Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Si chiama “doppio fattoriale di n”, indicato comunemente con n!!, il prodotto degli interi maggiori di 0 e non superiori a n, con la stessa parità di n, ovvero il prodotto n(n – 2)(n – 4)(n – 6) … , dove l’ultimo termine è 1 o 2.

 

Il numero di permutazioni di due copie dei numeri naturali da 1 a n, tali che per ogni valore di k i numeri che appaiono tra le due copie di k siano maggiori di k è dato da (2n – 1)!!.

Per esempio, per n = 3 vi sono 15 permutazioni del genere:

  • 1, 1, 2, 2, 3, 3;

  • 1, 1, 2, 3, 3, 2;

  • 1, 1, 3, 3, 2, 2;

  • 1, 2, 2, 1, 3, 3;

  • 1, 2, 2, 3, 3, 1;

  • 1, 2, 3, 3, 2, 1;

  • 1, 3, 3, 1, 2, 2;

  • 1, 3, 3, 2, 2, 1;

  • 2, 2, 1, 1, 3, 3,

  • 2, 2, 1, 3, 3, 1,

  • 2, 2, 3, 3, 1, 1,

  • 2, 3, 3, 2, 1, 1,

  • 3, 3, 1, 1, 2, 2,

  • 3, 3, 1, 2, 2, 1,

  • 3, 3, 2, 2, 1, 1.

 

Il numero di modi per colorare parte degli archi di un grafo completo (nel quale ogni nodo è connesso da un arco a ogni altro) di 2n vertici, in modo che ogni nodo sia estremo di un arco colorato e non esistano due archi colorati con un nodo in comune è (2n – 1)!!.

 

Il numero di alberi binari privi di radice con n foglie, cioè di grafi aciclici nei quali i nodi interni sono connessi a esattamente 1 o 3 nodi) è (2n – 5)!!.

 

Il volume di un’ipersfera a n dimensioni di raggio r è Formula per il volume di un'ipersfera.

 

Alcune formule che coinvolgono fattoriali doppi:

Formula per il calcolo dei fattoriali doppi;

Formula per il calcolo dei fattoriali doppi;

Formula per il calcolo dei fattoriali doppi;

(2n)!! = 2nn!;

Formula per il calcolo dei fattoriali doppi;

Formula per il calcolo dei fattoriali doppi;

Formula per il prodotto di fattoriali doppi;

Formula per il quoziente di fattoriali doppi, per nm.

 

Alcune somme che coinvolgono fattoriali doppi:

Somma che coinvolge fattoriali doppi e in particolare Somma che coinvolge fattoriali doppi;

Somma che coinvolge fattoriali doppi;

Somma che coinvolge fattoriali doppi;

Somma che coinvolge fattoriali doppi, prendendo (–1)!! = 1 (Ramanujan).

 

Il teorema analogo al teorema di Wilson (v. fattoriali) per i fattoriali doppi, dimostrato da Christian Aebi e Grant Cairns nel 2015, afferma che se p è un primo dispari:

  • Congruenza che coinvolge fattoriali doppi, dove S(n) è il superfattoriale (I) di n e H(n) è l’iperfattoriale di n;

  • se p è un primo della forma 4n + 1, (p – 1)!!2 ≡ –1 mod p;
  • se p è un primo della forma 4n + 3, (p – 1)!! ≡ (–1)m mod p, dove m è il numero di nonresidui quadratici modulo p maggiori di 2 e minori di p / 2;
  • se p è un primo della forma 4n + 1, Congruenza che coinvolge fattoriali doppi, dove m è il numero di interi minori di p / 2, il cui inverso modulo p è pure minore di p / 2 e r è l’unico intero minore di p / 2, tale che r2 ≡ –1 mod p;
  • se p è un primo della forma 4n + 3, Congruenza che coinvolge fattoriali doppi, dove m è il numero di interi minori di p / 2, il cui inverso modulo p è pure minore di p / 2;
  • se n è un numero composto dispari maggiore di 9, (n – 1)!! ≡ 0 mod n, mentre 8!! ≡ 6 mod 9;

  • se n è della forma 2(2k + 1), (n – 1)!! ≡ 2k + 1 mod n;

  • se n è della forma 22(2k + 1), (n – 1)!! ≡ –(2k + 1) mod n;

  • se n è della forma 2m(2k + 1) con m > 2, (n – 1)!! ≡ (2k + 1)2m – 2 mod n.

 

Una buona approssimazione è Formula approssimata per il calcolo dei fattoriali doppi.

 

La tabella mostra i primi valori.

n

n!!

0

1

1

1

2

2

3

3

4

8

5

15

6

48

7

105

8

384

9

945

10

3840

11

10395

12

46080

13

135135

14

645120

15

2027025

16

10321920

17

34459425

18

185794560

19

654729075

20

3715891200

 

Per i primi della forma n!! ± 1 vedi primi fattoriali.

Tabelle numeriche

Fattoriali doppi sino a 1000!!.

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