Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Progressioni aritmetiche di interi con lo stesso valore della funzione φ
  5. 5. Iterazioni della funzione

La funzione φ(n) oscilla infinite volte tra n – 1 (quando n è primo) e un limite inferiore che cresce come nloglogn; più precisamente Limite superiore per il valore di φ(n) / nLimite inferiore per il valore di φ(n) * log(log(n)) / n (E. Landau, 1909).

φ(n) assume infinite volte valori inferiori a n / (e^γ * log(log(n))), ma per ε > 0 e n abbastanza grande, non è mai inferiore a (1 – ε) * n / (e^γ * log(log(n))) (J.-L. Nicolas, 1983).

La dimostrazione di Nicolas è composta da due parti: la prima suppone vera l’ipotesi di Riemann, la seconda la suppone falsa; in quest’ultimo caso esisterebbero infiniti primi p tali che φ(p#) ≥ p# / (e^γ * log(log(p#))).

 

Limite inferiore per il valore di φ(n + 1) / φ(n) e Limite superiore per il valore di φ(n + 1) / φ(n) (Somayajulu, 1950).

 

Nonostante il comportamento selvaggio della funzione, si possono trovare limiti inferiori e superiori per i valori di φ(n):

se p è un primo dispari maggiore di 13 e diverso da 19, 31, 43 e 61, Limite inferiore per il valore di φ(p – 1) (M. G. Monzingo, 1976);

Limite inferiore per il valore di φ(n);

Limite inferiore per il valore di φ(n), per n > 2 tranne che per 23# = 223092870 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

Limite inferiore per il valore di φ(n), per n diverso da 2 e 6 (D.G. Kendall e R. Osborn, 1965);

Limite inferiore per il valore di φ(n), per n diverso da 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12, 18 e 30 (Harold Shapiro, 1943);

Limite inferiore per il valore di φ(n), per n composto (W. Sierpiński e A. Schinzel, 1988).

 

Se φ(n) = m, Limite superiore per il valore di n, dove il prodotto si calcola sui primi p tali che p – 1 divida m; se n è dispari, il limite superiore si dimezza (Hansraj Gupta, 1980).

 

Nel 1954 Andrzej Bobola Maria Schinzel e Wacław Franciszek Sierpiński (Varsavia, 14/3/1882 – Varsavia, 21/10/1969) dimostrarono che al variare di n i valori di φ(n + 1) / φ(n) sono densi tra i numeri reali positivi e i valori di φ(n + 1) / n sono densi nell’intervallo (0 .. 1).

 

Per d < 0.65, esistono infiniti valori di n tali che la funzione assume il valore n più di nd volte.

 

φ(n) non assume mai valori delle seguenti forme:

  • dispari, tranne per φ(1) = φ(2) = 1;

  • 2pk, dove p è un primo della forma 3m + 1;

  • 2p2k, dove p è un primo della forma 3m + 2;

  • 2p, se p è primo, ma 2p + 1 non lo è (ossia se p non è un primo di Sophie Germain).

La funzione assume invece come valore tutti i fattoriali.

 

Per n abbastanza grande il numero f(n) degli interi k non superiori a n per i quali φ(k) è un quadrato soddisfa Limiti inferiore e superiore per i valori di f(n) (W.D. Banks, J.B. Friedlander, Carl Pomerance e I.E. Shparlinski, 2004).

 

Il numero f(n) degli interi k non superiori a n per i quali φ(k) è rappresentabile come somma di due quadrati cresce come n / log(n)^(3 / 2) (W.D. Banks, Florian Luca, F. Saidak e I.E. Shparlinski, 2005);

 

La frazione degli interi per i quali φ(n) è rappresentabile come somma di tre quadrati tende a 7 / 8 (Paul Pollack).

 

La tabella seguente mostra i valori di φ(n) per n fino a 20.

n

φ(n)

1

1

2

1

3

2

4

2

5

4

6

2

7

6

8

4

9

6

10

4

11

10

12

4

13

12

14

6

15

8

16

8

17

16

18

6

19

18

20

8

 

Se rφ(n) = φ(n + k) e tutti i primi che dividono m dividono sia n che n + k o non dividono nessuno dei due, rφ(mn) = φ(mn + mk).

Analogamente se φ(n) = rφ(n + k) e tutti i primi che dividono m dividono sia n che n + k o non dividono nessuno dei due, φ(mn) = rφ(mn + mk).

 

Sierpinski dimostrò nel 1956 che φ(n) = φ(n + k) ha almeno una soluzione per ogni k; non è però noto se, fissato k, le soluzioni siano infinite. Alcuni matematici (tra i quali Paul Erdös, Carl Pomerance e A. Sàrkozy) ritengono di sì per k = 1; A. Schinzel ritiene possibile che vi sia solo un numero finito di valori per k = 1, ma ritiene anche che per alcuni valori superiori di k esistano infinite soluzioni.

