Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore e approssimazioni

Qui trovate le prime 106 cifre decimali di e (1 Mbyte).

 

Sebbene abbia attratto meno matematici di π, gli sforzi per il calcolo di un gran numero di cifre di e sono comunque stati notevoli. La tabella seguente riassume i principali record.

Anno

Cifre

Autore

Calcolatore e tempo impiegato

1748

23

Eulero

 

1853

137

W. Shanks

 

1871

205

W. Shanks

 

1884

346

J. Marcus Boorman

 

1946

808

 

 

4/7/1949

2010

John von Neumann

ENIAC

12/1952

60000

D.J. Wheeler

ILLIAC, 40 ore

1961

100265

D. Shanks e J.W. Wrench Jr.

IBM 7090, 2.5 ore

1978

116000

Stephen Gary Wozniak.

Apple II

1994

10000000

Robert Nemiroff e Jerry Bonnell

 

5/1997

18199978

Patrick Demichel

 

8/1997

20000000

Birger Seifert

Pentium (133 MHz), 182.5 ore

9/1997

50000817

Patrick Demichel

HP 9000/778 (160 MHz), 714 ore

1999

200000579

S. Wedeniwski

 

10/1999

869894101

S. Wedeniwski

 

11/1999

1250000000

Xavier Gourdon

Pentium II (350 MHz), 40 ore

7/2000

2147483648

Xavier Gourdon e S Shigeru Kondo

Pentium III (933 MHz), 21 ore

7/2000

3221225472

Xavier Gourdon e Colin Martin

Athlon (650 MHz), 77 ore, 80 ore per la verifica

8/2000

6442450944

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

Pentium III (800 MHz), 70 ore, 71 per la verifica

8/2000

12884901000

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

Pentium III (800 MHz), 167 ore

9/2003

50100000000

Xavier Gourdon e Shigeru Kondo

 

4/2007

1 • 1011

Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu

 

5/2009

2 • 1011

Shigeru Kondo e Steve Pagliarulu

 

2/2010

5 • 1011

Alexander J. Yee

Intel Core i7 920 (3.5 GHz), 307 ore (calcolo e verifica)

7/2010

1 • 1012

Shigeru Kondo e Alexander J. Yee

Intel Core i7 980X (3.33 GHz), 224 ore per il calcolo e 219 per la verifica

6/2015

1.4 • 1012

Matthew Hebert

FX-8370 (4.0 GHz), 15 giorni per il calcolo e 22 per la verifica

 

Da notare il record ottenuto da Wozniak con un calcolatore personale, caso unico nella storia della matematica per una costante importante.

Tra il 1946 e il 1947, dal 4/7 al 3/9 1949 e dal 1952 al 1961 e ha rubato a π il primato della costante calcolata col maggior numero di cifre decimali.

 

I migliori limiti noti per l’approssimazione di e tramite numeri razionali sono:

  • Limite inferiore per l'approssimazione di e tramite numeri razionali, dove μ(n) è la funzione di Smarandache (Sondow, 2006);

  • per n intero abbastanza grande, se k è l’intero più vicino a en, Limite inferiore per l'approssimazione di e^n tramite numeri interi (K. Mahler, 1967).

 

Alcune approssimazioni razionali di e e di valori legati a e:

  • Approssimazione razionale di e, 5 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione di e con frazioni con numeratore minore di 1000;

  • Approssimazione razionale di e^2 per e2, 5 cifre corrette (Hermite);

  • Approssimazione razionale di e, 6 cifre decimali corrette; la miglior approssimazione possibile con denominatore primo e inferiore a 1000;

  • Approssimazione razionale di e, 6 cifre corrette;

  • Approssimazione razionale di e e quindi Approssimazione razionale della radice quadrata di e per Radice quadrata di e, 7 cifre decimali corrette nei due casi;

  • Approssimazione razionale di e, 7 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 7 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 8 cifre decimali corrette (J. Lafont, 2008);

  • Approssimazione razionale di e, 10 cifre decimali corrette, la miglior approssimazione possibile con numeratore e denominatore primi e minori di 100000;

  • Approssimazione razionale di e, 10 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione razionale di e, 13 cifre decimali corrette.

 

Altre curiose approssimazioni di e sono le seguenti:

  • Approssimazione di e, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 3 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 5 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 6 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 7 cifre decimali corrette (N. Davidson, 2004);

  • Approssimazione di e, 8 cifre decimali corrette (R.G. Duggleby);

  • Approssimazione di e, 8 cifre decimali corrette (E. Pegg Jr., 2002);

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 11 cifre decimali corrette;

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 9 cifre decimali corrette (M. Fiorentini, 2016);

  • Approssimazione di e, 16 cifre decimali corrette.

 

L’approssimazione Approssimazione pandigitale di e dà 8 cifre decimali corrette e usa esattamente una volta tutte le cifre da 0 a 9 (M. Fiorentini, 2016).

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, espansione di Pierce, frazioni continuefrazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni di e e di alcune costanti correlate.

 

Per ricordare le cifre di e si possono usare alcune frasi mnemoniche, nelle quali il numero di lettere di ogni parola corrisponde a una cifra:

  • “La suocera è serpente, se ammalata è arsenico, se moritura pace” (11 cifre);

  • “Io ricordo a menadito la costante e mediante la tiritera data quale riepilogo” (13 cifre);

  • “La bambina è affamata, la minestra è squisita, la scodella vien tosto terminata” (13 cifre);

  • “By omnibus I traveled to Brooklyn” (6 cifre);

  • “To disrupt a playroom is commonly a practice of children” (10 cifre);

  • “We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant”, dove i punti esclamativi rappresentano zeri. (40 cifre).

 

Un modo per ricordare le cifre decimali di e è chiamarlo “doppio Tolstoy”: dopo l’iniziale 2.7, infatti, le cifre decimali di e formano per due volte l’anno di nascita di Tolstoy (1828).

 

Prendendo parte della rappresentazione decimale di e dall’inizio si trovano alcuni numeri primi: 2, 271, 2718281, 2718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594571. Randall L. Rathbun trovò nel 2002 il successivo prendendo le prime 1781 cifre, ma si tratta solo di un primo probabile.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

    Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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