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Si indica con la lettera i l’unità immaginaria, definita come Radice quadrata di meno uno.

 

Raffaele Bombelli (Bologna, 20/1/1526 – Roma, 1572) fu probabilmente il primo matematico che, esaminando il problema della radice quadrata dei numeri negativi, sentì l’esigenza di definire una nuova entità, che chiamò “numero immaginario” e trattò nell’Algebra, pubblicato nel 1572.

 

Fu usata estesamente per la prima volta da Johan Bernoulli nel 1702.

 

Eulero nel 1753 usò per primo il termine “numero complesso” e il simbolo i, dalla prima lettera della parola latina imaginarius.

 

Gauss nel 1831 le diede il nome di unità immaginaria.

 

E' legata indissolubilmente alle due più importanti costanti della matematica dalla formula di Eulero: e = –1, considerata da molti la più bella formula dell’analisi.

Da questa si ricavano facilmente altre formule molto note, come: Valore di i elevato alla i (che è reale e trascendente) e Valore di i elevato alla uno su i (pure reale e trascendente).

A proposito di quest’ultima formula, Benjamin Peirce (1809 – 1880), dopo averla dimostrata di fronte ai suoi studenti, disse: “Signori, questa è sicuramente vera, è assolutamente paradossale, non possiamo comprenderla, ma l’abbiamo dimostrata, pertanto sappiamo che deve essere la verità.”

 

Compare in alcune formule fondamentali dell’analisi, come la formula di de Moivre: (cosx + isinx)n = cos(nx) + isin(nx).

 

Altre formule che coinvolgono i:

xi = cos(logx)+ isin(logx);

Valore di radice i-esima di x;

Valore di logaritmo in base i di x;

Valore della radice quadrata di i;

Valore del seno di i;

Valore del coseno di i;

Valore della tangente di i;

sinhi = isin1≈ 0.8414709848i;

coshi = cos1≈ 0.5403023059;

tanhi = itan1 ≈ 1.5574077247i;

ei ≈ 0.5403023059 + 0.8414709848i;

Valore del logaritmo di i;

Γ(i) = iΓ(1 + i) ≈ 0.4980156681 – 0.1549498283i;

Valore assoluto di Γ(i);

Torre di esponenti, tutti uguali a i converge a Valore cui converge la torre di esponenti.

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di ii.

Alle voci espansione di Lehmerfrazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di sin1, cos1, sinh1 e cosh1.

Alla voce espansione di Lehmer trovate un’ottima approssimazione di Valore cui converge la torre di esponenti.

Bibliografia

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

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