E’ noto che le soluzioni sono molto rare se k è un multiplo dispari di 3 (ossia se ha la forma 6m + 3); la tabella seguente mostra i casi inferiori a 109 per k < 1000 (M. Fiorentini, 2017).

k

Valori di n

3

3, 5

9

9, 15

15

13, 15, 17, 21

21

21, 35

27

27, 45, 55

33

33, 39, 45, 55

39

37, 39, 45, 65, 105

45

39, 45, 51, 55, 63, 77

51

39, 51, 57, 63, 85, 95, 105

57

57, 75, 91, 95

63

61, 63, 105, 115

69

41, 51, 57, 69, 115, 175

75

65, 73, 75, 85, 105, 119

81

81, 135, 145, 165

87

87, 95, 99, 135, 145

93

61, 93, 135, 155, 195

99

91, 99, 117, 135, 165, 245

105

93, 105, 111, 117, 119, 143

111

97, 111, 117, 147, 175, 185, 195, 385

117

73, 111, 117, 135, 195, 315

123

111, 123, 205, 315

129

129, 215, 255, 275, 315, 455

135

117, 135, 153, 165, 175, 189, 231

141

89, 97, 111, 119, 123, 141, 187, 195, 203, 225, 231, 235, 315

147

147, 169, 205, 225, 245, 285

153

117, 153, 155, 171, 189, 209, 255, 285, 315, 455

159

111, 153, 157, 159, 265, 273, 285

165

129, 143, 165, 187, 195, 221, 231, 273

171

171, 225, 273, 285, 295, 325

177

113, 123, 177, 215, 259, 295, 305, 595

183

97, 153, 183, 273, 285, 305

189

183, 189, 203, 247, 315, 345, 385

195

155, 185, 193, 195, 205, 207, 221, 273, 287

201

201, 217, 287, 335, 665

207

123, 143, 153, 171, 207, 301, 345, 355, 525, 665

213

183, 187, 201, 213, 219, 355, 525

219

219, 231, 285, 357, 365, 525

225

195, 209, 219, 225, 255, 275, 315, 329, 357, 385

231

231, 253, 273, 315, 375, 385, 395, 425

237

153, 181, 219, 225, 237, 299, 395, 495, 595

243

243, 319, 365, 405, 435, 495

249

193, 219, 249, 319, 325, 399, 405, 415, 475, 495, 715

255

193, 221, 241, 255, 257, 261, 285, 315, 357, 371, 399

261

261, 285, 297, 323, 371, 405, 435, 445, 715

267

153, 183, 267, 273, 305, 357, 399, 445, 465, 525, 805

273

259, 273, 455, 465

279

183, 277, 279, 405, 425, 465, 585

285

219, 247, 267, 285, 287, 291, 323, 325, 399, 413, 455

291

291, 325, 445, 485, 585, 1155

297

273, 297, 351, 377, 405, 427, 495, 505, 665, 735

303

303, 351, 399, 429, 505, 515, 539, 585

309

309, 335, 429, 515, 555, 735, 1155

315

279, 305, 313, 315, 333, 351, 357, 385, 391, 429

321

219, 291, 321, 327, 333, 391, 403, 441, 483, 535, 545, 555, 1155

327

193, 219, 261, 327, 465, 469, 545, 585, 875

333

241, 287, 291, 333, 351, 441, 525, 555, 565, 585, 875, 1015, 1155

339

221, 327, 339, 475, 565, 715

345

285, 299, 305, 345, 391, 483, 497

351

219, 333, 337, 351, 405, 451, 585, 715, 945

357

233, 273, 281, 327, 339, 357, 399, 437, 451, 555, 595, 665

363

287, 313, 357, 363, 365, 369, 429, 495, 555, 565, 605, 945, 1085, 1365

369

241, 333, 369, 473, 615, 945

375

241, 325, 327, 365, 369, 375, 387, 425, 525, 595

381

277, 291, 381, 555, 635, 1365

387

387, 427, 645, 655, 765, 825, 945, 1365

393

381, 393, 405, 465, 475, 575, 655, 693, 765

399

397, 399, 407, 485, 525, 645, 665, 725, 765

405

323, 351, 405, 459, 469, 493, 495, 517, 525, 567, 693

411

219, 399, 403, 411, 423, 485, 493, 567, 675, 685, 725, 845, 1365

417

323, 337, 417, 459, 545, 695

423

257, 267, 291, 333, 357, 369, 421, 423, 561, 585, 609, 675, 693, 705, 945

429

281, 291, 313, 327, 353, 407, 417, 429, 459, 495, 715, 1155

435

377, 435, 465, 493, 495, 507, 609, 651

441

427, 441, 507, 615, 675, 735, 745, 805, 855

447

303, 337, 351, 407, 447, 507, 651, 745, 755, 1001, 1015, 1105

453

453, 459, 555, 755, 855

459

241, 351, 457, 459, 465, 513, 533, 567, 583, 627, 765, 855, 935, 945, 1225, 1365

465

305, 333, 403, 465, 477, 513, 525, 527, 551, 583, 637, 651

471

327, 429, 471, 477, 627, 685, 785, 975, 1365

477

313, 333, 349, 397, 459, 471, 477, 511, 545, 795, 819, 847, 855, 1925

483

287, 327, 357, 377, 471, 483, 489, 635, 735, 765, 805

489

291, 369, 489, 627, 663, 679, 815, 819, 875, 975

495

387, 429, 495, 505, 561, 585, 589, 663, 693, 707, 819

501

381, 401, 429, 437, 501, 611, 663, 707, 835, 975, 1085

507

481, 507, 585, 615, 721, 845, 1365

513

513, 675, 819, 833, 855, 885, 975, 1045, 1505

519

519, 545, 777, 865, 1785

525

421, 465, 511, 525, 555, 585, 595, 629, 715

531

339, 369, 531, 645, 671, 777, 885, 915, 1785

537

353, 449, 477, 489, 537, 549, 555, 651, 671, 679, 777, 895, 945

543

407, 471, 541, 543, 559, 833, 905, 1085, 1785

549

291, 451, 459, 549, 819, 855, 915, 1435

555

369, 433, 481, 485, 495, 543, 555, 585, 629, 735, 741, 777, 791

561

369, 429, 561, 627, 663, 693, 765, 915, 935, 1045, 1155

567

353, 549, 551, 567, 609, 637, 667, 689, 741, 775, 785, 945, 955, 1015, 1035, 1045, 1155

