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Primi gemelli (congettura dei)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura dei primi gemelli ha due forme: la versione più debole è che esistano infinite coppie di primi consecutivi aventi differenza 2, ossia infinite coppie di primi gemelli; quella forte è la congettura B di Hardy e Littlewood che il numero π2(n) di coppie di primi gemelli, il minore dei quali inferiore a n, tenda a Limite asintotico ipotizzato per il numero di primi gemelli minori di n, dove C2 è la costante dei primi gemelli.

 

La prima versione è comunemente attribuita a de Polignac (1849), che in realtà propose una congettura ben più generale, ossia che ogni numero pari compare infinite volte come differenza tra primi consecutivi. E’ probabile che la congettura sia stata proposta fin dall’antichità (qualcuno suggerisce addirittura da Euclide), ma non ho trovato riferimenti attendibili nella letteratura.

 

La tabella seguente mostra l’accordo tra il numero di primi gemelli minori di n e i valori di alcune stime, asintoticamente equivalenti; le prime due derivano dalla congettura B di Hardy e Littlewood, la terza è una stima proposta da Marek Wolf.

n

π2(n)

Stima del numero di primi gemelli minori di n

Stima del numero di primi gemelli minori di n

Stima del numero di primi gemelli minori di n

10

2

2.4902848078

4.8361883278

2.1125178107

102

8

6.2257120195

13.5354875604

8.2520226981

103

35

27.6698311976

45.7955004115

37.2648141809

104

205

155.6428004864

214.2109398311

199.4270946579

105

1224

996.1139231132

1248.7087356371

1214.7830868778

106

8169

6917.4577993970

8248.0296898308

8135.7497230657

107

58980

50822.1389343456

58753.8164979342

58314.1063230150

108

440312

389107.0012160832

440367.7942273770

438273.0285462533

109

3424506

3074425.6886209046

3425308.1557430851

3413659.4029130039

1010

27412679

24902848.0778293270

27411416.5322785837

27340309.5170007212

1011

224376048

205808661.8002423720

224368864.6811819439

223905438.5235929495

1012

1870585220

1729364449.8492588205

1870559866.8185239610

1867406391.3059899945

1013

15834664872

14735413063.8043355123

15834598305.0620157020

15812374821.0136210076

1014

135780321665

127055347335.8639133461

135780264894.4909204009

135619043783.7783335659

1015

1177209242304

1106793247903.5256451481

1177208491860.6812394337

1176010124728.5490369163

1016

10304195697298

9727675030402.0808655592

10304192554495.7670956732

10295098233068.6044505956

1017

90948839353159

86169024490758.9170097979

90948833260989.8286433541

90878564243404.2755440248

1018

808675888577436

768606422155226.1424639380

808675901493606.2992752090

808124330112617.3053893781

 

Per lungo tempo la congettura è sembrata inattaccabile e l’unico progresso è stata la dimostrazione di V. Brun che la somma dei reciproci dei primi gemelli è finita (v. costante di Brun). Dal lavoro di Brun segue che π2(n) ≤ 100 * n / log(n)^2 e che esistono sequenze arbitrariamente lunghe di primi consecutivi che non contengono primi gemelli.

 

In seguito è stato dimostrato che il numero di primi gemelli non superiori a n cresce al massimo come K * C2 * n / log(n)^2, riducendo progressivamente la costante k che compare nella formula (che è 2 secondo la congettura B di Hardy e Littlewood):

  • 68 / 9 (É. Fouvry e Henryk Iwaniec, 1983);

  • 128 / 17 (É. Fouvry, 1984);

  • 7 (E. Bombieri, J.B. Friedlander e Henryk Iwaniec, 1986);

  • 6.9075 (É. Fouvry e F. Grupp, 1986);

  • 6.8354 (Jie Wu 1990);

  • 6.8325 (J.K. Haugland 1999).

Per n abbastanza grande la costante è stata ridotta a 3.418 (Jie Wu, 1992).

 

Nel 1950 Atle Selberg dimostrò che esistono infinite coppie di interi n e n + 2 che insieme hanno non più di 5 fattori primi.

 

Come conseguenza dei suoi lavori sulla congettura di Goldbach, nel 1973 Chen Jungrun dimostrò che per ogni intero positivo n esistono almeno n / log(n)^2 primi non superiori a n, tali che p + 2 sia primo o semiprimo (v. primi di Chen), ma questa via non sembra poter portare alla dimostrazione della congettura.

