, 31968120, 37324800, 37497840, 50817720, 64728120, 72072120, 79632120, 108964920, 119448240, 133675320, 160588920, 178027320, 198892920, 200808120, 309456120, 373161720, 378100920, 400392120, 425563440, 433641720, 493531320, 499276920, 569419440, 570413040, 575769720, 613785720, 649555320, 661953720, 661953840, 670824120, 680184240, 700761720, 703080240, 729403320, 738461040, 794189040, 795917040, 919296120, 919987440

150

2754300, 2916000, 2916150, 8046300, 15984300, 39960150, 46656000, 46872300, 63522150, 80910150, 90090150, 99540150, 136206150, 149310300, 167094150, 200736150, 222534150, 248616150, 251010150, 386820150, 466452150, 472626150, 500490150, 531954300, 542052150, 616914150, 624096150, 711774300, 713016300, 719712150, 767232150, 811944150, 827442150, 827442300, 838530150, 850230300, 875952150, 878850300, 911754150, 923076300, 992736300, 994896300

180

3305160, 3499200, 3499380, 9655560, 19181160, 47952180, 55987200, 56246760, 76226580, 97092180, 108108180, 119448180, 163447380, 179172360, 200512980, 240883380, 267040980, 298339380, 301212180, 464184180, 559742580, 567151380, 600588180, 638345160, 650462580, 740296980, 748915380, 854129160, 855619560, 863654580, 920678580, 974332980, 992930580, 992930760

210

353640, 3856020, 4082400, 4082610, 11264820, 17993850, 20638905, 22378020, 33869850, 55944210, 61321155, 65318400, 65621220, 65621430, 85731240, 85731450, 86788905, 88931010, 91353255, 91948605, 113274210, 126126210, 139356210, 187690440, 190688610, 198913155, 209034420, 233931810, 253420755, 281030610, 311547810, 342987855, 348062610, 351414210, 374078355, 392931105, 419523405, 447704460, 541548210, 593828655, 603289260, 653033010, 661676610, 689680005, 700686210, 721829640, 722225805, 744736020, 758873010, 768795405, 789037305, 790294155, 863679810, 869012655, 873734610, 878538255, 901757430, 914457600, 981138060, 996484020, 998222820

240

4406880, 4665600, 4665840, 12874080, 25574880, 63936240, 74649600, 74995680, 101635440, 129456240, 144144240, 159264240, 217929840, 238896480, 267350640, 321177840, 356054640, 397785840, 401616240, 618912240, 746323440, 756201840, 800784240, 851126880, 867283440, 987062640, 998553840

270

4957740, 5248800, 5249070, 14483340, 28771740, 71928270, 83980800, 84370140, 114339870, 145638270, 162162270, 179172270, 245171070, 268758540, 300769470, 361325070, 400561470, 447509070, 451818270, 696276270, 839613870, 850727070, 900882270, 957517740, 975693870

300

5508600, 5832000, 5832300, 16092600, 31968600, 79920300, 93312000, 93744600, 127044300, 161820300, 180180300, 199080300, 272412300, 298620600, 334188300, 401472300, 445068300, 497232300, 502020300, 773640300, 932904300, 945252300

330

6059460, 6415200, 6415530, 17701860, 35165460, 87912330, 102643200, 103119060, 139748730, 178002330, 198198330, 218988330, 299653530, 328482660, 367607130, 441619530, 489575130, 546955530, 552222330, 776239200, 851004330

360

6610320, 6998400, 6998760, 19311120, 38362320, 95904360, 111974400, 112493520, 152453160, 194184360, 216216360, 238896360, 326894760, 358344720, 401025960, 481766760, 534081960, 596678760, 602424360, 928368360

390

7161180, 7581600, 7581990, 20920380, 41559180, 103896390, 121305600, 121867980, 165157590, 210366390, 234234390, 258804390, 354135990, 388206780, 434444790, 521913990, 578588790, 646401990, 652626390

420

707280, 7712040, 8164800, 8165220, 22529640, 35987700, 41277810, 44756040, 67739700, 111888420, 122642310, 130636800, 131242440, 131242860, 171462480, 171462900, 173577810, 177862020, 182706510, 183897210, 226548420, 252252420, 278712420, 375380880, 381377220, 397826310, 418068840, 467863620, 506841510, 562061220, 623095620, 685975710, 696125220, 702828420, 748156710, 785862210, 839046810, 895408920

450

8262900, 8748000, 8748450, 24138900, 47952900, 119880450, 139968000, 140616900, 190566450, 242730450, 270270450, 298620450, 408618450, 447930900, 501282450, 602208450, 667602450, 745848450, 753030450

480

8813760, 9331200, 9331680, 25748160, 51149760, 127872480, 149299200, 149991360, 203270880, 258912480, 288288480, 318528480, 435859680, 477792960, 534701280, 642355680, 712109280, 795571680, 803232480