573

421, 461, 543, 573, 579, 621, 623, 645, 741, 915, 955, 965, 1035, 1225, 1365

579

511, 579, 675, 679, 765, 847, 965, 1025, 1645, 780825045

585

465, 555, 579, 585, 615, 621, 663, 697, 715, 737, 791, 819, 861, 931, 1001

591

577, 591, 603, 741, 777, 815, 985, 1025

597

597, 995, 1005, 1575, 1995

603

377, 433, 603, 651, 861, 1005, 1295, 1995

609

401, 481, 597, 609, 693, 713, 755, 945, 975, 1015, 1075

615

533, 555, 613, 615, 697, 731, 861

621

369, 409, 429, 459, 513, 527, 621, 695, 781, 903, 1035, 1065, 1225, 1265, 1575, 1995, 2275

627

627, 639, 675, 741, 777, 847, 855, 861, 889, 1001, 1045

633

459, 633, 637, 925, 1055, 1095, 1375, 1995

639

549, 561, 577, 603, 635, 639, 657, 775, 845, 1065, 1435, 1575

645

489, 521, 543, 559, 579, 597, 633, 645, 731, 803, 903, 1155

651

459, 651, 657, 945, 1005, 1015, 1085, 1095, 1365

657

421, 433, 657, 693, 707, 855, 1071, 1095, 1575, 1855

663

629, 661, 663, 689, 741, 765, 819, 903, 1045, 1105, 1235, 1785

669

561, 579, 669, 779, 915, 1115, 1175, 1995

675

585, 627, 657, 673, 675, 765, 825, 833, 875, 945, 987, 1071, 1155, 1309

681

369, 449, 459, 577, 609, 663, 681, 905, 925, 987, 1071, 1095, 1135, 1295, 2695

687

533, 687, 925, 1105, 1125, 1145, 1485

693

527, 671, 693, 759, 819, 945, 1125, 1155, 1165, 1185, 1265, 1275, 1615

699

401, 533, 651, 699, 785, 817, 855, 965, 1165, 1185, 1435, 1505, 1705

705

485, 527, 549, 555, 611, 615, 705, 777, 799, 897, 935, 987, 1015, 1071, 1155, 1463

711

449, 459, 543, 559, 657, 675, 697, 711, 815, 897, 1185, 1195, 1485, 1705, 1785, 418702574

717

617, 623, 699, 717, 791, 871, 1195, 1305

723

551, 627, 723, 861, 905, 1075, 1165, 1185, 1205

729

629, 729, 913, 957, 1095, 1215, 1305, 1485

735

651, 733, 735, 775, 777, 819, 833, 845, 891, 1001

741

601, 723, 741, 783, 851, 855, 975, 1043, 1095, 1215, 1235, 1995

747

579, 657, 747, 925, 957, 975, 995, 1197, 1205, 1215, 1245, 1425, 1445, 1485, 2145

753

549, 641, 723, 753, 995, 1071, 1255, 1615

759

543, 561, 627, 757, 759, 897, 969, 1035, 1197, 1265, 1305, 1325, 1547, 1925, 1995, 2275

765

579, 661, 663, 723, 765, 771, 783, 793, 855, 893, 923, 935, 945, 1045, 1071, 1085, 1113, 1197, 1309

771

741, 771, 1075, 1113, 1285, 1325, 1425

777

663, 679, 731, 777, 791, 819, 867, 969, 1095, 1295, 1365, 1395, 1625

783

769, 783, 803, 855, 891, 925, 949, 969, 979, 1113, 1215, 1305, 1315, 1335, 1495, 1595, 2145

789

521, 673, 789, 837, 899, 1005, 1023, 1315, 1425, 1547, 2415, 150345195

795

689, 755, 765, 785, 795, 901, 949, 1023, 1113, 1155, 1365

801

459, 549, 679, 801, 819, 915, 1071, 1197, 1335, 1395, 1575, 2415

807

543, 779, 801, 807, 915, 969, 1141, 1345, 1425, 1885, 2145

813

601, 661, 741, 793, 813, 973, 1355, 1995

819

511, 777, 793, 819, 943, 1365, 1395, 1495, 1595

825

645, 657, 715, 803, 825, 935, 975, 1105, 1155, 1169, 1309, 1365

831

629, 831, 871, 905, 1183, 1385, 1463, 1855, 2145, 2345, 2695

837

549, 731, 831, 837, 1055, 1215, 1235, 1275, 1395, 1705, 1755

843

543, 707, 777, 843, 1095, 1185, 1405, 1415, 1575, 1755, 2205, 2695

849

481, 579, 779, 849, 1001, 1065, 1415, 1455, 1855, 3185

855

641, 657, 741, 801, 855, 861, 873, 969, 975, 1003, 1045, 1197, 1211, 1239, 1365, 1463

861

579, 609, 701, 723, 771, 777, 813, 831, 843, 861, 903, 1003, 1067, 1435, 1455, 1755, 2035