Chen dimostrò anche che il teorema vale anche sostituendo a 2 qualsiasi numero pari.

 

Nel 2009 Dan Goldston, János Pintz e Cem Yıldırım dimostrarono che Limite inferiore per n tendente a infinito di (p(n + 1) – p(n) / log(p(n)) uguale a zero.

 

Finalmente nel 2013 Zhang Yitang aprì la prima breccia, dimostrando che esistono infinite coppie di primi consecutivi con differenza non superiore a 70000000 e quindi infinite coppie di primi consecutivi con differenza uguale a n, per almeno un numero n ignoto, ma non superiore a 70000000.

 

Tracciata la strada, i progressi furono rapidi.

Terence Tao lanciò l’iniziativa di una collaborazione in rete (chiamata “Polymath8”), per eseguire lunghi calcoli che permettono di ridurre il limite, che fu abbassato, letteralmente di giorno in giorno, fino a 4680. James Maynard quindi trovò un miglioramento che permise, sempre nel 2013, di ridurre il limite a 600, poi a 252 grazie alla collaborazione del gruppo di Tao, infine a 246. Nuove idee sembrano necessarie per ridurre significativamente il limite superiore.

 

Nel 2013 James Maynard dimostrò che il limite inferiore è finito per qualsiasi numero di primi consecutivi; in particolare, per n + 1 primi consecutivi il limite è minore di n3e4n, per una costante c, che si può ridurre a cn3e2n, supponendo vera la congettura di Elliott – Halberstam.

Nel 2014 il limite fu ridotto a c * n * e^(601 / 157 * n) e, supponendo vera vera la congettura di Elliott – Halberstam, a cne2n.

 

Nel 2005 Dan A. Goldston, János Pintz e Cem Yalçin Yıldırım dimostrarono che, supponendo vera la congettura di Elliott – Halberstam, esistono infinite coppie di primi con differenza non superiore a 16.

Nel 2013 James Maynard ridusse il limite a 12, sempre supponendo vera la congettura.

Nel 2014 la collaborazione di vari matematici nel gruppo “Polymath8” ridusse il limite a 6, supponendo vera una forma più generale della congettura.

 

I risultati della ricerca possono essere riassunti nella tabella seguente, che mostra i limiti inferiori che compaiono infinite volte per la differenza tra massimo e minimo in una sequenza di n primi consecutivi.

n

Limite inferiore dimostrato

Limite inferiore, supponendo vera la congettura di Elliott – Halberstam

Limite inferiore, supponendo vera una forma forte della congettura di Elliott – Halberstam

Limite inferiore supposto

2

246

12

6

2

3

395106

270

252

6

4

24462654

52116

 

8

5

1404556152

474266

 

12

6

78602310160

4137854

 

16

 

Il limite inferiore supposto è quello indicato dalla congettura di Dickson.

 

Una strada alternativa per dimostrare la congettura fu suggerita nel 2011 da Francesca Balestrieri: a parte 3 e 5, tutte le coppie di primi gemelli sono della forma 6n – 1, 6n + 1; si può dimostrare che n non può essere della forma 6xyxy, 6xy + xy, o 6xy + x + y; viceversa se e solo se esistono infiniti interi n che non siano di nessuna delle tre forme indicate, allora la congettura è vera. Non è però chiaro se dimostrare che esistono infiniti interi n di una delle tre forme sia più agevole che dimostrare la congettura per altra via.

 

Un’altra via è stata recentemente indicata dall’algerino Islem Ghafford, sotto forma di una procedura per calcolare il numero di coppie di primi gemelli minori di 36n2 + 60n + 21 (v. congetture sui primi gemelli). La procedura è stata verificata per n fino a 10000 (Fred Schneider); se si riuscisse a dimostrarne la validità per qualsiasi intero n, si aprirebbe una nuova strada per dimostrare la congettura.

 

C.A. Holben e C.H. Jordan proposero una congettura sui primi di Gauss, analoga alla congettura dei primi gemelli (v. primi di Gauss).

Bibliografia

  • Soundararajan, K.;  "Small gaps between prime numbers: the work of Goldston-Pintz-Yildirim" in Bulletin of the American Mathematical Society, n. 44, 2007, pag. 1 – 18.

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