510

9364620, 9914400, 9914910, 12484800, 27357420, 54346620, 135864510, 158630400, 159365820, 215975310, 275094510, 306306510, 338436510, 442170000, 463100910, 507655020, 568120110, 682502910, 756616110, 845294910, 853434510

540

9915480, 10497600, 10498140, 28966680, 57543480, 143856540, 167961600, 168740280, 228679740, 291276540, 324324540, 358344540, 490342140, 537517080, 601538940, 722650140, 801122940, 895018140, 903636540

570

10466340, 11080800, 11081370, 30575940, 35089200, 60740340, 151848570, 177292800, 178114740, 241384170, 307458570, 342342570, 378252570, 517583370, 567379140, 634957770, 740772000, 762797370, 845629770, 944741370, 953838570

600

11017200, 11664000, 11664600, 32185200, 63937200, 159840600, 186624000, 187489200, 254088600, 323640600, 360360600, 398160600, 544824600, 597241200, 668376600, 802944600, 890136600, 994464600

630

1060920, 11568060, 12247200, 12247830, 33794460, 53981550, 61916715, 67134060, 101609550, 167832630, 183963465, 195955200, 196863660, 196864290, 257193720, 257194350, 260366715, 266793030, 274059765, 275845815, 339822630, 378378630, 418068630, 563071320, 572065830, 596739465, 627103260, 701795430, 760262265, 843091830, 934643430

660

12118920, 12830400, 12831060, 35403720, 70330920, 175824660, 205286400, 206238120, 279497460, 356004660, 396396660, 437976660, 599307060, 656965320, 735214260, 883239060, 979150260

690

12669780, 13413600, 13414290, 34279200, 37012980, 73527780, 183816690, 214617600, 215612580, 292201890, 372186690, 414414690, 457884690, 626548290, 686827380, 768633090, 923386290

720

13220640, 13996800, 13997520, 38622240, 76724640, 191808720, 223948800, 224987040, 304906320, 388368720, 432432720, 477792720, 653789520, 716689440, 802051920, 963533520

750

13771500, 14580000, 14580750, 40231500, 79921500, 199800750, 233280000, 234361500, 317610750, 404550750, 450450750, 497700750, 681030750, 746551500, 835470750

780

14322360, 15163200, 15163980, 41840760, 83118360, 207792780, 242611200, 243735960, 330315180, 420732780, 468468780, 517608780, 708271980, 776413560, 868889580

810

14873220, 15746400, 15747210, 43450020, 86315220, 215784810, 251942400, 253110420, 343019610, 436914810, 486486810, 537516810, 735513210, 806275620, 902308410

840

1414560, 15424080, 16329600, 16330440, 45059280, 71975400, 82555620, 89512080, 135479400, 223776840, 245284620, 261273600, 262484880, 262485720, 342924960, 342925800, 347155620, 355724040, 365413020, 367794420, 453096840, 504504840, 557424840, 750761760, 762754440, 795652620, 836137680, 935727240

870

15974940, 16912800, 16913670, 46668540, 92708940, 231768870, 270604800, 271859340, 368428470, 469278870, 522522870, 577332870, 789995670, 865999740, 969146070

900

16525800, 17496000, 17496900, 48277800, 95905800, 239760900, 279936000, 281233800, 381132900, 485460900, 540540900, 597240900, 817236900, 895861800

930

17076660, 18079200, 18080130, 49887060, 99102660, 247752930, 289267200, 290608260, 393837330, 501642930, 558558930, 617148930, 844478130, 925723860

960

17627520, 18662400, 18663360, 51496320, 102299520, 255744960, 298598400, 299982720, 406541760, 517824960, 576576960, 637056960, 871719360, 955585920

990

18178380, 19245600, 19246590, 53105580, 105496380, 263736990, 307929600, 309357180, 419246190, 534006990, 594594990, 656964990, 898960590, 985447980

 

La tabella seguente riporta il minimo intero n e la differenza d tra termini consecutivi delle progressioni aritmetiche di sei interi con lo stesso valore di φ, per n fino a 109 e d fino a 1000 (M. Fiorentini, 2014).

d

n

30

583200, 165488430, 504932430, 544924830, 892306830

60

1166400, 330976860

90

1749600, 496465290

120

2332800, 661953720

150

2916000, 827442150

180

3499200, 992930580

210

4082400, 65621220, 85731240

240

4665600

270

5248800

300

5832000

330

6415200

360

6998400

390

7581600

420

8164800, 131242440, 171462480

450

8748000

480

9331200

510

9914400

540

10497600

570

11080800

600

11664000

630

12247200, 196863660, 257193720

660

12830400

690

13413600

720

13996800

750

14580000

780

15163200

810

15746400

840

16329600, 262484880, 342924960

870

16912800

900

17496000

930

18079200

960

18662400

990

19245600

 

L’unica progressione aritmetica di 7 termini nota inizia con 1158419010, con differenza 210 tra termini successivi e valore della funzione; da questa se ne possono però ricavare infinite altre moltiplicando i termini per uno stesso numero, come spiegato sopra.

Bibliografia

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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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