867

533, 663, 763, 867, 969, 1007, 1071, 1405, 1445, 1575, 1615, 1785, 1885

873

527, 873, 975, 1335, 1455, 1755, 1771, 3465

879

577, 671, 741, 793, 873, 877, 879, 1465, 1525, 1729, 3185, 3465

885

767, 885, 915, 925, 975, 1003, 1067, 1225, 1239, 1253, 1287, 1295, 1547

891

629, 689, 819, 851, 891, 1037, 1053, 1131, 1215, 1281, 1285, 1485, 1515, 1525, 1595, 1995, 2205, 2485

897

433, 533, 593, 657, 663, 741, 851, 897, 1035, 1089, 1111, 1267, 1495, 2275, 2415

903

527, 577, 697, 873, 903, 909, 969, 1053, 1131, 1205, 1505, 1785, 1925

909

601, 673, 909, 1053, 1133, 1197, 1287, 1515, 1545, 1617, 1755, 2555

915

765, 793, 915, 927, 1037, 1099, 1113, 1281, 1365, 1617

921

921, 1095, 1125, 1535, 1545, 1705

927

703, 927, 1005, 1205, 1287, 1545, 1665, 2205, 3465

933

777, 803, 915, 921, 933, 1055, 1131, 1281, 1449, 1485, 1555, 1565, 1575, 1665, 2555

939

657, 861, 939, 965, 1355, 1449, 1565, 1617

945

837, 905, 915, 939, 945, 999, 1015, 1053, 1071, 1073, 1081, 1155, 1173, 1177, 1235, 1287

951

579, 673, 873, 951, 1221, 1281, 1323, 1425, 1585, 1665

957

737, 779, 829, 939, 957, 979, 999, 1045, 1131, 1305, 1351, 1485, 1595, 1635

963

657, 873, 963, 981, 999, 1173, 1209, 1323, 1355, 1449, 1565, 1605, 1635, 1665, 3465

969

741, 813, 861, 923, 939, 969, 1199, 1275, 1547, 1615, 1675, 1995

975

775, 925, 949, 965, 975, 981, 1025, 1035, 1105, 1221, 1365, 1407, 1435, 1547

981

579, 657, 713, 783, 981, 1395, 1407, 1635, 1755, 2135, 2275, 2625, 2765, 5005

987

623, 861, 987, 1027, 1157, 1209, 1309, 1575, 1645, 1655

993

673, 723, 801, 899, 943, 993, 1221, 1425, 1455, 1635, 1655, 2975, 3045

999

641, 723, 769, 861, 873, 997, 999, 1053, 1323, 1575, 1665, 1695, 1755, 2035, 2185, 2625, 3045, 3465

 

La tabella seguente riporta i valori di n per i quali φ(n) = φ(n + k), per n fino a 10000 e k fino a 20.

k

n

1

1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, 2204, 2625, 2834, 3255, 3705, 5186, 5187

2

4, 7, 8, 10, 26, 32, 70, 74, 122, 146, 308, 314, 386, 512, 554, 572, 626, 635, 728, 794, 842, 910, 914, 1015, 1082, 1226, 1322, 1330, 1346, 1466, 1514, 1608, 1754, 1994, 2132, 2170, 2186, 2306, 2402, 2426, 2474, 2590, 2642, 2695, 2762, 2906, 3242, 3314, 3506, 3746, 3866, 3986, 4034, 4274, 4292, 4338, 4682, 4946, 5114, 5186, 5594, 5714, 5834, 5950, 6122, 6434, 6497, 6506, 6626, 6764, 7034, 7466, 8042, 8114, 8354, 8522, 8546, 8714, 8882, 9100, 9122, 9242, 9758, 9866

3

3, 5

4

8, 14, 16, 20, 35, 52, 64, 91, 140, 148, 244, 292, 403, 455, 616, 628, 772, 801, 1011, 1024, 1108, 1144, 1252, 1270, 1295, 1456, 1588, 1684, 1820, 1828, 2030, 2164, 2452, 2623, 2644, 2660, 2692, 2932, 3028, 3216, 3321, 3508, 3988, 4264, 4340, 4372, 4612, 4804, 4852, 4948, 5180, 5284, 5390, 5524, 5812, 6484, 6601, 6628, 7012, 7492, 7732, 7972, 8068, 8548, 8584, 8676, 8911, 9364, 9892

5

5, 9, 15, 21

6

24, 34, 36, 39, 43, 44, 57, 72, 78, 82, 84, 93, 96, 108, 111, 146, 178, 201, 216, 222, 225, 226, 228, 306, 327, 364, 366, 381, 399, 417, 432, 438, 442, 466, 471, 482, 516, 527, 540, 543, 562, 576, 597, 610, 626, 633, 648, 706, 714, 732, 738, 802, 818, 866, 898, 912, 921, 924, 942, 948, 972, 1011, 1042, 1137, 1152, 1158, 1186, 1202, 1227, 1281, 1308, 1461, 1497, 1522, 1536, 1538, 1602, 1606, 1623, 1662, 1713, 1716, 1731, 1742, 1746, 1763, 1812, 1858, 1878, 1893, 1905, 1906, 1956, 2098, 2150, 2184, 2253, 2257, 2258, 2307, 2361, 2382, 2425, 2433, 2466, 2487, 2498, 2516, 2526, 2592, 2631, 2642, 2676, 2742, 2757, 2811, 2818, 2866, 2916, 2973, 2978, 3027, 3106, 3117, 3162, 3202, 3233, 3246, 3252, 3270, 3351, 3442, 3456, 3506, 3549, 3603, 3678, 3690, 3826, 3873, 3891, 3966, 3981, 3986, 4038, 4143, 4162, 4178, 4188, 4197, 4212, 4322, 4338, 4377, 4398, 4413, 4542, 4546, 4562, 4608, 4626, 4701, 4706, 4752, 4786, 4863, 4946, 4953, 5007, 5042, 5052, 5058, 5218, 5232, 5262, 5266, 5268, 5277, 5331, 5378, 5403, 5458, 5542, 5544, 5602, 5666, 5906, 5938, 5982, 6002, 6051, 6082, 6087, 6096, 6178, 6276, 6396, 6537, 6558, 6626, 6753, 6807, 6843, 6866, 6887, 6898, 6912, 6918, 7058, 7167, 7206, 7212, 7278, 7346, 7356, 7362, 7401, 7422, 7522, 7572, 7671, 7762, 7776, 7803, 7858, 7926, 7941, 7977, 8076, 8082, 8098, 8145, 8146, 8157, 8193, 8258, 8286, 8292, 8306, 8402, 8482, 8546, 8571, 8718, 8730, 8748, 8818, 8913, 9026, 9111, 9183, 9298, 9442, 9543, 9561, 9602, 9726, 9732, 9777, 9778, 9813, 9921, 9942, 9986

