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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valore e approssimazioni

Il secondo numero, dopo π, come frequenza di apparizione nelle formula matematiche, nei campi più disparati.

Detto anche numero di Napier, dal nome dello scopritore dei logaritmi, o costante di Eulero.

 

Il primo riferimento alla costante apparve nel 1618 ad opera di John Napier, ma solo sotto forma di logaritmi.

La scoperta della costante è attribuita a Jakob Bernoulli (Basilea, 27/12/1654 – Basilea, 16/8/1705), che tentò di calcolare il limite Formula per la definizione di e, uguale appunto alla costante, nel corso dei suoi studi sugli interessi composti.

 

Il primo utilizzo della costante si trova nella corrispondenza tra Gottfried Leibniz e Christiaan Huygens, negli anni 1690 e 1691, nella quale la costante è indicata dalla lettera b.

 

Eulero diede il nome alla costante nel 1727, in un manoscritto su esperimenti di artiglieria (pubblicato anni dopo) e in una lettera a Christian Goldbach del 25/11/1731. Il primo riferimento in un testo risale alla Mechanica di Eulero (1736).

 

Non è del tutto chiara l’origine del nome: Eulero era troppo modesto per utilizzare l’iniziale del suo nome, purtuttavia è l’unico matematico cheabbia dato il nome a due costanti importanti (l’altra è la costante di Eulero – Mascheroni, vedi γ). Potrebbe essere l’iniziale di esponenziale o la prima vocale disponibile (Eulero aveva già utilizzato la lettera a).

Altri ricercatori in seguito utilizzarono la lettera c, ma infine la e fu universalmente accettata.

 

Eulero provò nel 1737 che sia e che e2 sono irrazionali, mostrando che le loro rappresentazioni in frazione continua non sono periodiche. Lambert estese nel 1761 la dimostrazione a tutte le potenze di e con esponente razionale.

Joseph Liouville (Saint-Omer, Francia, 24/3/1809 – Parigi, 8/9/1882) dimostrò nel 1844 che non è soluzione di un’equazione di secondo grado a coefficienti interi, infine Charles Hermite (Dieuze, Francia, 24/12/1822 – Parigi, 14/1/1901) nel 1873 dimostrò che è trascendente; questa costante fu il primo numero non appositamente costruito (come il numero di Liouville) a essere dimostrato trascendente.

La sua misura di irrazionalità è 2 (v. numeri di Liouville).

 

Nel 1882 Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939) dimostrò che ex è trascendente se x è algebrico e non nullo. Dato che e = –1, ne segue che π non può essere algebrico.

 

La costante può essere definita in numerosi modi equivalenti:

la funzione ex è l’unica uguale alla sua derivata e quindi al suo integrale indefinito;

la costante è l’unico valore z per il quale Formula per la definizione di e;

la costante è l’unico valore reale positivo x tale che Formula per la definizione di e.

 

La costante è strettamente legata alle funzioni esponenziali:

  • il minimo della funzione xx si ha per Valore di x che rende minima la funzione x^x: Valore di minimo della funzione x^x;

  • il massimo della funzione Funzione x^(1/x) si ha per x = e: Valore massimo della funzione x^(1/x) (Steiner);

  • Eulero dimostrò che l’espressione x elevato una "torre" di esponenti uguali a x tende a un limite finito quando il numero di esponenti della “torre” tende a infinito solo se x è compreso tra Valore minimo per l'esistenza di un limite finito e Valore massimo per l'esistenza di un limite finito.

 

Le proprietà di e sono strettamente collegate a quelle di π, come dimostrano queste sequenze: se x1 = y1 = 0, x2 = y2 = 1, Formula per la definizione di x(n) e Formula per la definizione di y(n), allora Limite cui tende n / x(n) e Limite cui tende 2n / y(n)^2. La prima sequenza converge però molto rapidamente, la seconda piuttosto lentamente.

La prima sequenza può essere generalizzata: se x1 = a e x2 = b, Limite cui tende x(n) / n.

 

Se si prendono numeri reali con distribuzione casuale uniforme tra 0 e 1, proseguendo sino a che la somma superi 1, il numero medio di numeri da sommare è e.

In generale, il numero medio di numeri reali da sommare perché la somma superi n è un polinomio di grado n in e a coefficienti razionali. La tabella seguente mostra i primi casi.

n

Numero medio

Valore approssimato

1

e

2.7182818285

2

e2 – e

4.6707742705

3

 Numero medio di numeri da sommare per superare 3

6.6665656396

4

 Numero medio di numeri da sommare per superare 4

8.6666044900

5

 Numero medio di numeri da sommare per superare 5

10.6666620686

 

Non è noto se alcune semplici combinazioni di e e π, come π + e, siano trascendenti, però è stato dimostrato che π + e e π / e non sono soluzione di alcuna equazione polinomiale di grado inferiore a 9 con coefficienti interi di valore medio 109.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 137, gennaio 1980, pag. 102 – 105 -

     

  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici volume 4º, Firenze, Sansoni, 1975 -

    Traduzione di The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Maor, Eli;  e, The Story of a Number, Princeton, Princeton University Press, 1994.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.

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