e

Qui trovate le prime 10⁶ cifre decimali di e (1 Mbyte).

 

Sebbene abbia attratto meno matematici di π, gli sforzi per il calcolo di un gran numero di cifre di e sono comunque stati notevoli. La tabella seguente riassume i principali record.

Anno	Cifre	Autore	Calcolatore e tempo impiegato
1748	23	Eulero
1853	137	W. Shanks
1871	205	W. Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1946	808
4/7/1949	2010	John von Neumann	ENIAC
12/1952	60000	D.J. Wheeler	ILLIAC, 40 ore
1961	100265	D. Shanks e J.W. Wrench Jr.	IBM 7090, 2.5 ore
1978	116000	Stephen Gary Wozniak.	Apple II
1994	10000000	Robert Nemiroff e Jerry Bonnell
5/1997	18199978	Patrick Demichel
8/1997	20000000	Birger Seifert	Pentium (133 MHz), 182.5 ore
9/1997	50000817	Patrick Demichel	HP 9000/778 (160 MHz), 714 ore
1999	200000579	S. Wedeniwski
10/1999	869894101	S. Wedeniwski
11/1999	1250000000	Xavier Gourdon	Pentium II (350 MHz), 40 ore
7/2000	2147483648	Xavier Gourdon e S Shigeru Kondo	Pentium III (933 MHz), 21 ore
7/2000	3221225472	Xavier Gourdon e Colin Martin	Athlon (650 MHz), 77 ore, 80 ore per la verifica
8/2000	6442450944	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo	Pentium III (800 MHz), 70 ore, 71 per la verifica
8/2000	12884901000	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo	Pentium III (800 MHz), 167 ore
9/2003	50100000000	Xavier Gourdon e Shigeru Kondo
4/2007	1 • 1011	Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu
5/2009	2 • 1011	Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu
2/2010	5 • 1011	Alexander J. Yee	Intel Core i7 920 (3.5 GHz), 307 ore (calcolo e verifica)
7/2010	1 • 1012	Shigeru Kondo e Alexander J. Yee	Intel Core i7 980X (3.33 GHz), 224 ore per il calcolo e 219 per la verifica
6/2015	1.4 • 1012	Matthew Hebert	FX-8370 (4.0 GHz), 15 giorni per il calcolo e 22 per la verifica

 

Da notare il record ottenuto da Wozniak con un calcolatore personale, caso unico nella storia della matematica per una costante importante.

Tra il 1946 e il 1947, dal 4/7 al 3/9 1949 e dal 1952 al 1961 e ha rubato a π il primato della costante calcolata col maggior numero di cifre decimali.

 

I migliori limiti noti per l’approssimazione di e tramite numeri razionali sono:

• , dove μ(n) è la funzione di Smarandache (Sondow, 2006);

• per n intero abbastanza grande, se k è l’intero più vicino a eⁿ, (K. Mahler, 1967).

 

Alcune approssimazioni razionali di e e di valori legati a e:

• , 5 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione di e con frazioni con numeratore minore di 1000;

• per e², 5 cifre corrette (Hermite);

• , 6 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione possibile con denominatore primo e inferiore a 1000;

• , 6 cifre corrette;

•  e quindi  per , 7 cifre decimali corrette nei due casi;

• , 7 cifre decimali corrette;

• , 7 cifre decimali corrette;

• , 8 cifre decimali corrette (J. Lafont, 2008);

• , 10 cifre decimali corrette, la miglior approssimazione possibile con numeratore e denominatore primi e minori di 100000;

• , 10 cifre decimali corrette;

• , 13 cifre decimali corrette.

 

Altre curiose approssimazioni di e sono le seguenti:

• , 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 5 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 6 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 7 cifre decimali corrette (N. Davidson, 2004);

• , 8 cifre decimali corrette (R.G. Duggleby);

• , 8 cifre decimali corrette (E. Pegg Jr., 2002);

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 11 cifre decimali corrette;

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

• , 16 cifre decimali corrette.

 

L’approssimazione  dà 8 cifre decimali corrette e usa esattamente una volta tutte le cifre da 0 a 9 (M. Fiorentini, 2016).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di e e di alcune costanti correlate.

 

Per ricordare le cifre di e si possono usare alcune frasi mnemoniche, nelle quali il numero di lettere di ogni parola corrisponde a una cifra:

• “La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace” (11 cifre);

• “Io ricordo a menadito la costante e mediante la tiritera data quale riepilogo” (13 cifre);

• “La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata” (13 cifre);

• “By omnibus I traveled to Brooklyn” (6 cifre);

• “To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 cifre);

• “We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant”, dove i punti esclamativi rappresentano zeri. (40 cifre).

 

Un modo per ricordare le cifre decimali di e è chiamarlo “doppio Tolstoy”: dopo l’iniziale 2.7, infatti, le cifre decimali di e formano per due volte l’anno di nascita di Tolstoy (1828).

 

Prendendo parte della rappresentazione decimale di e dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 2, 271, 2718281, 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571. Randall L. Rathbun trovò nel 2002 il successivo prendendo le prime 1781 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.

Bibliografia

• Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

   

• Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

  Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

• Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
• Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
• Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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