7

5, 7, 21, 45, 75, 105, 285, 488, 585, 765, 1148, 1275, 1358, 1785, 2528, 3465, 4088, 6825, 9405

8

13, 16, 19, 25, 28, 32, 40, 70, 104, 128, 175, 182, 209, 280, 296, 488, 551, 584, 657, 715, 806, 910, 1232, 1256, 1544, 1602, 2022, 2048, 2216, 2288, 2504, 2540, 2590, 2717, 2912, 3176, 3368, 3640, 3656, 4060, 4328, 4904, 5246, 5288, 5320, 5384, 5864, 5969, 6056, 6432, 6475, 6642, 7016, 7587, 7739, 7976, 8105, 8528, 8680, 8744, 9224, 9608, 9704, 9896

9

9, 15

10

20, 26, 35, 100, 130, 160, 370, 400, 610, 730, 793, 1000, 1570, 1843, 1930, 2500, 2560, 2770, 2860, 3130, 3970, 4000, 4171, 4210, 4570, 5410, 5767, 6130, 6400, 6610, 6730, 7330, 7570, 8770, 9106, 9640, 9970, 9991

11

7, 11, 27, 33, 45, 63, 135, 165, 285, 304, 345, 765, 855, 964, 1144, 1575, 1744, 2134, 2295, 2805, 6424, 6604

12

48, 68, 72, 78, 86, 88, 114, 143, 144, 156, 157, 164, 168, 186, 192, 203, 216, 222, 247, 273, 292, 356, 402, 432, 444, 450, 452, 456, 612, 654, 728, 732, 762, 798, 834, 864, 876, 884, 932, 942, 964, 1032, 1054, 1080, 1086, 1124, 1147, 1152, 1194, 1209, 1220, 1252, 1266, 1296, 1412, 1428, 1464, 1476, 1604, 1636, 1679, 1732, 1796, 1824, 1842, 1848, 1884, 1896, 1944, 2022, 2084, 2147, 2274, 2279, 2304, 2316, 2372, 2375, 2404, 2445, 2454, 2562, 2616, 2705, 2747, 2922, 2994, 3044, 3072, 3076, 3204, 3212, 3246, 3324, 3426, 3432, 3462, 3484, 3492, 3526, 3624, 3716, 3756, 3786, 3810, 3812, 3912, 4196, 4300, 4331, 4368, 4506, 4514, 4516, 4614, 4687, 4722, 4764, 4850, 4866, 4932, 4974, 4996, 5032, 5049, 5052, 5184, 5262, 5284, 5352, 5484, 5514, 5622, 5636, 5732, 5832, 5946, 5956, 6054, 6107, 6212, 6234, 6324, 6404, 6466, 6492, 6504, 6540, 6702, 6884, 6912, 7012, 7098, 7206, 7356, 7367, 7380, 7652, 7746, 7782, 7835, 7869, 7932, 7962, 7972, 7979, 7991, 8076, 8286, 8324, 8356, 8376, 8394, 8424, 8644, 8676, 8754, 8796, 8826, 9084, 9092, 9124, 9167, 9216, 9252, 9402, 9412, 9504, 9572, 9726, 9892, 9906

13

13, 39, 51, 63, 75, 135, 195, 231, 482, 2132, 2295, 3315, 4712, 6435

14

16, 28, 34, 41, 56, 70, 130, 194, 224, 392, 482, 518, 674, 779, 854, 1022, 1154, 1394, 1538, 1568, 2018, 2198, 2402, 2498, 2594, 2702, 2744, 2924, 2993, 3554, 3584, 3878, 4322, 4382, 5018, 5378, 5420, 5558, 5894, 6272, 6338, 6398, 6683, 6722, 6914, 7394, 7574, 7778, 8354, 8582, 9122, 9254, 9422, 9563, 9602

15

13, 15, 17, 21

16

26, 32, 38, 50, 56, 61, 64, 77, 80, 95, 140, 208, 245, 256, 350, 364, 369, 418, 560, 579, 592, 976, 1102, 1168, 1314, 1333, 1430, 1612, 1820, 2464, 2512, 3088, 3204, 3289, 4044, 4096, 4432, 4453, 4576, 4975, 5008, 5080, 5180, 5409, 5434, 5824, 6352, 6736, 7280, 7312, 8120, 8656, 9065, 9577, 9808

