Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore e approssimazioni

Qui trovate le prime 106 cifre decimali di e (1 Mbyte).

 

Sebbene abbia attratto meno matematici di π, gli sforzi per il calcolo di un gran numero di cifre di e sono comunque stati notevoli. La tabella seguente riassume i principali record.

Anno

Cifre

Autore

Calcolatore e tempo impiegato

1714

12

R. Cotes

  

1748

23

Eulero

 

1794

42

Jurij Bartolomej von Vega

  

1853

137

W. Shanks

 

1871

205 (solo 125 corrette)

W. Shanks

 

1884

346

J. Marcus Boorman

 

1926

707

D.H. Lehmer

  

1946

808

 

 

4/7/1949

2010

John von Neumann

ENIAC

12/1952

60000

D.J. Wheeler

ILLIAC, 40 ore

1961

100265

Daniel Shanks e John W. Wrench Jr.

IBM 7090, 2.5 ore

1978

116000

Stephen Gary Wozniak.

Apple II

1994

10000000

Robert Nemiroff e Jerry Bonnell

 

5/1997

18199978

Patrick Demichel

 

8/1997

20000000

Birger Seifert

Pentium (133 MHz), 182.5 ore

9/1997

50000817

Patrick Demichel

HP 9000/778 (160 MHz), 714 ore

1999

200000579

S. Wedeniwski

 

10/1999

869894101

S. Wedeniwski

 

11/1999

1250000000

Xavier Gourdon

Pentium II (350 MHz), 40 ore

7/2000

2147483648

Xavier Gourdon e S Shigeru Kondo

Pentium III (933 MHz), 21 ore

7/2000

3221225472

Xavier Gourdon e Colin Martin

Athlon (650 MHz), 77 ore, 80 ore per la verifica

8/2000

6442450944

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

Pentium III (800 MHz), 70 ore, 71 per la verifica

8/2000

12884901000

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

Pentium III (800 MHz), 167 ore

9/2003

50100000000

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

 

4/2007

1 • 1011

Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu

 

5/2009

2 • 1011

Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu

 

2/2010

5 • 1011

Alexander J. Yee

Intel Core i7 920 (3.5 GHz), 307 ore (calcolo e verifica)

7/2010

1 • 1012

Shigeru Kondo e Alexander J. Yee

Intel Core i7 980X (3.33 GHz), 224 ore per il calcolo e 219 per la verifica

6/2015

1.4 • 1012

Matthew Hebert

 FX-8370 (4.0 GHz), 15 giorni per il calcolo e 22 per la verifica

 

Da notare il record ottenuto da Wozniak con un calcolatore personale, caso unico nella storia della matematica per una costante importante.

Tra il 1946 e il 1947, dal 4/7 al 3/9 1949 e dal 1952 al 1961 e ha rubato a π il primato della costante calcolata col maggior numero di cifre decimali.

 

I migliori limiti noti per l’approssimazione di e tramite numeri razionali sono:

  • Limite inferiore per l'approssimazione di e tramite numeri razionali, dove μ(n) è la funzione di Smarandache (Sondow, 2006);

  • per n intero abbastanza grande, se k è l’intero più vicino a en, Limite inferiore per l'approssimazione di e^n tramite numeri interi (K. Mahler, 1967).

 

Alcune approssimazioni razionali di e e di valori legati a e:

  • Approssimazione razionale di e, 5 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione di e con frazioni con numeratore minore di 1000;

  • Approssimazione razionale di e^2 per e2, 5 cifre corrette (Hermite);

  • Approssimazione razionale di e, 6 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione possibile con denominatore primo e inferiore a 1000;

  • Approssimazione razionale di e, 6 cifre corrette;

  • Approssimazione razionale di e e quindi Approssimazione razionale della radice quadrata di e per Radice quadrata di e, 7 cifre decimali corrette nei due casi;

  • Approssimazione razionale di e, 7 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 7 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 8 cifre decimali corrette (J. Lafont, 2008);

  • Approssimazione razionale di e, 10 cifre decimali corrette, la miglior approssimazione possibile con numeratore e denominatore primi e minori di 100000;

  • Approssimazione razionale di e, 10 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 13 cifre decimali corrette.

 

Altre curiose approssimazioni di e sono le seguenti:

  • Approssimazione di e, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 5 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 6 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 7 cifre decimali corrette (N. Davidson, 2004);

  • Approssimazione di e, 8 cifre decimali corrette (R.G. Duggleby);

  • Approssimazione di e, 8 cifre decimali corrette (E. Pegg Jr., 2002);

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 11 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 16 cifre decimali corrette.

 

L’approssimazione Approssimazione pandigitale di e dà 8 cifre decimali corrette e usa esattamente una volta tutte le cifre da 0 a 9 (M. Fiorentini, 2016).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di e e di alcune costanti correlate.

 

Per ricordare le cifre di e si possono usare alcune frasi mnemoniche, nelle quali il numero di lettere di ogni parola corrisponde a una cifra:

  • “La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace” (11 cifre);

  • “Io ricordo a menadito la costante e mediante la tiritera data quale riepilogo” (13 cifre);

  • “La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata” (13 cifre);

  • “By omnibus I traveled to Brooklyn” (6 cifre);

  • “To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 cifre);

  • “We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant”, dove i punti esclamativi rappresentano zeri. (40 cifre).

 

Un modo per ricordare le cifre decimali di e è chiamarlo “doppio Tolstoy”: dopo l’iniziale 2.7, infatti, le cifre decimali di e formano per due volte l’anno di nascita di Tolstoy (1828).

 

Prendendo parte della rappresentazione decimale di e dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 2, 271, 2718281, 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571. Randall L. Rathbun trovò nel 2002 il successivo prendendo le prime 1781 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.

 

Per sequenze di cifre uguali consecutive v. sequenze di Earls.

Vedi anche

Funzione esponenziale.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

    Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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