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Qui trovate le prime 106 cifre decimali di e (1 Mbyte).
Sebbene abbia attratto meno matematici di π, gli sforzi per il calcolo di un gran numero di cifre di e sono comunque stati notevoli. La tabella seguente riassume i principali record.
Anno |
Cifre |
Autore |
Calcolatore e tempo impiegato |
1714 |
12 |
R. Cotes |
|
1748 |
23 |
Eulero |
|
1794 |
42 |
Jurij Bartolomej von Vega |
|
1853 |
137 |
W. Shanks |
|
1871 |
205 (solo 125 corrette) |
W. Shanks |
|
1884 |
346 |
J. Marcus Boorman |
|
1926 |
707 |
D.H. Lehmer |
|
1946 |
808 |
|
|
4/7/1949 |
2010 |
John von Neumann |
ENIAC |
12/1952 |
60000 |
D.J. Wheeler |
ILLIAC, 40 ore |
1961 |
100265 |
Daniel Shanks e John W. Wrench Jr. |
IBM 7090, 2.5 ore |
1978 |
116000 |
Stephen Gary Wozniak. |
Apple II |
1994 |
10000000 |
Robert Nemiroff e Jerry Bonnell |
|
5/1997 |
18199978 |
Patrick Demichel |
|
8/1997 |
20000000 |
Birger Seifert |
Pentium (133 MHz), 182.5 ore |
9/1997 |
50000817 |
Patrick Demichel |
HP 9000/778 (160 MHz), 714 ore |
1999 |
200000579 |
S. Wedeniwski |
|
10/1999 |
869894101 |
S. Wedeniwski |
|
11/1999 |
1250000000 |
Xavier Gourdon |
Pentium II (350 MHz), 40 ore |
7/2000 |
2147483648 |
Xavier Gourdon e S Shigeru Kondo |
Pentium III (933 MHz), 21 ore |
7/2000 |
3221225472 |
Xavier Gourdon e Colin Martin |
Athlon (650 MHz), 77 ore, 80 ore per la verifica |
8/2000 |
6442450944 |
Xavier Gourdon e Shigeru Kondo |
Pentium III (800 MHz), 70 ore, 71 per la verifica |
8/2000 |
12884901000 |
Xavier Gourdon e Shigeru Kondo |
Pentium III (800 MHz), 167 ore |
9/2003 |
50100000000 |
Xavier Gourdon e Shigeru Kondo |
|
4/2007 |
1 • 1011 |
Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu |
|
5/2009 |
2 • 1011 |
Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu |
|
2/2010 |
5 • 1011 |
Alexander J. Yee |
Intel Core i7 920 (3.5 GHz), 307 ore (calcolo e verifica) |
7/2010 |
1 • 1012 |
Shigeru Kondo e Alexander J. Yee |
Intel Core i7 980X (3.33 GHz), 224 ore per il calcolo e 219 per la verifica |
6/2015 |
1.4 • 1012 |
Matthew Hebert |
FX-8370 (4.0 GHz), 15 giorni per il calcolo e 22 per la verifica |
Da notare il record ottenuto da Wozniak con un calcolatore personale, caso unico nella storia della matematica per una costante importante.
Tra il 1946 e il 1947, dal 4/7 al 3/9 1949 e dal 1952 al 1961 e ha rubato a π il primato della costante calcolata col maggior numero di cifre decimali.
I migliori limiti noti per l’approssimazione di e tramite numeri razionali sono:
-
, dove μ(n) è la funzione di Smarandache (Sondow, 2006);
-
per n intero abbastanza grande, se k è l’intero più vicino a en,
(K. Mahler, 1967).
Alcune approssimazioni razionali di e e di valori legati a e:
-
, 5 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione di e con frazioni con numeratore minore di 1000;
-
per e2, 5 cifre corrette (Hermite);
-
, 6 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione possibile con denominatore primo e inferiore a 1000;
-
, 6 cifre corrette;
-
e quindi
per
, 7 cifre decimali corrette nei due casi;
-
, 7 cifre decimali corrette;
-
, 7 cifre decimali corrette;
-
, 8 cifre decimali corrette (J. Lafont, 2008);
-
, 10 cifre decimali corrette, la miglior approssimazione possibile con numeratore e denominatore primi e minori di 100000;
-
, 10 cifre decimali corrette;
-
, 13 cifre decimali corrette.
Altre curiose approssimazioni di e sono le seguenti:
-
, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 5 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 6 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 7 cifre decimali corrette (N. Davidson, 2004);
-
, 8 cifre decimali corrette (R.G. Duggleby);
-
, 8 cifre decimali corrette (E. Pegg Jr., 2002);
-
, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 11 cifre decimali corrette;
-
, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);
-
, 16 cifre decimali corrette.
L’approssimazione dà 8 cifre decimali corrette e usa esattamente una volta tutte le cifre da 0 a 9 (M. Fiorentini, 2016).
Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di e e di alcune costanti correlate.
Per ricordare le cifre di e si possono usare alcune frasi mnemoniche, nelle quali il numero di lettere di ogni parola corrisponde a una cifra:
-
“La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace” (11 cifre);
-
“Io ricordo a menadito la costante e mediante la tiritera data quale riepilogo” (13 cifre);
-
“La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata” (13 cifre);
-
“By omnibus I traveled to Brooklyn” (6 cifre);
-
“To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 cifre);
-
“We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant”, dove i punti esclamativi rappresentano zeri. (40 cifre).
Un modo per ricordare le cifre decimali di e è chiamarlo “doppio Tolstoy”: dopo l’iniziale 2.7, infatti, le cifre decimali di e formano per due volte l’anno di nascita di Tolstoy (1828).
Prendendo parte della rappresentazione decimale di e dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 2, 271, 2718281, 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571. Randall L. Rathbun trovò nel 2002 il successivo prendendo le prime 1781 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.
Bibliografia
- Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in
Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -
- Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -
Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.
- Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
- Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
- Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.