17

17, 33, 35, 39, 51, 57, 135, 231, 255, 435, 465, 808, 855, 945, 975, 1558, 1768, 2788, 3298, 3675, 5296, 8415, 9928

18

52, 72, 73, 82, 102, 108, 112, 117, 129, 132, 171, 187, 216, 234, 246, 252, 279, 287, 288, 324, 333, 438, 534, 603, 648, 666, 675, 678, 684, 836, 918, 952, 981, 1092, 1098, 1139, 1143, 1189, 1197, 1251, 1296, 1314, 1326, 1398, 1413, 1446, 1548, 1581, 1620, 1629, 1686, 1728, 1791, 1830, 1878, 1899, 1944, 2118, 2142, 2196, 2214, 2299, 2406, 2454, 2581, 2598, 2600, 2686, 2694, 2736, 2763, 2772, 2826, 2844, 2911, 2916, 3033, 3126, 3411, 3456, 3474, 3558, 3606, 3681, 3843, 3924, 4246, 4383, 4491, 4566, 4608, 4614, 4806, 4818, 4862, 4869, 4986, 5139, 5148, 5193, 5226, 5238, 5289, 5353, 5436, 5574, 5634, 5679, 5715, 5718, 5868, 6294, 6450, 6552, 6759, 6771, 6774, 6921, 7083, 7146, 7174, 7275, 7299, 7398, 7461, 7494, 7548, 7578, 7776, 7893, 7926, 7936, 8028, 8226, 8271, 8308, 8433, 8454, 8598, 8748, 8919, 8934, 9081, 9158, 9318, 9351, 9486, 9606, 9699, 9738, 9756, 9810

19

19, 25, 57, 225, 273, 285, 296, 735, 1976, 3116, 3686, 4706, 4845, 5115, 6405, 7076, 9009, 9405

20

37, 40, 52, 55, 70, 91, 155, 200, 260, 305, 320, 407, 740, 755, 800, 851, 905, 1007, 1055, 1220, 1241, 1460, 1586, 1655, 2000, 2015, 2705, 3140, 3155, 3455, 3686, 3755, 3860, 4055, 4847, 4955, 5000, 5120, 5123, 5255, 5540, 5720, 6005, 6260, 6731, 6905, 7655, 7940, 8000, 8342, 8420, 8705, 9140, 9155, 9275, 9305

Qui trovate gli interi n minori di 1012 tali che φ(n) = φ(n + 1) (T.D. Noe e Jud McCranie, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Maiakowsky dimostrò nel 1974 che 2φ(n) = φ(n + k) ha almeno una soluzione per ogni intero k maggiore di zero.

La tabella seguente riporta i valori di n per i quali 2φ(n) = φ(n + k), per n fino a 10000 e k fino a 20.

k

n

1

2, 4, 16, 154, 256, 286, 364, 804, 1066, 2146, 3382, 4550, 6106, 7700, 8176, 9268

2

1, 2, 3, 6, 15, 30, 255, 510, 525, 990, 1950, 2520, 5250, 6510, 7410

3

1, 12, 18, 22, 36, 42, 48, 54, 108, 114, 182, 216, 258, 270, 288, 324, 366, 456, 462, 474, 486, 576, 654, 768, 858, 906, 978, 1092, 1258, 1296, 1338, 1458, 1626, 1728, 2094, 2106, 2304, 2376, 2526, 2616, 2634, 2772, 3048, 3138, 3198, 3456, 3606, 3678, 3786, 3888, 4038, 4146, 4374, 4866, 5118, 5246, 5450, 5514, 5946, 6054, 6306, 6344, 6378, 6438, 6504, 6918, 7278, 7386, 7674, 7776, 7926, 8110, 8574, 8748, 9096, 9186, 9294, 9528, 9978

4

2, 4, 6, 9, 12, 30, 60, 510, 765, 945, 1020, 1050, 1980, 3003, 3900, 5040

5

1, 3, 10, 50, 80, 200, 500, 1250, 1280, 1430, 2000, 3200, 4820, 5330, 5624, 8000, 8036, 8420

6

4, 6, 7, 10

7

3, 8, 14, 28, 112, 196, 784, 1372, 1462, 1792, 2710, 3136, 5332, 7462, 8614, 9604

8

4, 8, 12, 18, 24, 33, 60, 120, 315, 345, 525, 1020, 1530, 1890, 2040, 2100, 3960, 6006, 7800, 7905

9

3, 26, 36, 54, 56, 66, 108, 126, 144, 162, 324, 342, 418, 476, 546, 648, 774, 810, 864, 972, 1098, 1300, 1368, 1386, 1422, 1458, 1728, 1962, 2304, 2574, 2718, 2934, 3276, 3774, 3888, 3968, 4014, 4154, 4374, 4878, 5184, 5762, 6282, 6318, 6912, 7128, 7154, 7578, 7848, 7902, 8316, 8440, 9144, 9414, 9594, 9694

10

5, 10, 18, 24, 27, 30, 42, 63, 231

11

5, 22, 28, 40, 44, 158, 176, 242, 280, 444, 654, 968, 1406, 2816, 3440, 3872, 4004, 4644, 5064, 8844, 8906, 9128

12

8, 9, 12, 14, 20

13

26, 52, 110, 140, 208, 322, 372, 532, 582, 676, 952, 1054, 2002, 2146, 3328, 5180, 5206, 6106, 7092, 7954, 7960, 8788

