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Perfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri perfetti dispari

Non si conoscono numeri perfetti dispari: i matematici sono convinti che non esistano, ma non sono riusciti sinora a dimostrarlo.

 

Cartesio fu il primo (e uno dei pochi) a ritenere esplicitamente che potessero esistere: concentrò le sue ricerche su numeri della forma ps2, con p primo, perché convinto (correttamente) che tali dovrebbero essere i numeri perfetti dispari, se esistessero, e fece notare in una lettera a Mersenne del 15/11/1638 che con p = 22021 e s = 3003 = 3 • 7 • 11 • 13 si otterrebbe un numero perfetto dispari, se non fosse per la sfortunata circostanza che p = 192 • 61 non è primo (v. numeri di Cartesio).

 

Nel frattempo, sono state dimostrate alcune proprietà che un numero n siffatto dovrebbe avere, se esistesse:

  • deve essere della forma paq2, con p primo, pa ≡ 1 mod 4 e MCD(p, a) = 1 (Eulero, 1778) e pertanto uguale alla somma di due quadrati;

  • se Scomposizione di q in fattori primi, gli esponenti bk non possono essere tutti uguali a 1 (R. Steurwald), 2 (K-J. Kanold, 1941), 3 (P. Hagis Jr. e W.L. McDaniel, 1972), 5, 12, 17, 24, 62 (W.L. McDaniel, 1970), 6, 8, 11, 14, 18 (G.L. Cohen e R.J. Williams, 1985);

  • se Scomposizione di q in fattori primi e b1 è l’esponente del primo minimo, i vari b2, … br non possono essere tutti uguali a 1, con b1 uguale a 2 (A. Brauer), 5 o 6 (G.L. Cohen e R.J. Williams);

  • se Scomposizione di q in fattori primi e i vari 2b1 + 1, 2b2 + 1, … 2br +1 hanno un fattore comune s, s non è uguale a 3 (W.L. McDaniel, 1971), 9, 15, 21 o 33 (Kanold) e s4 divide n;

  • se Scomposizione di q in fattori primi, σ(p^a) / 2 e i vari σ(q(k)^(2 * b(k))) non possono essere tutti potenze di primi (J.R. Levitt, 1947);

  • se i vari qr sono della forma 4k + 1, σ(p^a) / 2 è un numero composto (P. Starni);

  • Limite superiore per p^a (J. Slowak);

  • se p e a non danno lo stesso resto se divisi per 8, non può avere tutti i fattori primi della forma 4k + 1 (P. Starni, 1991);

  • se tutti i fattori primi di q sono della forma 4k + 1, pa mod 8 (P. Starni, 1991);

  • se e solo se σ(q2) ≡ 1 mod 4, pa mod 8 (Shi-Chao Chen e Hao Luo, 2011);

  • se e solo se σ(q2) ≡ 3 mod 4, pa + 4 mod 8 (Shi-Chao Chen e Hao Luo, 2011);

  • se della forma pa32bq2b, con p primo e q non multiplo di 3, 32b divide σ(pa) (P. Starni, 2006); in particolare non è possibile che p sia della forma 12k + 1 e a diviso 12 dia resto 1 o 9;

  • tutti i fattori primi sono minori di Radice cubica di 3 * n (Peter Acquaah e Sergei Konyagin, 2018);

  • uno dei termini della scomposizione (una potenza di un primo) deve essere maggiore di 1020 (G.L. Cohen, 1987), limite portato a 1062 da Pascal Ochem e Michaël Rao (2012);

  • deve essere multiplo della quarta potenza di un primo (Steuerwald, 1937);

  • se inferiore a 109118, deve essere multiplo di una sesta potenza di un numero primo;

  • il massimo fattore primo deve essere almeno 100000007 (T. Goto e Y. Ohno, 2006);

  • il secondo fattore primo deve essere almeno 10007 (D.E. Iannucci, 1999);

  • il terzo fattore primo deve essere almeno 101 (D.E. Iannucci, 2000);

  • se non è multiplo di una potenza pari di un primo superiore alla quarta, il minimo fattore primo deve essere al massimo e49740100000 (Yamada 2005);

  • deve avere almeno 9 fattori distinti, che diventano 12 se non è multiplo di 3 (P.P. Nielsen, 2006) e 15 se non è multiplo di 3 o 5 (K.K. Norton, 1960);

  • deve avere almeno 75 fattori primi, non necessariamente distinti (K. Hare, 2006), limite portato a 101 da Pascal Ochem e Michaël Rao (2012);

  • se è divisibile per q2k, ma non per q2k + 1, con q primo, allora deve essere maggiore di q3k;

