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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore e approssimazioni

Il secondo numero, dopo π, come frequenza di apparizione nelle formula matematiche, nei campi più disparati.

Detto anche numero di Napier, dal nome dello scopritore dei logaritmi, o costante di Eulero.

 

Il primo riferimento alla costante apparve nel 1618 ad opera di John Napier, ma solo sotto forma di logaritmi.

 

La scoperta della costante è attribuita a Jakob Bernoulli (Basilea, 27/12/1654 – Basilea, 16/8/1705), che tentò di calcolare il limite Formula per la definizione di e, uguale appunto alla costante, nel corso dei suoi studi sugli interessi composti; Cauchy nel 1823 dimostrò che il limite è e.

 

Newton nel 1669 trovò la famosa serie che converge a e.

 

Il primo utilizzo della costante si trova nella corrispondenza tra Gottfried Leibniz e Christiaan Huygens, negli anni 1690 e 1691, nella quale la costante è indicata dalla lettera b.

 

Eulero diede il nome alla costante nel 1727, in un manoscritto su esperimenti di artiglieria (pubblicato anni dopo) e in una lettera a Christian Goldbach del 25/11/1731. Il primo riferimento in un testo risale alla Mechanica di Eulero (1736).

 

Non è del tutto chiara l’origine del nome: Eulero era troppo modesto per utilizzare l’iniziale del suo nome, purtuttavia è l’unico matematico che abbia dato il nome a due costanti importanti (l’altra è la costante di Eulero – Mascheroni, vedi γ). Potrebbe essere l’iniziale di esponenziale o la prima vocale disponibile (Eulero aveva già utilizzato la lettera a).

Altri ricercatori in seguito utilizzarono la lettera c, ma infine la e fu universalmente accettata.

 

Eulero provò nel 1737 che sia e che e2 sono irrazionali, mostrando che le loro rappresentazioni tramite frazioni continue non sono periodiche. Lambert estese nel 1761 la dimostrazione a tutte le potenze di e con esponente razionale.

Joseph Liouville (Saint-Omer, Francia, 24/3/1809 – Parigi, 8/9/1882) dimostrò nel 1844 che non è soluzione di un’equazione di secondo grado a coefficienti interi, infine Charles Hermite (Dieuze, Francia, 24/12/1822 – Parigi, 14/1/1901) nel 1873 dimostrò che è trascendente; questa costante fu il primo numero non appositamente costruito (come il numero di Liouville) a essere dimostrato trascendente.

La sua misura di irrazionalità è 2 (v. numeri di Liouville).

 

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939) dimostrò che ex è trascendente se x è algebrico e non nullo. Dato che e = –1, ne segue che π non può essere algebrico.

 

La costante può essere definita in numerosi modi equivalenti:

la funzione ex è l’unica uguale alla sua derivata e quindi al suo integrale indefinito;

la costante è l’unico valore z per il quale Formula per la definizione di e;

la costante è l’unico valore reale positivo x tale che Formula per la definizione di e.

 

La costante è strettamente legata alle funzioni esponenziali:

  • il minimo della funzione xx si ha per Valore di x che rende minima la funzione x^x: Valore di minimo della funzione x^x;

  • il massimo della funzione Funzione x^(1/x) si ha per x = e: Valore massimo della funzione x^(1/x) (Steiner);

  • Eulero dimostrò che l’espressione x elevato una "torre" di esponenti uguali a x tende a un limite finito quando il numero di esponenti della “torre” tende a infinito solo se x è compreso tra Valore minimo per l'esistenza di un limite finito e Valore massimo per l'esistenza di un limite finito.

 

Le proprietà di e sono strettamente collegate a quelle di π, come dimostrano queste sequenze: se x1 = y1 = 0, x2 = y2 = 1, Formula per la definizione di x(n) e Formula per la definizione di y(n), allora Limite cui tende n / x(n) e Limite cui tende 2n / y(n)^2. La prima sequenza converge però molto rapidamente, la seconda piuttosto lentamente.

La prima sequenza può essere generalizzata: se x1 = a e x2 = b, Limite cui tende x(n) / n.

 

Se si prendono numeri reali con distribuzione casuale uniforme tra 0 e 1, proseguendo sino a che la somma superi 1, il numero medio di numeri da sommare è e.

In generale, il numero medio di numeri reali da sommare perché la somma superi n è un polinomio di grado n in e a coefficienti razionali, nel quale il coefficiente di grado n è 1, quello di grado n – 1 è n – 1 , quello di grado 1 è 1 / n! e quello di grado 0 è 0.

La tabella seguente mostra i primi casi.

n

Numero medio

Valore approssimato

1

e

2.7182818285

2

e2 – e

4.6707742705

3

 Numero medio di numeri da sommare per superare 3

6.6665656396

4

 Numero medio di numeri da sommare per superare 4

8.6666044900

5

 Numero medio di numeri da sommare per superare 5

10.6666620686

 

Non è noto se alcune semplici combinazioni di e e π, come π + e, siano trascendenti, però è stato dimostrato che π + e e π / e non sono soluzione di alcuna equazione polinomiale di grado inferiore a 9 con coefficienti interi di valore medio 109.

Vedi anche

Funzione esponenziale.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

    Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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