14

7, 10, 11, 14, 20, 21, 42, 90, 105, 150, 180, 210, 435, 570, 1140, 1170, 1530, 1785, 2550, 3570, 4455, 6930

15

5, 62, 76, 90, 104, 150, 180, 240, 270, 274, 310, 410, 444, 450, 540, 570, 600, 700, 710, 900, 1010, 1080, 1290, 1310, 1440, 1500, 1510, 1584, 1620, 1672, 1810, 1830, 1872, 1956, 2108, 2250, 2280, 2370, 2388, 2410, 2430, 2510, 2700, 2710, 2810, 2880, 3270, 3600, 3684, 3692, 3750, 3840, 4050, 4290, 4310, 4530, 4890, 4910, 5196, 5612, 5710, 6000, 6010, 6276, 6290, 6410, 6480, 6492, 6690, 6910, 6924, 7010, 7290, 7572, 8060, 8100, 8130, 8400, 8640, 8810, 9000, 9084, 9254, 9600, 9710, 9910

16

8, 16, 24, 25, 36, 48, 57, 66, 120, 225, 240, 630, 690, 1050, 2040, 3060, 3780, 4080, 4125, 4200, 7920

17

9, 15, 28, 34, 68, 74, 308, 438, 494, 648, 1634, 2312, 2618, 3010, 3116, 4352, 4862, 5058, 6188, 7578, 8470

18

12, 16, 18, 19, 21, 30

19

5, 7, 9, 15, 26, 32, 38, 76, 124, 196, 286, 304, 350, 366, 560, 576, 1666, 2926, 4588, 4864, 5434, 6832, 6916, 7240, 7384

20

10, 20, 36, 45, 48, 54, 60, 69, 84, 126, 462

 In particolare se p = 22q – 1  è un primo di Fermat, 2φ(p – 1) = 2(2q – 1) = 2q = p – 1 = φ(p).

 

Vi sono interi n tali che kφ(n) = φ(n + 1) con k > 1.

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 10000 tali che 2φ(n) = φ(n + 1).

n

φ(n)

2

1

4

2

16

8

154

60

256

128

286

120

364

144

804

264

1066

480

2146

1008

3382

1584

4550

1440

6106

2940

7700

2400

8176

3456

9268

3960

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 10000 tali che 3φ(n) = φ(n + 1).

n

φ(n)

6

2

12

4

18

6

36

12

72

24

90

24

96

32

108

36

162

54

192

64

432

144

486

162

576

192

702

216

768

256

792

240

924

240

1152

384

1296

432

1458

486

2592

864

2916

972

3456

1152

3888

1296

4698

1512

5550

1440

6696

2160

7998

2520

8700

2240

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 106 tali che 4φ(n) = φ(n + 1).

n

φ(n)

1260

288

13650

2880

17556

4320

18720

4608

24510

6048

42120

10368

113610

25920

244530

51840

266070

60480

712080

177408

749910

171360

795690

181440

992250

226800

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 109 tali che 5φ(n) = φ(n + 1).

n

φ(n)

11242770

2246400

18673200

3732480

77805000

15552000

117138840

23224320

122649450

24192000

278023200

54743040

393513120

75479040

881879460

175633920

 

Vi sono interi n tali che φ(n) = kφ(n + 1) con k > 1.

In particolare, se p e 2p – 1 sono primi (e secondo la congettura di Dickson vi sarebbero infiniti casi), φ(2p – 1) = 2p – 2 = 2φ(2p), esistono però vari altri valori di n tali che φ(n) = 2φ(n + 1).

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 1000 tali che φ(n) = 2φ(n + 1).

n

φ(n)

5

4

13

12

35

24

37

36

61

60

73

72

157

156

193

192

277

276

313

312

397

396

421

420

455

288

457

456

541

540

613

612

661

660

665

432

673

672

733

732

757

756

877

876

997

996

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 105 tali che φ(n) = 3φ(n + 1).

n

φ(n)

119

96

527

480

545

432

2849

2160

3689

2880

4487

3840

6649

6480

18619

18144

26771

25344

30377

29520

44659

40320

47585

36720

50507

47520

76997

74880

83021

81600

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 106 tali che φ(n) = 4φ(n + 1).

n

φ(n)

629

576

1469

1344

85139

80640

100889

100224

139859

124416

154979

138240

168149

167040

304079

276480

396899

362880

838199

806400

 

La tabella seguente riporta i valori di n fino a 109 tali che φ(n) = 5φ(n + 1).

n

φ(n)

17907119

16588800

18828809

17107200

31692569

31000320

73421039

73113600

179467469

178053120

322757819

319334400

337567229

323481600

627702389

623185920

975314339

935193600

 

D.J. Newman dimostrò che deve esistere almeno una soluzione della diseguaglianza φ(30n) > φ(30n + 1), ma la ricerca sino a 20 milioni non permise di trovarne una. Poi Greg Martin trovò il minimo esempio: un numero di 1120 cifre!

 

Esistono sequenze di interi consecutivi tali che φ(n) abbia valori crescenti, tali cioè che φ(n) < φ(n + 1) < φ(n + 2) ecc., tuttavia tali sequenze sono in genere molto brevi e non se ne conosce nessuna di 5 o più interi; se esiste, il termine minimo è maggiore di 109 (M. Fiorentini, 2015).

