Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori
  4. 4. Progressioni aritmetiche di interi con lo stesso valore della funzione φ
  5. 5. Iterazioni della funzione

Alcune formule che coinvolgono la funzione:

Formula per il calcolo di φ(n) e in particolare φ(2n) = 2φ(n), se n è pari, φ(2n) = φ(n), se n è dispari;

φ(nk) = nk – 1φ(n);

φ(MCD(m, n))φ(mcm(m, n)) = φ(m)φ(n);

Formula per il calcolo di φ(n);

Formula per il calcolo di φ(n);

Formula per il calcolo di φ(n);

Formula per il calcolo di φ(n);

Formula per il calcolo di φ(n);

Disuguaglianza che coinvolge la funzione φ (Annapurna, 1938);

Somma che coinvolge la funzione φ (Eulero);

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ (P. Kesava Menon, 1965) e più in generale Somma che coinvolge la funzione φ (N. Rao);

Somma che coinvolge la funzione φ, dove n = mcm(n1, n2) (L. Tóth);

Somma che coinvolge la funzione φ, per 0 < x < 1 (Robert P. Schneider), e in particolare Somma che coinvolge la funzione φ;

Somma che coinvolge la funzione φ, per s > 1;

Somma che coinvolge la funzione φ, per |x| < 1.

 

Alcuni limiti che coinvolgono la funzione:

Limite che coinvolge la funzione φ (Dirichlet, 1849);

Limite che coinvolge la funzione φ (Dirichlet, 1849);

Limite che coinvolge la funzione φ;

Limite che coinvolge la funzione φ;

Limite che coinvolge la funzione φ; più precisamente Limite che coinvolge la funzione φ, dove per B3 si veda la costante di Mertens;

Limite che coinvolge la funzione φ.

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di Prodotto infinito che coinvolge numeri primi.

 

Alcune congruenze che coinvolgono la funzione φ:

nσ(n) ≡ 2 mod φ(n) se n è primo e maggiore di 3, mentre la congruenza non vale per i numeri composti, tranne 4, 6 e 22 (M.V. Subbarao, 1974);

φ(an + bn) ≡ 0 mod n (K. Zsigmondy, 1882);

Congruenza che coinvolge la funzione φ, se e solo se n ha la forma p2m – 1 o 2p2m – 1, dove p è un primo della forma 12k + 11;

Congruenza che coinvolge la funzione φ, per n > 6, se e solo se ha la forma p2m o 2p2m, dove p è un primo della forma 12k + 11;

Congruenza che coinvolge la funzione φ, se e solo se n ha la forma pm o 2pm, dove p è un primo della forma 12k + 7, oppure p = 3, nel qual caso m > 1;

Congruenza che coinvolge la funzione φ.

 

Se n è primo o 4, φ(n)d(n) ≡ n – 2 mod n; se la stessa relazione vale per altri valori composti di n, n deve avere almeno 4 fattori primi ed essere maggiore di 1000000; non sono noti interi del genere, ma non è stato provato che non esistano.

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Surányi, János;  Topics in the Theory of Numbers, Springer, 2003.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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