e

Qui trovate le prime 10⁶ cifre decimali di e (1 Mbyte).

 

Sebbene abbia attratto meno matematici di π, gli sforzi per il calcolo di un gran numero di cifre di e sono comunque stati notevoli. La tabella seguente riassume i principali record.

Anno	Cifre	Autore	Calcolatore e tempo impiegato
1714	12	R. Cotes
1748	23	Eulero
1794	42	Jurij Bartolomej von Vega
1853	137	W. Shanks
1871	205 (solo 125 corrette)	W. Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1926	707	D.H. Lehmer
1946	808
4/7/1949	2010	John von Neumann	ENIAC
12/1952	60000	D.J. Wheeler	ILLIAC, 40 ore
1961	100265	Daniel Shanks e John W. Wrench Jr.	IBM 7090, 2.5 ore
1978	116000	Stephen Gary Wozniak.	Apple II
1994	10000000	Robert Nemiroff e Jerry Bonnell
5/1997	18199978	Patrick Demichel
8/1997	20000000	Birger Seifert	Pentium (133 MHz), 182.5 ore
9/1997	50000817	Patrick Demichel	HP 9000/778 (160 MHz), 714 ore
1999	200000579	S. Wedeniwski
10/1999	869894101	S. Wedeniwski
11/1999	1250000000	Xavier Gourdon	Pentium II (350 MHz), 40 ore
7/2000	2147483648	Xavier Gourdon e S Shigeru Kondo	Pentium III (933 MHz), 21 ore
7/2000	3221225472	Xavier Gourdon e Colin Martin	Athlon (650 MHz), 77 ore, 80 ore per la verifica
8/2000	6442450944	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo	Pentium III (800 MHz), 70 ore, 71 per la verifica
8/2000	12884901000	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo	Pentium III (800 MHz), 167 ore
9/2003	50100000000	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo
4/2007	1 • 1011	Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu
5/2009	2 • 1011	Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu
2/2010	5 • 1011	Alexander J. Yee	Intel Core i7 920 (3.5 GHz), 307 ore (calcolo e verifica)
7/2010	1 • 1012	Shigeru Kondo e Alexander J. Yee	Intel Core i7 980X (3.33 GHz), 224 ore per il calcolo e 219 per la verifica
6/2015	1.4 • 1012	Matthew Hebert	FX-8370 (4.0 GHz), 15 giorni per il calcolo e 22 per la verifica

 

Da notare il record ottenuto da Wozniak con un calcolatore personale, caso unico nella storia della matematica per una costante importante.

Tra il 1946 e il 1947, dal 4/7 al 3/9 1949 e dal 1952 al 1961 e ha rubato a π il primato della costante calcolata col maggior numero di cifre decimali.

 

I migliori limiti noti per l’approssimazione di e tramite numeri razionali sono:

• , dove μ(n) è la funzione di Smarandache (Sondow, 2006);

• per n intero abbastanza grande, se k è l’intero più vicino a eⁿ, (K. Mahler, 1967).

 

Alcune approssimazioni razionali di e e di valori legati a e:

• , 5 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione di e con frazioni con numeratore minore di 1000;

• per e², 5 cifre corrette (Hermite);

• , 6 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione possibile con denominatore primo e inferiore a 1000;

• , 6 cifre corrette;

•  e quindi  per , 7 cifre decimali corrette nei due casi;

• , 7 cifre decimali corrette;

• , 7 cifre decimali corrette;

• , 8 cifre decimali corrette (J. Lafont, 2008);

• , 10 cifre decimali corrette, la miglior approssimazione possibile con numeratore e denominatore primi e minori di 100000;

• , 10 cifre decimali corrette;

• , 13 cifre decimali corrette.

 

Altre curiose approssimazioni di e sono le seguenti:

• , 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 5 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 6 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 7 cifre decimali corrette (N. Davidson, 2004);

• , 8 cifre decimali corrette (R.G. Duggleby);

• , 8 cifre decimali corrette (E. Pegg Jr., 2002);

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 11 cifre decimali corrette;

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 16 cifre decimali corrette.

 

L’approssimazione  dà 8 cifre decimali corrette e usa esattamente una volta tutte le cifre da 0 a 9 (M. Fiorentini, 2016).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di e e di alcune costanti correlate.

 

Per ricordare le cifre di e si possono usare alcune frasi mnemoniche, nelle quali il numero di lettere di ogni parola corrisponde a una cifra:

• “La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace” (11 cifre);

• “Io ricordo a menadito la costante e mediante la tiritera data quale riepilogo” (13 cifre);

• “La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata” (13 cifre);

• “By omnibus I traveled to Brooklyn” (6 cifre);

• “To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 cifre);

• “We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant”, dove i punti esclamativi rappresentano zeri. (40 cifre).

 

Un modo per ricordare le cifre decimali di e è chiamarlo “doppio Tolstoy”: dopo l’iniziale 2.7, infatti, le cifre decimali di e formano per due volte l’anno di nascita di Tolstoy (1828).

 

Prendendo parte della rappresentazione decimale di e dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 2, 271, 2718281, 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571. Randall L. Rathbun trovò nel 2002 il successivo prendendo le prime 1781 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.

Bibliografia

• Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

   

• Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

  Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

• Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
• Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
• Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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