La tabella seguente mostra il minimo valore di n a partire dal quale si trovi una sequenza di lunghezza k.

k

n

1

1

2

2

3

105

4

1484

 

Esistono sequenze di interi consecutivi tali che φ(n) abbia valori decrescenti, tali cioè che φ(n) > φ(n + 1) > φ(n + 2) ecc., tuttavia tali sequenze sono in genere molto brevi e non se ne conosce nessuna di 5 o più interi; se esiste, il termine minimo è maggiore di 109 (M. Fiorentini, 2015).

La tabella seguente mostra il minimo valore di n a partire dal quale si trovi una sequenza di lunghezza k.

k

n

1

1

2

5

3

313

4

823

 

Se chiamiamo a(m) il numero di interi per i quali φ(n) = m, otteniamo una funzione piuttosto irregolare; per esempio, a(1438) = 2, a(1440) = 72, a(1442) = a(1444) = 0.

In ogni caso a(m) è un numero finito, ossia, fissato m, esiste al massimo un numero finito di interi n tali che φ(n) = m.

I pochi risultati generali sono:

  • a(1) = 2 e a(m) = 0 per m dispari e maggiore di 1;

  • a(4m + 2) è 0, 2 o 4 (V.L. Klee, 1946).

 

Inoltre Limite che coinvolge la funzione a(n) (Dressler, 1970).

 

I numeri pari per i quali a(n) = 0 sono i numeri non tozienti.

 

La tabella seguente mostra i valori di a(n), per n uguale a 1 e pari fino a 20.

n

a(n)

1

2

2

3

4

4

6

4

8

5

10

2

12

6

14

0

16

6

18

4

20

5

 

I numeri pari per i quali a(n) = 0 sono i numeri non tozienti.

 

La tabella seguente mostra i valori di n fino a 1000 per ogni valore di a(n).

a(n)

n

0

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, 302, 304, 308, 314, 318, 322, 326, 334, 338, 340, 350, 354, 362, 364, 370, 374, 376, 386, 390, 394, 398, 402, 404, 406, 410, 412, 414, 422, 426, 428, 434, 436, 446, 450, 454, 458, 470, 472, 474, 482, 484, 488, 494, 496, 510, 514, 516, 518, 526, 530, 532, 534, 538, 542, 548, 550, 554, 558, 566, 572, 574, 578, 582, 590, 594, 596, 602, 604, 608, 610, 614, 622, 626, 628, 634, 638, 644, 650, 654, 662, 666, 668, 670, 674, 678, 680, 686, 694, 698, 702, 706, 710, 714, 722, 724, 728, 730, 734, 740, 746, 748, 752, 754, 758, 762, 766, 770, 774, 778, 782, 788, 790, 794, 798, 802, 804, 806, 814, 818, 824, 830, 834, 842, 844, 846, 850, 854, 866, 868, 870, 872, 874, 878, 890, 892, 894, 898, 902, 908, 914, 916, 922, 926, 934, 938, 942, 944, 948, 950, 954, 958, 962, 964, 968, 974, 978, 986, 988, 992, 994, 998

2

2, 10, 22, 28, 30, 46, 52, 54, 58, 66, 70, 78, 82, 102, 106, 110, 126, 130, 136, 138, 148, 150, 166, 172, 178, 190, 196, 198, 210, 222, 226, 228, 238, 250, 262, 268, 270, 282, 292, 294, 306, 310, 316, 330, 342, 346, 358, 366, 372, 378, 382, 388, 418, 430, 438, 442, 462, 466, 478, 490, 498, 502, 506, 508, 522, 546, 556, 562, 568, 570, 580, 586, 598, 606, 618, 630, 642, 646, 652, 658, 676, 682, 690, 708, 718, 726, 738, 742, 750, 772, 786, 796, 808, 810, 812, 822, 826, 838, 852, 856, 858, 862, 882, 886, 906, 910, 918, 930, 940, 946, 966, 970, 976, 982, 990

3

2, 44, 56, 92, 104, 116, 140, 164, 204, 212, 260, 296, 332, 344, 356, 380, 392, 444, 452, 476, 524, 536, 564, 584, 588, 620, 632, 684, 692, 716, 744, 764, 776, 836, 860, 884, 932, 956, 980

4

4, 6, 18, 42, 100, 162, 184, 208, 328, 424, 460, 468, 486, 492, 616, 636, 664, 688, 700, 712, 784, 820, 900, 904

5

8, 20, 220, 272, 300, 368, 416, 456, 500, 656, 732, 848, 876

6

12, 16, 84, 88, 112, 232, 348, 408, 592, 736, 760, 780, 832, 952, 984

7

32, 132, 156, 544, 912, 924

8

36, 64, 176, 200, 224, 280, 324, 464, 520, 888, 920

9

40, 60, 108, 128, 252, 276, 440, 612, 696, 996

10

24, 80, 180, 256, 264, 828

11

48, 512, 540

12

160, 168, 352, 448, 816, 928, 972

13

396, 400, 420, 552, 560, 660

15

704, 896

16

312, 320

17

72, 96, 120, 504, 756, 800

18

336, 880

19

216, 528

20

936

21

144, 192, 600, 640, 648, 792

22

624

25

360, 840

27

384

28

288

31

240, 672

32

768

34

432

37

480

38

576

45

864

49

720, 960

 

Gli unici interi per i quali φ(n) = Π(n)2 sono: 1, 8, 108, 250, 6174, 41154 (J.M. De Koninck e A. Mercier, 2004).

 

Per i legami con la funzione σ v. funzione σ.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Surányi, János;  Topics in the Theory of Numbers, Springer, 2003.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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