  • se ha 8 fattori primi distinti (e sappiamo che deve averli) e se 3k è la massima potenza di 3 per la quale è divisibile, k deve essere 0, 2, 4, 6, 10, 12 o maggiore di 60 (R.M. Sorli, 2003);

  • se ha k fattori primi distinti, il minimo deve essere minore di Limite superiore per il minimo fattore primo (O. Grün, 1952);

  • se ha k fattori primi distinti, disponendoli ordine crescente l’m-esimo è minore di Limite superiore per i fattori primi (Carl Pomerance) e per m da 2 a 6 è minore di 22m – 1(km) (M. Kishore);

  • se non è multiplo di 3, 5 o 7, deve avere almeno 26 fattori primi distinti (Catalan, 1888), valore poi portato a 27 da K.K. Norton(1960);

  • se non è multiplo di 3 o 5, deve avere almeno 14 fattori primi distinti e non può essere della forma 6k + 5 (T. Pepin, 1897);

  • se non è multiplo di 3 o 7, deve avere almeno 11 fattori primi distinti e non può essere della forma 6k + 5 (T. Pepin, 1897);

  • deve essere maggiore di 101500 (Pascal Ochem e Michaël Rao 2012);

  • non può essere divisibile per 105 (Sylvester 1887);

  • deve essere della forma 12k + 1 o 36k + 9 (J. Touchard, 1953);

  • deve essere della forma 12k + 1 o 324k + 81 o 468k + 117 (T. Roberts, 2008);

  • σ(p^a) / 2 non può essere un numero primo (Shi-Chao Chen e Hao Luo, 2011);

  • deve soddisfare σk(n) ≡ (k + 1)nk + 1 mod 64 per k dispari (L.H. Gallardo, 2008);

  • deve soddisfare τ(n) ≡ 12n – 10 ≡ σ11(n) mod 64 (L.H. Gallardo, 2008);

  • se ha meno di k fattori distinti, deve essere minore di 44k (D.R. Heath-Brown 1994); il limite è stato portato a Limite superiore per un numero perfetto dispari (Cook) e poi a 24k + 1 (P.P. Nielsen, 2003).

In particolare, Heath-Brown dimostrò che se σ(n) = a / b * n, con n dispari multiplo di k fattori primi distinti e a e b primi tra loro, n < (4b)4k.

 

Per quanto riguarda la somma s dei reciproci dei primi distinti che dividono un numero perfetto dispari n della forma 12k + 1, sappiamo che:

  • se n è multiplo di 5, Limiti inferiore e superiore per S;

  • se n non è multiplo di 5, 0.66745 < s < 69315.

 

Negli anni il limite per il minimo numero perfetto dispari è stato via via aumentato; riporto alcune delle tappe più significative:

  • 1020 (H.-J. Kanold, 1957);

  • 1036 (B. Tuckerman, 1973);

  • 1050 (P. Jr. Hagis, 1973);

  • 10160 (R.P. Brent e G.L. Cohen, 1989);

  • 10300 (R.P. Brent, G.L. Cohen e H.J.J. te Riele, 1991;

  • 101500 (Pascal Ochem e Michaël Rao 2012).

 

Analogamente è stato aumentato il numero di fattori primi distinti che un numero perfetto dispari dovrebbe avere:

  • 5 (Sylvester, 1896);

  • 6 (I.S. Gradshtein, 1925, dimostrando una congettura di Sylvester, 1896);

  • 7 (N. Robbins);

  • 8 (P. Hagis Jr., 1980);

  • 9 (P.P. Nielsen, 2006).

 

Insomma, sappiamo molte cose su questa bestia rara, salvo... se esista!

 

Le proprietà sopra elencate mostrano che, se esistono, sono sicuramente enormi. Circa loro numero, Dickson dimostrò nel 1913 che ve n’è al massimo un numero finito per ogni numero k di fattori primi distinti.

 

Alcuni risultati recenti hanno escluso l’esistenza di numeri perfetti dispari di particolari forme. In particolare:

  • non esistono numeri perfetti dispari della forma pa32bq2, con p primo della forma 12k + 1, a della forma 12m + 1 o 12m + 9 e q non multiplo di 3 o p (P. Starni, 2006);

  • non esistono numeri perfetti dispari della forma pa52bq2b, con p primo della forma 20k + 1, a della forma 20m + 13, 2b + 1 non multiplo di 5 e q non multiplo di 5 o p (Shi-Chao e Chen Hao Luo, 2011);

  • non esistono numeri perfetti dispari della forma paq2b, con p primo, q non multiplo di p e di quadrati e b uguale a 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62.

 

La congettura di Ore implica che non esistano numeri perfetti dispari.

Bibliografia

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    Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 22, giugno 1970, pag. 92 – 96.
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    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Sorli, Ronald M.;  Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers, Sydney, tesi di laurea presso University of Technology, 2003.
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    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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